精品解析：甘肃天水市第一中学2026-2027学年高三第一学期第二次模拟考试数学试题

天水一中高三级2026—2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题 （时间：120分钟　满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由知，所以. 因为，其中满足的元素是和，所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数满足，则,所以 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 5. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 6. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从甲袋中取出球放入乙袋中的情况数为，之后从乙袋中取出两个球的情况数为， 只有从甲袋中取出一个红球放入乙袋中，才可以从乙袋中取出两个红球， 因此从乙袋中取出两个球均为红球的情况数为1， 故根据古典概型的计算公式. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 的虚轴长为 B. 的离心率为 C. 若为上一点，则 D. C的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可得双曲线方程可化为，则， 双曲线虚轴长为，故A选项正确； 双曲线的离心率，故B选项正确； 根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则， C选项没有给出具体位置，所以C选项错误； 因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确. 10. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 11. 已知函数有三个极值点，，，若，则（ ） A. B. 为极大值点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，令得，对求导分析单调性，画出大致图象，即可判断AB；由特殊情况进行分类讨论即可判断CD. 【详解】由，得， 由于，则令，即， 设，， 则， 当时，，单调递减， 且时，，时，， 当时，，单调递增， 且时，， 当时，，单调递减， 且时，， 作出函数的图象如图， 则，故A正确； 当时，，， 所以在上单调递减，故B错误； 由于， 由图可知，若，则，不符合； 若，则，符合，满足题意，此时，故C正确； 而，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据齐次式可得，即可利用正切的和角公式求解. 【详解】由可得，故， ， 故答案为： 14. 实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项得到的关系式，从而得到动直线恒过定点，因此点的轨迹为以为直径的圆，由此的最小值为点到圆上的点的最值问题，结合图像可得. 【详解】由题可得，即， 所以直线， 所以动直线恒过定点. 设， 则由点在动直线上的射影为， 所以， 所以的轨迹为以为直径的圆， 记的中点为，则，即， 且， 所以点的轨迹方程为. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，，，且锐角B满足，求b的值． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】（1）先把化简为，即可求出值域； （2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b. 【小问1详解】 . 当时，，所以，所以， 即函数的值域为. 【小问2详解】 因为锐角B满足，所以，解得： 在中，，，， 由余弦定理得：. 即边长. 16. 如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图． 注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022． 求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量． 参考数据：，，， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，． 【答案】回归方程为，预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨 【解析】 【分析】根据最小二乘法计算出回归方程，进而代入预测值，即可求解． 【详解】，， ， 得， 又，， y关于t的回归方程为． ，将2024对应的代入回归方程得：， 预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨． 17. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由可得， 若，则；若，则. 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点， 函数的定义域为，， 由，可得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 【答案】（1）2 （2）2 （3）6 【解析】 【分析】（1）由“曼哈顿距离”的定义直接求解即可； （2）根据“曼哈顿距离”表示出，然后分段去掉绝对值符号，利用一次函数性质求解可得； （3）根据“曼哈顿距离”的定义求出轨迹方程，判断轨迹的对称性，转化为求曲线与轴所围成的面积，然后去掉绝对值符号，利用分段函数作出图象即可求解. 【小问1详解】 由“曼哈顿距离”的定义可得. 【小问2详解】 设直线上动点的坐标为， 则， 由一次函数单调性可知，当时，；当时，； 当时，. 综上，的最小值为2. 【小问3详解】 设点，则， 即，即， 将代入上述方程得， 所以，方程表示的曲线关于轴对称， 故曲线所围成的面积等于曲线与轴所围成的面积的2倍. 作出函数的图象，如图： 易知， 四边形的面积为， 所以所求轨迹围成的面积为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高三级2026—2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题 （时间：120分钟　满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 6. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 的虚轴长为 B. 的离心率为 C. 若为上一点，则 D. C的渐近线方程为 10. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数有三个极值点，，，若，则（ ） A. B. 为极大值点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和.若，，则__________． 13. 已知，则______． 14. 实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点的坐标为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，，，且锐角B满足，求b的值． 16. 如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图． 注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022． 求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量． 参考数据：，，， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，． 17. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $