专题13 圆的综合题、几何压轴综合题（5年汇编）（青海专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

专题13 圆的综合题、几何压轴综合题 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 几何压轴综合题 （2024·青海西宁·中考真题） （2025·青海西宁·中考真题） （2023·青海·中考真题） · 情境设置:以综合与实践、生活情境(如车轮设计)为载体,突出数学应用. · 考查重点:三角形与圆结合,涉及角平分线、中线、垂直关系及推理探究. · 命题趋势:趋向项目式学习与开放探究,强调综合运用与创新思维. 考点02 圆的切线的性质与判定 （2023·青海·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2025·青海·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2022·青海·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题）（多选） · 情境设置:以切线为核心,结合正方形、直角三角形、角平分线等图形. · 考查重点:切线性质与判定、切线长定理、圆周角与圆心角关系. · 命题趋势:注重多知识点融合,强化证明与计算并重,突出几何推理. 考点01 几何压轴综合题 1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 3．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 考点02 圆的切线的性质与判定 1．（2023·青海·中考真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是______．    2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________．    3．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 4．（2024·青海西宁·中考真题）如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：． (2)若的半径是，，求的长． 5．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且点C在上，，． (1)求证：直线是的切线； (2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积． 6．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求BE的长． 7．（2022·青海西宁·中考真题）（多选）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． (1)求证：四边形EMFC是矩形； (2)若，的半径为2，求FM的长． 1．（2026·青海西宁·中考模拟）（多选）周末小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为的直径），他发现自己的位置A，小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A和小红的位置C和地面点E也在同一直线上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，． ①小明和小亮之间的的长为________m； ②求小红和小亮之间的距离的长． 2．（2026·青海西宁·中考模拟）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．    3．（2026·青海海东·中考模拟）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 4．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）如图，以为直径的交于点D，，垂足为． (1)若，求证：为的切线； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 7．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 8．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，设，求k的值． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆的综合题、几何压轴综合题 5年真题1年模拟·答案版 考点01 几何压轴综合题 1．D 2．（1），，，； （2），； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）． 3．(1)1 (2) (3) (4)，越小 (5)0 考点02 圆的切线的性质与判定 1．##度 2． 3．【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 4．【答案】(1)证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； (2) 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 5．【答案】(1) 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 6．【答案】(1)证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解； （2）由，可得，设为，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设为， ∴， ∴， 解得：， 即的长为2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．【答案】(1) ∵BD是的直径， ∴， ∴， ∴与AC相切于点E， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形． (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 ，进而可得出 ，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形． （2）在 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长． 【详解】（1）略． （2）解：在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度． 1．(1)见解析 (2)①；②小红和小亮之间的距离BC的长为． 2． 3．【答案】(1) 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 4．【答案】(1) 证明：过点作于点， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线； (2)的半径为 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定、三角函数的定义． （1）过点作于点，由，可得，根据是的切线，得到，由，可推出，结合，可得，证明，即可求解； （2）根据，，求出，进而求出、，由（1）可得，最后根据，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为． 5．【答案】(1) 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 6．【答案】(1) 证明：如图：连接OD， 为直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 为的切线． (2)的半径为． 【分析】（1）如图：连接OD，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ， ， ， 是直径，且， 是的切线； (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而推出，根据题意得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，即可解题； （2）利用等腰三角形性质得到，根据，，推出，即可证明是的切线； （3）连接，根据题意得到，设，则，利用勾股定理得到，进而得到，，，，，证明，利用相似三角形性质求出，即可解题． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， 点D是的中点， ， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆的综合题、几何压轴综合题 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 几何压轴综合题 （2024·青海西宁·中考真题） （2025·青海西宁·中考真题） （2023·青海·中考真题） · 情境设置:以综合与实践、生活情境(如车轮设计)为载体,突出数学应用. · 考查重点:三角形与圆结合,涉及角平分线、中线、垂直关系及推理探究. · 命题趋势:趋向项目式学习与开放探究,强调综合运用与创新思维. 考点02 圆的切线的性质与判定 （2023·青海·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2025·青海·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2022·青海·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题）（多选） · 情境设置:以切线为核心,结合正方形、直角三角形、角平分线等图形. · 考查重点:切线性质与判定、切线长定理、圆周角与圆心角关系. · 命题趋势:注重多知识点融合,强化证明与计算并重,突出几何推理. 考点01 几何压轴综合题 1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，； （2），； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）略 （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 3．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【答案】(1)1 (2) (3) (4)，越小 (5)0 【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果； （3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （4）比较大小得出结果； （5）圆的半径相等，从而得出结果． 【详解】（1）解：图1， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵C为弧的中点，为半径， ∴， ； （2）解：如图2，    ，，， ， ， ； （3）解：如图3，    ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； （4）解：， ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小； 故答案为：；越小． （5）解：圆的半径相等， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 考点02 圆的切线的性质与判定 1．（2023·青海·中考真题）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是______．    【答案】##度 【分析】根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶． 【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________．    【答案】 【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵、是的切线， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键． 3．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 4．（2024·青海西宁·中考真题）如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：． (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； (2) 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 5．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且点C在上，，． (1)求证：直线是的切线； (2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 6．（2022·青海·中考真题）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求BE的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解； （2）由，可得，设为，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设为， ∴， ∴， 解得：， 即的长为2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2022·青海西宁·中考真题）（多选）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． (1)求证：四边形EMFC是矩形； (2)若，的半径为2，求FM的长． 【答案】(1) ∵BD是的直径， ∴， ∴， ∴与AC相切于点E， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形． (2) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 ，进而可得出 ，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形． （2）在 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长． 【详解】（1）略． （2）解：在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形EMFC是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度． 1．（2026·青海西宁·中考模拟）（多选）周末小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为的直径），他发现自己的位置A，小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A和小红的位置C和地面点E也在同一直线上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，． ①小明和小亮之间的的长为________m； ②求小红和小亮之间的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②小红和小亮之间的距离BC的长为． 【分析】（1）根据切线的性质结合圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得证； （2）①连接，先证是等腰直角三角形，求出的度数，再根据弧长公式进行求解即可；②求出，，再证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵水平地面与相切于点M，是的直径， ， ，， ，， ； （2）解：①连接，则， ∵，，为的直径， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：小红和小亮之间的距离的长为． 2．（2026·青海西宁·中考模拟）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．    【答案】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 3．（2026·青海海东·中考模拟）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 4．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：过点作于点， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线； (2)的半径为 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定、三角函数的定义． （1）过点作于点，由，可得，根据是的切线，得到，由，可推出，结合，可得，证明，即可求解； （2）根据，，求出，进而求出、，由（1）可得，最后根据，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为． 5．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 6．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）如图，以为直径的交于点D，，垂足为． (1)若，求证：为的切线； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图：连接OD， 为直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 为的切线． (2)的半径为． 【分析】（1）如图：连接OD，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，设，求k的值． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ， ， ， 是直径，且， 是的切线； (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而推出，根据题意得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，即可解题； （2）利用等腰三角形性质得到，根据，，推出，即可证明是的切线； （3）连接，根据题意得到，设，则，利用勾股定理得到，进而得到，，，，，证明，利用相似三角形性质求出，即可解题． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， 点D是的中点， ， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $