专题训练 与二次根式运算有关的规律探究题2026-2027学年北师大版数学八年级上册

与二次根式运算有关的规律探究题 1．（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 5．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 10．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 13．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 14．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 15．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 16．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 17．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 18．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 19．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 20．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 21．（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 22．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 23．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 24．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，(是的面积)； ，(是的面积)； ，(是的面积)； …… (1)请你直接写出结果：___________，___________． (2)请用含有(为正整数)的式子填空：___________，___________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 25．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 26．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 27．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 28．（18-19八年级下·广东惠州·期末）（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 30．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 2．A 【分析】本题为规律探究题，分别观察等式各部分与序号的关系，归纳得到规律，即可得到结果． 【详解】观察给出的等式： 第1个等式中，根号内被减数为1，分数分子为1，分母为，等式右边系数为1， 第2个等式中，根号内被减数为2，分数分子为2，分母为，等式右边系数为2， 第3个等式中，根号内被减数为3，分数分子为3，分母为，等式右边系数为3， 依此类推，可得第个等式中，根号内被减数为，分数分子为，分母为，等式右边系数为，根号内分数为， 第个等式为， 即选项A正确． 3． 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 4．14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 5． 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 6． 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 7．(1)（为大于的整数）． (2)证明： ∵ 为大于的整数 ∴ 左边 右边 ∴ 左边右边，等式成立． 【分析】（1）观察等号左边整数、根号内分子相同，分母是整数平方减 1；右边是带分数，整数、分子和左边一致，分母不变． （2）利用公式，把根号外的放进根号里，化简后和右边带分数化成假分数的结果对比． 【详解】（1）观察： ，分母， ，分母， ，分母， 所以当，为整数， （2）证明过程：略 8．(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 10．(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 11．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 12．(1) (2) （为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 14．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 15．(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 16．(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 17．(1)， (2) (3)22 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可． （2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由题意可得第n个等式为：， ∴． （3）解：∵（，均为正整数）符合上述规律， ∴，， 解得：，， ∴． 18．(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）由（1）及题干可进行求解； （3）根据（2）中的结论把所求式子中的每一项进行展开，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ……， 以此类推可知，； （3）解： ． 20．(1)24 (2)（，n为整数） (3) 证明： （，且n为整数）． 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得： 故a为24． （2）解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． （3）略 21．(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，求平方根的方法解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为，据此求出2026除以4的余数即可得到答案； （2）根据题目中给出的运算方法进行计算即可； （3）根据题目中给出的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ……， 以此类推，可知，（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为， ∵， ∴； （2）解： ； ； （3）解：∵， ∴， ， ， 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 23．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 24．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了探究规律，勾股定理，二次根式混合运算，能结合勾股定理找出规律是解题的关键． （1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2），， 故答案为：，； （3）解： ． 25．(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 26．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 27．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 28．（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【详解】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 29．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 30．(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与二次根式运算有关的规律探究题 1．（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 5．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 10．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 13．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 14．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 15．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 16．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 17．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 18．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 19．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 20．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 21．（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 22．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 23．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 24．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，(是的面积)； ，(是的面积)； ，(是的面积)； …… (1)请你直接写出结果：___________，___________． (2)请用含有(为正整数)的式子填空：___________，___________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 25．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 26．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 27．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 28．（18-19八年级下·广东惠州·期末）（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 30．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则___________. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $