精品解析：2026年四川省普通高校对口招收中职毕业生文化课考试数学试题

机密★启用前 2026年四川省普通高校对口招生统一考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第Ⅰ卷 （共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】的含义是既属于集合M又属于集合N的元素， 集合代表所有大于0的数， 集合中，不属于集合M， ，属于集合M， 故， 故选：C 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】若使对数函数有意义， 需令， 所以函数的定义域为， 故选：D 3. 设为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式将式子展开，然后合并实部和虚部即可. 【详解】， 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 所以解集为， 故选：. 5. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系即可求解. 【详解】根据已知得， ， 因为是第一象限角， 所以， 故选：D 6. 已知函数，，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】二次函数开口向上， 对称轴为， 函数定义域为， 最小值在对称轴处， ， 最大值：比较定义域区间两个端点， ， 所以最大值是3， 则的值域是， 故选：A 7. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的正弦函数公式化简函数解析式，代入最小正周期公式即可得解. 【详解】函数， 所以函数的最小正周期为， 故选：. 8. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量模的平方等于向量自身数量积的性质，先求得两向量的数量积，再代入差向量模的平方公式计算即可. 【详解】由已知得，， 因为，所以， 则，解得， 所以， 则. 故选：D. 9. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合离心率公式求出值，代入即可得解. 【详解】双曲线，则， 因为离心率为，则，解得， ，解得， 故选：. 10. 设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，代入两点间斜率公式即可得解. 【详解】直线与直线，分别交于点，， 设， 因为线段的中点坐标为， 则，解得， 所以， 则直线的斜率为， 故选：. 11. 为践行“健康第一”教育理念，某校为学生制定了“五一”假期体育活动计划．假期结束后，该校从全校1000名学生中随机抽取了200名学生，统计这200名学生“五一”假期的日平均体育活动时长（单位：小时），并整理得下表： 日平均体育活动时长 频数 20 20 120 40 由表中数据，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为（ ） A. 40 B. 160 C. 200 D. 800 【答案】D 【解析】 【分析】先算样本中符合条件的频率，再根据总人数求解. 【详解】由已知得，样本中平均体育活动时长不低于2小时的人数为：人，其频率为：， 全校1000名学生，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为：人， 故选：D. 12. 设，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正弦型函数的性质及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，函数，此时函数定义域为， ，满足奇函数的定义，故充分性成立； 当函数为奇函数时，此时，故必要性不成立； 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件， 故选：. 13. 若，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将化为对数的形式，利用对数函数的性质与换底公式即可得解. 【详解】因为，则， ，， ， 因为函数，底数，所以均在为增函数， 则，， ， 又因为， 因为，所以，，即， 所以，即，故， 综上所述，， 故选：. 14. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的性质一一验证，即可选出正确答案. 【详解】函数的定义域是，关于原点对称， ， 所以函数是偶函数， B、D是奇函数图像，直接排除； 代入， ， C选项在处的函数值为1，错误； 代入， ， A选项在处的函数值为0，正确， 故选：A 15. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出分段函数的图像，分析图像列出不等式组即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出函数的图像， 由函数图像可知，在上单调递减，在上为常函数， 因为，则，解得， 所以的取值范围是， 故选：. 第Ⅱ卷 （共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5mm黑色字迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 的展开式中的系数为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意利用二项式定理的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得，此时的系数为， 故答案为：. 17. 2025年某汽车销售中心的新能源汽车销售量逐月增加．若从2025年2月起，该销售中心每月的新能源汽车销售量都比前一个月多5辆，且2025年12月的新能源汽车销售量为120辆，则该销售中心2025年6月的新能源汽车销售量为_________辆 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意设出未知数，列出方程即可得解. 【详解】设该销售中心2025年6月的新能源汽车销售量为辆， 因为该销售中心每月的新能源汽车销售量都比前一个月多5辆， 且2025年12月的新能源汽车销售量为120辆， 则，解得， 故答案为：. 18. 已知长方体的长为5，宽为2，且其顶点都在表面积为的同一球面上，则该长方体的高为_________． 【答案】 【解析】 【分析】长方体的外接球直径等于长方体体对角线的长，据此即可求解. 【详解】设长方体高为h，外接球半径为R， 根据球的表面积公式：, 长方体的体对角线为：， 因为，所以， 故答案为：4 19. 设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程及椭圆的定义求出，代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】 椭圆，则，， ，解得，则， 因为点在该椭圆上，且， 则， 解得， 所以的面积是， 故答案为：. 20. 设，，函数，若恒成立，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】要使与乘积恒非负，二者零点必须重合，据此即可求解. 【详解】函数的定义域：， 若恒成立，说明两个因式与同号， 零点位置必须重合， 令， ， 则， 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某工厂智能生产系统配置了编号分别为1，2，3，4，5的5台工业机器人，现从中随机指派2台机器人执行物料转运任务． （1）求事件“指派的2台机器人的编号恰为一个奇数和一个偶数”发生的概率； （2）已知这些机器人中有2台为新设备，记为指派的2台机器人中新设备的台数，求的概率分布． 