河北省衡水市武强县衡水街关中学2026-2027学年高三上学期第一次调研考试数学试题

2026~2027学年上学期高三第一次调研考试·数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 4 5 6 8 答案 C A D A B D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.号(5分，其他结果均不得分) 13.6十4√2(5分，其他结果均不得分) 14.2(5分，其他结果均不得分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)√21(2)13 【命题意图】本题主要考查平面向量的运算、向量垂直关系的表示；考查基本计算能力、数据运算能力、建立 方程的思想；体现综合性、实用性. 【试题解析】(1)a·b=|a·|b|·cos60°=1X2Xcos60°=1，…3分 |a十2b|=√/(a+2b)7=√a2+4b2+4a…b=√1+16+4=√2I;…6分 (2)当向量a一b与向量a+3b互相垂直时， (a-b)·(a十3b)=0,…… …7分 即λa2-3b2十(3入-1)a·b=0,… …………10分 即入-12+3x-1=0,解得入=13. 41 13分 16.【答案】(1)当a=一2时，f(x)在R上单调递减；当a>一2时，f(x)在（一∞，一a)和(2，十∞）上单调递减， 在（一a,2)上单调递增；当a<一2时，f(x)在（一∞，2）和（一a,十∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增 (2)详见解析 【命题意图】本题主要考查函数的单调性、导数运算，强调逻辑推理能力和分类讨论的数学学科素养；要求学 生能够通过导数分析函数的变化趋势；推理函数单调性有助于培养学生的逻辑推理和运算求解能力. 【试题解折】(1）f(c)=2x十a)e-x+a-a)e=二（十a)x-2》.2分 (e)2 e ①若a=一2，f(x)=-一2》≤0，f()在R上单调递减；…3分 ②若a>-2,此时-a<2,所以当x∈(-∞，-a)U(2,十o∞)时，f'(x)<0,当x∈(-a,2)时，f'(x)>0,所 以f(x)在(-∞，一a)和(2，十∞)上单调递减，在（一a,2)上单调递增；…5分 ③若a<-2,此时-a>2,所以当x∈(-∞，2)U(-a,十∞)时，f'(x)<0,当x∈(2，-a)时，f'(x)>0,所 以f(x)在(-∞，2)和（一a,十∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增；…. …7分 (2)若a<-2,由(1)可得，f(x)在(2，一a)上单调递增，在（一a,+∞）上单调递减，所以f(x)在区间(2， 十)止有最大值(-a)=。号，只需证明。<名. …10分 令g()=忌，则g()=。,当x>1时，g(a)<0,所以g()在区间(1，十o)上单调递减，由于-。>2， 【高三数学参考答案第1页（共3页）】 7036C 所以g(一a)<g2),由此证明了号<名.所以若a<-2,当>2时，f)<忌. 15分 17.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【命题意图】本题以基本不等式（均值不等式）为载体，重点考查考生对基本不等式结构特征的理解、等号成 立条件的运用，以及代数式变形与配凑的能力；渗透逻辑推理与数学运算核心素养. 【试题解析】(I)ab十ab2=ab(a十b)=2ab,…2分 因为a>0,b>0,2=a十b≥2√ab,则0<ab≤1，当且仅当a=b=1时等号成立，…5分 所以a2b十ab2≤2；……6分 (2)03+b+B+0=a3+(2-a++(2-D=(a3-a)+2+(6-b)+2 a+1b+1a+1 b+1 a+1 b+1 -a(a+Da-1)+2+b6+1)b-D+2-=a2+6-a-b+2十，2 a+1 b+1 a+1 6+1 =+-21+6）-2=a+2-2a+2a83-2 1 ab十a十b十2a6十2三ab832a6+2)ma.…7n 11分 由(1)有0<ab≤1，有ab+3≤4，-ab>-1,有3≥，-2ab>-2,… 13分 有g一2a62≥8×寸-212=2，当且仅当a=6=1时等号成立， 所以+2 15分 18.【答案】(1)①是（满足性质1）( 不是(2(0,2] 【命题意图】本题以新定义为情境载体，重点考查函数的概念、单调性、值域，全面检测考生对新定义问题的 理解能力、转化能力和综合运用函数知识解决问题的能力；侧重考查逻辑推理能力、运算求解能力与分类讨 论能力；渗透数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养，突出“转化与化归”“分类讨论”“数形结合”等数学 思想的综合运用. 【试题解析】(1)①中，函数y=5-x,当x∈[2,3]时，可得y∈[2,3]，所以区间[2,3]是函数y=5一x的一 个么2区间”；……3分 ②中，函数y=,当x∈[2,3]时，可得y∈[g4],此时不满足f(x)E[2,3],也不满足f(x)∈[2,3]， 所以区间[2,3]不是函数)=的一个“Q区间”： 所以①是（满足性质1），②不是；…7分 (2)记I=[0,m],S={f(x)|x∈I),可得f(0)=0∈[0，m],故若I为f(x)的“2区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即S二I;…I0分 由f(x)=-2x+x=-2(x-》'+8, 当0<m<时，f(x)在[0，m]上单调递增，且f(m)-m=-2m2+m-m<0, 即f(m)<m,所以S=[0,f(m)]二[0，m]=I,符合题意；…l3分 当4≤m≤2时，S=[f(0),()门]=[0，号][0，m]=1,符合题意；…15分 当m>2时，f(m)<f(分)）=0，所以f(m)E1,不合题意； …16分 综上可知，0<m≤分，即实数m的取值范围是(0，]】 ……17分 19.【答案】(1)a≤2(2)(i)详见解析(ii)详见解析 【命题意图】本题以函数为载体，重点考查函数与导数的综合应用，涉及函数的单调性与极值、不等式恒成立 问题以及函数的构造等核心知识；要求考生熟练掌握导数与函数单调性的关系，能借助导数判断单调区间、 求解极值，理解“恒成立问题”与“函数最值（值域）”之间的等价转化关系；侧重考查逻辑推理、运算求解与综 【高三数学参考答案第2页（共3页）】 7036C 合分析能力；渗透数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养. 【试题解析】(1)依题意，f'(x)=ln(x十1)十 x+1 -a≥0， 即a≤ln(x+1D+2n(z+1)十方+1恒成立， x+1 2分 设g6)=la(x+D+中+1，则g)=点D千 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(0，十∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增，…4分 所以当x=0时，g(x)取得极小值，也是最小值，g(0)=2, 所以a≤2；… 5分 (2)(i)不妨设t=”,则>2，由1nm-lnn= n 2mn可知， m+n n,所以(t计1)n=2m,四 …7分 设h(x)=(x+1)lnx(x>2),h'(x)=1nx++1>0, x 所以h(x)单调递增，h(x)>h(2)=3ln2,… 9分 所以m>3n2. 2—;………………” 10分 (i)由(1)可知，当a=2,x≥0时，f(x)=(x十2)ln(x十1)-2x≥f(0)=0,…12分 即1n(x+12千2即当≥1时，ln≥2，当且仅当x=1时，=”成立，…14分 x+1 因为m>n>0,所以>1，所以1n 2(%- 2m-D,所以2m>2m-》 ,…16分 72 n m+1 m十n Cm++n m+n 所以1-1<1. n m …17分 【高三数学参考答案第3页（共3页）】 7036C2026~2027学年上学期高三第一次调研考试·数学 参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 答案 C A D B D D C 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【答案】C 【解折1--骨-1，布复平面对应的点布第象殿，故选C 2.【答案】A 【解析】因为a>b>0,由不等式性质可得，a2>b;若a2>b2,取a=-5,b=3,满足a2>b,但得不到a>b>0, 所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选A. 3.【答案】D 【解析】易得A=[-1,3],B=[1,+∞)，则CRB=(一∞，1)，所以(CRB)∩A=C-1,1),故选D. 4.【答案】A 【解析】>1,2x+8-2x-1D+3+2≥2√2(2-D·+2-2X4+2-10,当且仅当2(x-1) 马时，即=3时，取等号，所以2x十的最小俏为10，放选A 5.【答案】B 6.【答案】D 【解析】当x>0时，f(x)=3x2一3，所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时，f'(x) >0,f(x)单调递增.又因为f(2)=0,且x→0+时f(x)→一2，所以当x∈(0,2)时，f(x)<0,当x∈(2，+∞) 时，f(x)>0.由奇函数的性质：当x∈（一2,0）时，f(x)>0,当x∈（一∞，一2）时，f(x)<0.对于不等式xf(x +1)>0,当x>0时，只需f(x十1)>0，所以x十1>2，即x∈(1，+∞)；当x<0时，只需f(x+1)<0,所以x +1<-2或0<x+1<1,即x∈(-∞，-3)U(-1,0).综上所述，x的取值范围是(-∞，-3)U(-1,0)U (1,十∞).故选D. 7.【答案】D 【解折1ha=2026:<20280<1,b-(告)-（号）》产-号c=2u36>合6g27=号故有>6>a, 故选D. 8.【答案】C 【解析】函数)一兰的导函数y=D已，显然函数y一号在(0,1D上单调递诚，在(1，+∞)上单调递增. 当x-1时取得最小值e,因为>e,所以函数y三-b存在两个变号零点，即要-b①-6@。 由于f(x)≥0恒成立，所以函数y=x2一3x十a有相同的变号零点x1,x2,根据韦达定理，x1十x2=3,x1x2= a.①X②得：e1+=x1x2b2,即e3=ab,两边同取对数得：lna十2lnb=3,故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BC 6十41=6+4i-6+4)1+D=1十5i,所以×的虚部为5，实部为1，故A错误，B正 【解析】因为复数x=十平a=1-日 2 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 7036C 确；z2=(1+5i)2=一24十10i,则之2+24=10i,故C正确；x=√26，D错误.故选BC. 10.【答案】BCD 【解析)因为f()=1一n,且x>0,所以当0<<e时，f()为增函数， x2 当x>e时，f(x)为减函数，所以e为函数f(x)的极大值点， f(e)=。为f(x)的极大值，且为f(x)的最大值，所以A错误，BC正确； 因为f1)=0,且当0<x<1时，f()=l血x<0,当c>1时，f()=lh>0, 所以D正确.故选BCD. 11.【答案】ACD 【解析】令x=y=0,可得f(1)=0,A选项正确； 令x=0,有f(-y)一f(y)=f(1)f(y+1),有f(-y)=f(y),可知f(x)为偶函数，B选项错误； 令x=y=1,有f(0)-f(2)=[f(2)]2,令x=y=-1,有f(0)-f(-2)=[f(0)]2,可得f(0)-f(2)= [f(2)],有[f(0)]2=[f(2)]2,有f(0)=±f(2),当f(0)=f(2)时，[f(0)]=0,可得f(0)=0,与f(0)≠0 矛盾，可知f(0)=一f(2),可求得f(0)=2,f(2)=一2，有f(0)十2f(2)=-2,C选项正确； 令y=1,有f(x-1)-f(x十1)=f(2)f(x+1),有f(x-1)=-f(x十1)，有f(x十3)=-f(x+1)= f(x一1)，可知4是函数f(x)的一个周期，D选项正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案1号 【解析1由(a-3b)⊥a,有(a-3b)a=1a-3a·b=0,有a·b=号aP,有osg=a:中 a·b 合a 2 lalXlal 3 13.【答案】6+4√2 【解析】因为2a十6-ab=0,所以ab=2a十6，则(a+1)b=ab+b=2(a十)，由ab=2a十b得：是十号=1，所 以a+1b-2a+6)=2a+0(日+号)=2(3+g+会)≥2(3+2√g·吾)=2(8+22)=6+4， 当且仅当器-合，即a=厄+1，=2+2时等号成立，所以a+1b的最小值为6+42。 14.【答案】2 【解析】依题意，b>e>a>0,f(x)= l血x-1,x之e,因为lnb-1=1-lna,所以ab=e: 1-ln x,0<x<e f代)在A处的切线方程为y十lna-1=-二(z一a),令x=0,解得M=2-1na, f)在B处的切线方程为y-1hb+1-云（x一6)，令x=0,解得w=1h6一2， 所以MN=|lnab-4|=2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案V(2)号 【解析】(1)a·b=a·|b|·cos60°=1X2×cos60°=1，… …3分 |a十2b|=√(a+2b)2=√a2+4b+4a…b=√1+16+4=√2I;…6分 (2)当向量λa一b与向量a十3b互相垂直时， (a-b)·(a十3b)=0,…7分 即a2-3b2+(3λ-1)a…b=0,…10分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 7036C 即入-12+3x-1=0,解得入=13 4 13分 16.【答案】(1)当a=一2时，f(x)在R上单调递减；当a>一2时，f(x)在(-o∞，一a)和(2，+o∞)上单调递减， 在（一a,2)上单调递增；当a<一2时，f(x)在（一∞，2）和（一a,+o∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增 (2)详见解析 【解析】(1)f(x)=(2x+a)e-（x+ax-a)e=-(x+a)(x-2) (e2)2 ……2分 ①若a=-2,()=-一2》≤0，f在R上单调递减；…3分 ②若a>-2,此时-a<2,所以当x∈(-∞，-a)U(2,十∞)时，f'(x)<0,当x∈(-a,2)时，f'(x)>0,所 以f(x)在（一∞，一a)和(2，十∞）上单调递减，在（一a,2)上单调递增；……5分 ③若a<-2,此时-a>2,所以当x∈(-∞，2)U(-a,+∞)时，f(x)<0,当x∈(2，-a)时，f(x)>0,所 以f(x)在（一∞，2）和（一a,十∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增；……7分 (2)若a<-2,由(1)可得，f(x)在(2，一a)上单调递增，在（一a,十o∞）上单调递减，所以f(x)在区间(2， +∞)上有最大值/八-a)=。9,只需证明。<名. …10分 令g()=吾，则g()=号，当>1时，g(x)<0,所以8)在区间1，十∞)上单调递减.由于-a>2, 所以s一a)<g(2),由此证明了。9<号.所以若a<-2,当心>2时，)<2. ,…15分 17.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】(1)a2b十ab=ab(a十b)=2ab,……2分 因为a>0,b>0,2=a十b≥2√ab,则0<ab≤1，当且仅当a=b=1时等号成立，…5分 所以a2b十ab≤2；……6分 (2g+b++a-0+2@+6°+(2-)-a3-a)+2+6-b)+2 a+1b+1 a+1 b+1 a+1 b+1 -a+a》+++》%+2=d+-a-6+异吊 a+1 b+1 =公+i-2++-2=a+r-2a时2aa号-2 1 b-年612a2=bg-2h+2,… 8 11分 由1有0<ad1,有ab+3≤4，-ab2-1,有b3≥，-2a6≥-2， 13分 有58一2a6叶228X宁-2+2=2，当且仅当a=6=1时等号成立， 所以7+名≥2…1i分 18.【答案】(1)①是（满足性质1）( 不是(2)(0,2] 【解析】(1)①中，函数y=5一x,当x∈[2,3]时，可得y∈[2,3]，所以区间[2,3]是函数y=5一x的一个“2 区间”；…………… ………3分 ②中，函数y=,当x∈[2,3时，可得y∈[含，4]，此时不满足f(x)e[2,3],也不满足f()∈[2,3]， 所以区间[2,3]不是函数)=三的一个“0区间： 所以①是（满足性质1），②不是；… ……7分 (2)记I=[0,m],S={f(x)|x∈I},可得f(0)=0∈[0，m],故若I为f(x)的“2区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即S二I;… …10分 由f(x)=-22+x=-2(x-)°+日， 当0<m<时，f(x)在[0，m]上单调递增，且f(m)-m=-2m+m-m<0, 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 7036C 即f(m)<m,所以S=[0,f(m)]三[0，m]=I,符合题意；… …13分 当}≤m≤分时，S=[f(0f()门-[0，号]=[0，m]=1,符合题意；…15分 当m>2时，f(m)<f(2)=0,所以f(m)E1,不合题意： 16分 综上可知，0<m≤分，即实数m的取值范围是(0，] 17分 19.【答案】(1)a≤2(2)(i)详见解析(ii)详见解析 【解折1张题敬.f=a+1D十号-a≥0， 即a<ln(x+1)十号ln(z+1)十与+1恒成立，………2分 设g)=inx+1D++1,则g)=中中Da千， 1 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， ……4分 所以当x=0时，g(x)取得极小值，也是最小值，g(0)=2, 所以a≤2；…… …5分 (2)0不纺设=兴则公2，由血m-加，可如， n无，所以(t+1)n=2m,…7分 设n(x)=(x十1)lnx(x>2),h'(x)=lnx++1>0, 所以h(x)单调递增，h(x)>h(2)=3ln2,… …9分 所以m3lh2, 10分 (i)由(1)可知，当a=2,x≥0时，f(x)=(x十2)ln(x十1)-2x≥f(0)=0,…12分 即n(x十1》≥千2即当21时，n≥2-，当且仅当x=1时，-”成立，…14分 x+1 因为m>>0,所以m>1,所以1n”≥ (- 2m-D,所以2n>2m2 m十1 m十n 7m+nm+n,…16分 所以11，……门7分 n m 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 7036C2026~2027学年上学期高三第一次调研考试 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 限司 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 过 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 2. 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语，不等式，函数，导数，平面向量，复数。 h 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若复数z满足1一x=2i+iz,则复数z在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.命题p:a>b>0,命题q:a2>b2,则命题p是命题g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 蜜 3.已知集合A=(x|x2-2x-3≤0)，B={xy=√x-I},则(CRB)∩A= A.[-1,1] B.[-3,1) C.[-3,1] D.[-1,1) 8 4.若x>1,则2x+兰的最小值是 A.10 B.4 C.6 D.2√2 都 x2+2x+2,x≤0 5.已知函数f(x) (广>0 ,则f(f(-2)= A.0 B. 4 c D.1 【高三数学第1页（共4页）】 7036C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 6.已知函数f(x)是定义在(-∞，0)U(0,十o)土的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3一3x-2, 则满足xf(x十1)>0的x的取值范围是 A.(-∞，-3)U(0,1) B.(-3,0)U(1,+∞) C.(-3,0)U(-1,0) D.(-∞，-3)U(-1,0)U(1,+∞) 7已知a=2026-,6=(借) ,c=log36,则a,b,c的大小关系为 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 8.函数f(x)=(x2-3x+a)(信-b)a∈R,6>e),若f(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，则lna+ 2In b= A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 日若复数2三岛为虚数单位)，则下列说法中正确的是 A.x的虚部为5i B.z的实部为1 C.22+24=101 D.|z=6 10.已知函数f(x)=l血，则 x Afx)的极值点为(e,是) B.f(x)的极大值为 C.f(x)的最大值为君 D.f(x)只有1个零点 11.定义域为R的函数f(x)满足f(x一y)一f(x十y)=f(x+1)f(y+1),且f(0)≠0，则下列 说法正确的是 A.f(1)=0 B.函数f(x)为奇函数 C.f(0)+2f(2)=-2 D.4为函数f(x)的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知非零向量a,b的夹角为0，其中|a|=2|b|,且满足(a一3b)⊥a,则cos0= 13.已知a,b>0,若2a十b-ab=0,则(a十1)b的最小值为 14.已知直线y=t(t>0)与函数f(x)=lnx-1|交于A(a,f(a),B(b,f(b)两点(b>a),过 点A的切线与过点B的切线分别交y轴于M,N两点，则|MN|= 【高三数学第2页（共4页）】 7036C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向量a,b,若a=1,b=2,a与b的夹角为60°. (1)求|a+2bl； (2)当入为何值时，向量a一b与向量a十3b互相垂直？ 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=十a.x一a. er (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a<-2,证明：当x>2时，fx)<号。 17.(本小题满分15分) 1 已知a>0,b>0,且a十b=2,证明： (1)a2b+ab2≤2； 8+≥2 【高三数学第3页（共4页）】 7036C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)的定义域为D,对于区间I=[a,b](a<b,I二D),若满足以下两条性质之一，则 称I为f(x)的一个“2区间”.性质1：对任意x∈I,均有f(x)∈I;性质2：对任意x∈I,均 有f(x)任I. (1)分别判断说明区间[2,3]是否为下列两函数的“2区间”； ①y=5-x;②y=8 x (2)若[0，m](m>0)是函数f(x)=一2x2十x的“2区间”，求m的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax. (1)若f(x)单调递增，求a的取值范围； (2)已知m>n>0,且lnm-lnn= 2mn m十n (①)若m>2,证明：m>3n2； 2； (证明：1-1<1 n m 【高三数学第4页（共4页）】 7036C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp