精品解析：湖北武汉市新洲区第一中学航天城校区2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷（4-6班）

九月月考数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为是两条不同的直线，是三个不同的平面， 所以逐一分析各个选项如下： 对于选项A：若，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，则的位置关系有平行或异面，故D错误． 4. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数的知识来确定正确答案. 【详解】设这四个不全相等的正整数为， 不妨设， 则， 所以， 由于是正整数，所以， （若，则，与已知个数不全相等矛盾） 所以极差为. 故选：C 5. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 6. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件独立 D. 当时，事件和事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的公式判断求解. 【详解】对于A，当时，，而 ，故A错误； 对于B，当时，，因，两者不独立，故B错误； 对于C，当时，，， 而 ，即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，当时，因为 ，所以事件与事件不互斥，故D错误． 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积. 【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为， 则，，连接， 因为底面为直角梯形，，，， 所以四边形为正方形，， 因为平面，， 所以平面，平面， 所以， 所以， 而平面，平面，则， 所以， 又为的中点，所以， 所以点到三棱锥各个顶点的距离均为， 故为三棱锥的外接球球心， 如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，可取， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积为. 故选：A. 二．多选题（共3小题） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】AC 【解析】 【分析】应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底的定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 【详解】A，向量在上的投影向量，故A正确； B，由，则四点不共面，故B不正确； C，是空间的一组基底，不共面，且， 令，显然无解，也是空间的一组基底，故C正确； D，由题设，而直线与平面的位置关系不定，则或，故D不正确. 10. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 已知点，，若直线的倾斜角小于，则实数a的取值范围为 B. 若集合，满足，则 C. 若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数a的取值范围为 D. 若直线与连接，的线段相交，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角、斜率、平行直线、直线相交等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当倾斜角小于时，，解得； 当倾斜角等于时，； 当倾斜角大于小于时，，解得或； 综上，实数a的取值范围为，所以A选项正确. B选项，由，得 ， 所以集合表示斜率为的直线上的点（除去点）. 由，得， 所以集合表示过点且斜率为的直线， 若，此时两直线平行，满足； 若直线过点， 则，此时， 且，符合题意； 所以或，所以B选项错误. C选项，依题意，解得 所以实数的取值范围是，C选项错误. D选项，直线过定点，斜率为， ， 所以或，解得或， 所以实数a的取值范围为，D选项错误. 故选： BCD 11. 在中，、、所对应的边分别是a、b、c，且，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，，则满足条件的有2个 C. 如，M为中点，则最大值为 D. 若有两解、，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由正弦定理可得，， 即，故A错误； 对于B：过点B作，则，在上存在点A，使. 且，故有两个.（，），故B正确； 对于C：已知且，∴①， 延长至Q，使. 设，则，连、易知四边形为平行四边形. 由，得， 由①得， ∴， 即，故C正确； 对于D：由，得， 所以，又， 故或，或或或（舍）， ∴，， ∴，故D正确. 三．填空题（共3小题） 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为.则__________；打完4场结束比赛的概率为__________. 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】由已知条件可知连胜两局的概率为，即可求解p，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可. 【详解】解：令事件为一方在第i局获胜，， 则连胜两局的概率，解得， 若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可， 其中一方在第1、2、4场获胜的概率， 其中一方在第1、3、4场获胜的概率， 其中一方在第2、3、4场获胜的概率， 所以打完4场结束比赛的概率， 故答案为：；. 四．解答题（共5小题） 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点，连接 ，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以 ， 又因为与 相交于点，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由平面求出点坐标，再求出平面 与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为的中点， 所以，所以 、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以 ，设， 则，， 因为平面， 所以 ，则， ， 解得，故， 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面 的法向量， 则，即， 可设， 设平面与平面 的夹角为， 则. 16. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 【答案】（1），平均数为 ； （2）； （3）众数为，中位数为． 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积之和为1求解的值，根据平均数公式求解即可； （2）由题意可得不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为，先判断出，再由，求解即可； （3）由众数的定义求解众数，由中位的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； 【小问2详解】 因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为， 由（2）可知， 所以. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． 【小问3详解】 因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 18. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明如下： 在中，可得， 在中，可得， 所以， 所以， 设四边形的面积为， 则 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，，此时取最大值12， 此时有最大值，所以当四边形面积最大时． 【解析】 【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长； （2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解； ②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论. 【小问1详解】 因为平分，可得， 由余弦定理，可得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ①在中，余弦定理得， 所以，解得， 在中，可得，所以， 因为，所以， 由四边形面积， 所以； ②略 19. 已知点，，，，点在圆：上运动． （1）求的最大值和最小值； （2）直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线（）将分割成面积相等的两个部分，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2）存在，点； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，用的正弦型函数表示所求量，利用正弦函数的性质求出最值. （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合斜率坐标公式列式求解即得. （3）求出直线与轴及直线的交点坐标，确定点在射线上，再按与点的位置关系分类求解即得. 【小问1详解】 依题意，设，则 ， 而，因此， 所以的最大值和最小值分别为和. 【小问2详解】 由消去并整理得，设， ，， 假定在轴上存在定点，使得，设，则， 即，整理得， 则，化简得， 当时，，当时，，因此当时，恒成立， 所以在轴上存在定点，使得，点. 【小问3详解】 的面积，直线交轴于点， 由该直线将分割成面积相等的两个部分，得，，点在射线上（不含点）, 直线，由，解得， 即直线与直线交于， ①若点与点重合，则点为线段的中点，则，解得； ②若点在点和点之间，则，点在点和点之间，， 于是，解得，有，则； ③当点在点的左侧时，则，且，，直线， 此时直线与直线必相交，由，解得， ，即，化简得，则， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，结合图形按点与重合、在与之间和在点左侧分类是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月月考数学试卷 一．选择题（共8小题） 1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 6. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 当时，事件和事件独立 C. 当时，事件和事件独立 D. 当时，事件和事件互斥 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 10. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 已知点，，若直线的倾斜角小于，则实数a的取值范围为 B. 若集合，满足，则 C. 若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数a的取值范围为 D. 若直线与连接，的线段相交，则实数a的取值范围为 11. 在中，、、所对应的边分别是a、b、c，且，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，，则满足条件的有2个 C. 如，M为中点，则最大值为 D. 若有两解、，则 三．填空题（共3小题） 12. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为.则__________；打完4场结束比赛的概率为__________. 四．解答题（共5小题） 15. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 18. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 19. 已知点，，，，点在圆：上运动． （1）求的最大值和最小值； （2）直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线（）将分割成面积相等的两个部分，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $