复习课件（数列）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高二上学期 期中复习讲义 数列 数学拓展模块一上册 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 数列的有关概念 理解数列的有关概念，能够根据规律求一般数列的通项，掌握已知Sn求an的方法 一般常在选择题、填空题中考查 等差数列 理解等差数列的定义、会用定义法证明数列是等差数列，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等差数列的通项公式和前n项和公式 等比数列 理解等比数列的定义、会用定义法证明数列是等比数列，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等比数列的通项公式和前n项和公式 知识总结｜数列的概念与分类 数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做第 1 项（也叫首项），用 表示；第 个位置上的数叫做第 项，用 表示． 一般形式：，简记为 ． 分类（按项的个数）：有穷数列——项数有限的数列；无穷数列——项数无限的数列． 3 知识总结｜数列与函数的关系及数列的单调性 函数与数列的关系：数列 是从正整数集 （或它的有限子集 ）到实数集 的函数，自变量是序号 ，对应的函数值是数列的第 项 ，记为 ． 递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数列：各项都相等的数列． 4 知识总结｜通项公式、递推公式与前 n 项和 通项公式：如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 说明：通项公式就是数列的函数解析式．以前学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 前 项和：把数列 从第 1 项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作 ，即 ． 前 项和与通项的关系：． 5 典例先行｜数列的概念·典例1 数列 的通项公式是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【解析】分别分析数列的符号、分子、分母的变化规律，整合后即可得到通项公式．观察可发现该数列奇数项为正，偶数项为负，因此符号部分为 ， 各项分子依次为 ，因此分子为 （）， 各项分母依次为 ，因此分母为 （）， 综上，数列的通项公式为 ．故选：C． 6 典例先行｜数列的概念·典例2 数列 的通项公式是 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】由数列的通项公式，令 ，求出 的值即可． 因为 ，所以 ．故选：B． 7 典例先行｜数列的概念·典例3 已知数列 的前 项和 ，则该数列的通项 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】利用 与 的关系求解即可．当 时，； 当 时，， 又 ，也适合上式，∴，．故选：C． 8 典例先行｜数列的概念·典例4 已知 的前 项的和 ，则 （　　） A．138　　B．192　　C．276　　D．222 【答案】B 【解析】利用数列前 项和的含义，将所求三项和转化为前 8 项和与前 5 项和的差，代入公式计算即可． 数列 的前 项的和 ，则 ．故选：B． 9 解题技巧｜数列的概念 1．从函数的观点看，数列可以看作定义域为正整数集 （或它的有限子集 ）的函数（离散的），当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值． 2．任何一个数列，它的前 项和 与通项 都存在关系：． 10 快速判断：若 适合 ，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另一技巧是利用 是否为 0 来判断：若 ，则 适合 ，否则不符合．这在解小题时比较有用． 解题技巧｜数列的概念 3．已知数列的前几项求通项公式，应从以下几方面考虑： (1) 如果符号正负相间，则符号可用 或 来调节； (2) 分式形式的数列，分子和分母分别找通项； (3) 比较复杂的通项公式，借助等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但主要靠观察、比较、归纳、转化等方法来解决． 10 即时训练｜数列的概念·训练1 已知数列 ，，则 （　　） A．15　　B．16　　C．17　　D．18 【答案】A 【解析】在通项公式中，令 可求解．由题可知，．故选：A． 11 即时训练｜数列的概念·训练2 数列 的第 8 项为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据分子、分母与项数的关系，写出数列的通项公式，据此可得解．由题可知，所给数列的分子：，通项为 ； 分母：，通项为 ； 故数列通项为 ，所以 ．故选：B． 12 即时训练｜数列的概念·训练3 设数列 的前 项和 ，则 （　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．10 【答案】C 【解析】利用 与 的关系即可得解．因为 ，则 ，， 所以 ．故选：C． 13 即时训练｜数列的概念·训练4 数列 的通项公式是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】根据等比数列的通项公式即可求解．因为 ， 所以该数列为以 4 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ．故选：A． 14 即时训练｜数列的概念·训练5 在数列 中，，（），则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】先根据数列的递推公式求出数列的前几项，找出数列的周期，再根据周期计算 的值．已知 ，，可得 ， ，， 可以发现数列 是以 3 为周期的周期数列， 因为 ，所以 ．故选：B． 15 即时训练｜数列的概念·训练6 若数列 的前 项和为 ，则这个数列的通项公式是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【解析】根据 与 的关系分类讨论：当 时 ；当 时利用 计算，验证后可得结论． 当 时，， 当 时，，满足上式，所以 ．故选：B． 16 知识总结｜等差数列的概念与通项 定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 表示，即 （，， 为常数）或 ． 等差中项：如果 ，， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，即 ． 通项公式：． 17 知识总结｜等差数列的判定 ① 定义法：． ② 中项法：． ③ 通项法：（一次函数）． ④ 和式法：（其图象是过原点的抛物线上的散点）． 18 知识总结｜等差数列的前 n 项和 求和公式：；． 与二次函数的关系：． 令 ，，则 ，即 是关于 的二次函数，且常数项为 0． 19 知识总结｜等差数列的性质 （1）若 ，则 ．特别地，若 ，则 ． （2）下标成公差为 的等差数列的项 ，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为 ． （3）若数列 也为等差数列，则 ，（， 为非零常数）也是等差数列． （4）连续 项的和依然成等差数列，即 ，，，…成等差数列，且公差为 ． 20 典例先行｜等差数列·典例1 在等差数列 中，，则 （　　） A．4　　B．5　　C．6　　D．10 【答案】B 【解析】根据等差数列的下标和性质可求解．等差数列 中：，且 ， 所以 ，解得 ．故选：B． 21 典例先行｜等差数列·典例2 已知 是等差数列，且 ，，则首项 等于（　　） A．0　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可．设等差数列 的公差为 ， 由 ， 解得 ，所以首项为 ．故选：C． 22 典例先行｜等差数列·典例3 已知数列 为等差数列，且 ，则 （　　） A．11　　B．22　　C．44　　D．88 【答案】C 【解析】由等差数列的性质求解．根据等差数列的性质可得 ， 所以 ．故选：C． 23 典例先行｜等差数列·典例4 在等差数列 中，已知 ，则 的最大值是（　　） A．25　　B．29　　C．23　　D．27 【答案】A 【解析】根据等差数列通项公式确定正负项分界点，结合前 项和公式求解最大值即可．因为 ， 所以公差 ，所以数列 是递减的等差数列， 令 ，即 ，解得 ， 又因为 ，所以当 时 ，当 时 ，所以前 5 项和 为 的最大值，即 ．故选：A． 24 解题技巧｜等差数列 1．等差数列中，已知 5 个元素 ，，，， 中的任意三个，便可求出其余两个．除已知 ，， 求 、 可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．我们把 ， 叫做等差数列的基本元素，将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想． 25 解题技巧｜等差数列 2．在等差数列五个基本量 ，，，， 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用． 3．等差数列最常用的一个性质是：若 ，则 ．等差数列的性质是其定义、通项公式及前 项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果． 25 即时训练｜等差数列·训练1 下列数列不是等差数列的是（　　） A．，2，6，10　 B．，，， C．，，，　　 D．29，25，21，17 【答案】B 【解析】根据等差数列的定义判断．选项 A：因为 ，差为同一个常数 4，所以是等差数列， 选项 B：因为 ，而 ， 且 ，，则 ，可知 ，故数列 不是等差数列， 选项 C：因为 ，差为同一个常数 0，所以是等差数列；选项 D：因为 ，差为同一个常数 ，所以是等差数列．故选：B． 26 即时训练｜等差数列·训练2 某同学周末在书店借阅了一本课外读物，第一天读了 页，从第二天起每天比前一天多读 页，最后一天读了 页，恰好读完，该同学读完这本读物需要的天数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据等差数列通项公式即可求解．由题意得，每日阅读的页数可看作以 15 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 ，解得 ，即该同学读完这本读物需要 11 天．故选：A． 27 即时训练｜等差数列·训练3 已知实数 是 等差中项，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据等差中项公式即可得解．∵ 是 等差中项， ∴．故选：A． 28 即时训练｜等差数列·训练4 已知数列 为等差数列，则不成立的是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】利用等差数列的下标和性质与通项公式逐一验证各选项．A 选项：下标和 ，因此 ，等式恒成立，故 A 正确； B 选项：设数列 的公差为 ，，， 仅当 时二者相等，并非对所有等差数列成立，因此等式不恒成立，故 B 错误； C 选项：下标和 ，符合等差中项性质，因此 ，故 C 正确；D 选项：下标和 ，因此 ，故 D 正确．故选：B． 29 即时训练｜等差数列·训练5 在等差数列 中，前 15 项的和 ，则 的值为（　　） A．15　　B．10　　C．12　　D．6 【答案】B 【解析】根据等差数列的前 项和公式以及等差数列的性质求解即可．在等差数列 中，前 15 项的和 ， ∴，解得 ．故选：B． 30 即时训练｜等差数列·训练6 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，． （1）求数列 的通项公式； （2）求 ． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ，则 ，解得 ， 所以 ． （2）由（1）知，， 则 ． 31 知识总结｜等比数列的定义与通项 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（），即 ． 等比中项：如果三个数 、、 成等比数列，那么称数 为 与 的等比中项，其中 ． 通项公式：首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ． 32 知识总结｜等比数列的前 n 项和 求和公式：当 时，． 当 时：． 33 知识总结｜等比数列的性质 （1）若 ，且 ，则 ；特别地，当 时，． （2）下标成等差数列且公差为 的项 ，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为 ． （3）若 ， 是项数相同的等比数列，则 、、（ 是常数且 ）、、（， 是常数）、、 也是等比数列． （4）连续 项和（不为零）仍是等比数列，即 ，，，…成等比数列． 34 典例先行｜等比数列·典例1 下列说法正确的是（　　） A． 是等比数列　　 B．常数列一定是等比数列 C． 是公比为 的等比数列　D．当 时，等比数列 是递增数列 【答案】C 【解析】根据等比数列的定义即可求解．对于 A， 不存在公比，不是等比数列，故 A 错误． 对于 B，各项均为 的常数列不是等比数列，故 B 错误． 对于 C， 是公比为 的等比数列，故 C 正确． 对于 D，等比数列 公比为 ，不是递增数列，故 D 错误．故选：C． 35 典例先行｜等比数列·典例2 若数列 满足 ，则 （　　） A．64　　B．32　　C．16　　D．8 【答案】C 【解析】根据等比数列的定义以及通项公式即可求解．因为数列 满足 ，则 ，又 ， 所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 ．故选：C． 36 典例先行｜等比数列·典例3 已知 ，， 成等比数列，则 （　　） A．6　　B．　　C． 或 2　　D． 或 6 【答案】D 【解析】根据等比数列中项的性质列出等式，进而求解 的值．已知 成等比数列， 所以 ，且 ， 则 ，可得 ，所以 或 ．故选：D． 37 典例先行｜等比数列·典例4 已知数列 为等比数列，前 项和 ，则 等于（　　） A．3　　B．1　　C．　　D． 【答案】B 【解析】首先由 时 得出 ，再由等比数列的通项公式求出 ，最后由 求值即可．已知 的前 项和 ， 则 ，， 所以公比 ，所以 ， 则 ，解得 ．故选：B． 38 解题技巧｜等比数列 1．判断数列 是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．判断数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．等比数列中，已知五个元素 ，，，， 中的任意三个，便可求出其余两个． 2．在等比数列五个基本量 ，，，， 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前 项和公式转化为关于基本量的方程（组）来求得余下的两个量；计算有时要整体代换，根据前 项和公式列方程还要注意对 是否为 1 进行讨论． 3．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比． 39 即时训练｜等比数列·训练1 等比数列 中，，，则 （　　） A．15　　B．16　　C．31　　D．32 【答案】A 【解析】根据等比数列前 项和公式进行计算．已知在等比数列 中，，， 所以 ．故选：A． 40 即时训练｜等比数列·训练2 在等比数列 中，，，则 （　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】先根据等比数列通项公式求出公比 ，再求出 的值． 设等比数列 的公比为 ，已知 ，，由 可得：，解得 ， 所以 ．故选：A． 41 即时训练｜等比数列·训练3 在等比数列 中，若 ，则 （　　） A．3　　B．6　　C．9　　D．27 【答案】C 【解析】由等比数列的性质即可得解．因为等比数列 中，， 所以 ．故选：C． 42 即时训练｜等比数列·训练4 若 为等比数列 的前 项和，已知 ，则 （　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【解析】根据已知等式求出等比数列的公比 ，再利用等比数列通项公式和前 项和公式计算求解即可．因为数列 为等比数列，设公比为 ，且 ， 所以 ，因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ．故选：C． 43 即时训练｜等比数列·训练5 远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】B 【解析】根据等比数列的前 项和公式分析求解即可．由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比 ， 设塔顶有 盏灯，则 ，解得 ，所以塔顶 3 盏灯．故选：B． 44 即时训练｜等比数列·训练6 在等比数列 中，，求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列的前 10 项和． 【答案】（1）；（2）2046 【解析】（1）设公比为 ，由 ，得 ，解得 ， 则 ，所以 ． （2）． 45 $