【答案】（1） （2）概率分布见解析 【解析】 【分析】（1）分别计算总基本事件数和目标事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出概率； （2）先确定随机变量的全部可能取值，再依次计算各取值对应的概率，即可得到概率分布. 【小问1详解】 从5台机器人中随机选取2台，所有等可能的基本事件总数为：， 编号为奇数的机器人共3台，编号为偶数的机器人共2台， 事件“指派的2台机器人编号恰为一个奇数和一个偶数”包含的基本事件数为：， 由古典概型概率公式，得所求概率为：. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的所有可能取值为， 当时，即选取的2台均为旧设备，包含的基本事件数为， 故； 当时，即选取的2台包含1台新设备、1台旧设备，包含的基本事件数为， 故； 当时，即选取的2台均为新设备，包含的基本事件数为， 故， 综上可得的概率分布如下： 22. 设数列的首项为4，且． （1）求，； （2）求的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）问直接将的取值代入递推公式依次计算即可； （2）先通过构造等比数列求的通项公式，再用分组求和法计算前项和. 【小问1详解】 由题知的首项为，且， 当时，； 当时，； 当时，. 【小问2详解】 由，得，且， 因此是首项为3，公比为的等比数列， 则，即， 故的前项和 23. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换求解角B； （2）利用余弦定理求出边长，再代入三角形面积公式计算面积． 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得， 因为，故，可得， 即，得， 则，即， 因为，所以， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 由余弦定理， 代入，得：， 化简得，因为，故，， 则的面积为. 24. 如图，在正方形中，为与的交点，将三角形沿翻折至三角形，使得不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用翻折不变性得到，再结合题意，证面面垂直； （2）结合题意作辅助线，结合三垂线定理找出二面角平面角，计算正切值. 【小问1详解】 正方形ABCD中，对角线, 翻折后，， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 设正方形边长为，则， 已知， 所以三角形是等边三角形， 由（1）可知，平面平面， 交线为AC， 作交于点H， 则平面ABC， 在等边三角形中，， 过H作交于点E，连接， 由三垂线定理得：， 故就是二面角的平面角， O是正方形中心， ， H在直线OB上，， ， ， 因为，三角形是等腰直角三角形， ， . 25. 设抛物线：的焦点是圆的圆心． （1）求的方程； （2）设过的直线与相交于，两点，与该圆相交于，两点，且，在轴的上方，，在轴的下方，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心，即为抛物线的焦点，进而求解； （2）利用焦半径和圆半径化简，结合抛物线的性质和均值不等式求解. 【小问1详解】 已知圆， 所以该圆的圆心坐标为，半径， 因为抛物线：的焦点是该圆的圆心， 所以， 抛物线：的焦点为， 所以抛物线方程为：， 【小问2详解】 设点， 已知抛物线方程：， 根据抛物线的焦半径公式：， 已知，在轴的上方，A在F，M之间，圆半径， 则， 同理， B，在轴的下方，B在F，N之间， ， ， 则， 设过焦点的直线l：， 联立方程， 由韦达定理：， 又因为， 且， 根据基本不等式， ， 等号成立条件：， 又因为， 此时取等号， 所以的最小值为4. 26. 已知函数． （1）判断的单调性，并说明理由； （2）证明：曲线是中心对称图形． 【答案】（1）函数在上单调递增，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用函数单调性的定义求解； （2）令，根据中心对称的定义，证明即可. 【小问1详解】 在上单调递增，理由如下： 对任意，， 所以恒成立，故的定义域为. 任取， 则， 因为 ， ， 又，则， 所以，即， 可得，即， 因此函数在上单调递增； 【小问2详解】 函数，定义域为. 令，对任意， ， 即， 故曲线关于点中心对称，是中心对称图形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年四川省普通高校对口招生统一考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第Ⅰ卷 （共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 设为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 设直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 11. 为践行“健康第一”教育理念，某校为学生制定了“五一”假期体育活动计划．假期结束后，该校从全校1000名学生中随机抽取了200名学生，统计这200名学生“五一”假期的日平均体育活动时长（单位：小时），并整理得下表： 日平均体育活动时长 频数 20 20 120 40 由表中数据，估计该校学生“五一”假期日平均体育活动时长不低于2小时的人数为（ ） A. 40 B. 160 C. 200 D. 800 12. 设，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 若，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 14. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5mm黑色字迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 的展开式中的系数为_________． 17. 2025年某汽车销售中心的新能源汽车销售量逐月增加．若从2025年2月起，该销售中心每月的新能源汽车销售量都比前一个月多5辆，且2025年12月的新能源汽车销售量为120辆，则该销售中心2025年6月的新能源汽车销售量为_________辆 18. 已知长方体的长为5，宽为2，且其顶点都在表面积为的同一球面上，则该长方体的高为_________． 19. 设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 20. 设，，函数，若恒成立，则_________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某工厂智能生产系统配置了编号分别为1，2，3，4，5的5台工业机器人，现从中随机指派2台机器人执行物料转运任务． （1）求事件“指派的2台机器人的编号恰为一个奇数和一个偶数”发生的概率； （2）已知这些机器人中有2台为新设备，记为指派的2台机器人中新设备的台数，求的概率分布． 22. 设数列的首项为4，且． （1）求，； （2）求的前项和． 23. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，且，求的面积． 24. 如图，在正方形中，为与的交点，将三角形沿翻折至三角形，使得不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正切值． 25. 设抛物线：的焦点是圆的圆心． （1）求的方程； （2）设过的直线与相交于，两点，与该圆相交于，两点，且，在轴的上方，，在轴的下方，求的最小值． 26. 已知函数． （1）判断的单调性，并说明理由； （2）证明：曲线是中心对称图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $