第4讲 三角形中的边角关系优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第4讲 三角形中的边角关系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解三角形及有关概念，会按边、按角对三角形分类 · · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形 · · 掌握三角形的角平分线、中线、高的概念，能正确画出三种重要线段 · · 会利用三边关系、中线性质解决周长差、面积比等计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的概念与分类 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 在一个三角形中，大边对大角，小边对小角 概念辨析例题：△ABC中∠A=89°，判断三角形类型 解析：最大角∠A=89°<90°，故三个角均为锐角，是锐角三角形 ☆ 2.三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a 任意两边之差小于第三边：｜a-b｜<c 判断能否构成三角形：较短两边之和>最长边即可 已知两边a,b，则第三边c的范围：｜a-b｜<c<a+b 概念辨析例题：两边长2和5，第三边为奇数，求周长 解析：3<c<7，奇数c=5，周长=2+5+5=12 ☆ 3.三角形的高、中线、角平分线 高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部 中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于重心 角平分线：内角平分线与对边交点间的线段；三条角平分线交于内心 中线分三角形为两个面积相等的小三角形（等底同高） 概念辨析例题：AD是△ABC中线，S△ABC=2，求S△ACD 解析：中线分底边BD=DC，两小三角形等底同高，面积各半，故S△ACD=1 ☆ 4.三种线段的综合应用 中线相关周长差：两小三角形周长差=AB与AC之差（公共边AD+BD=DC） 角平分线相关：分得的两个角相等 高相关：高垂直对边，形成直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 概念辨析例题：BD是中线，△ABD周长比△CBD多2cm，AB=5cm，求BC 解析：周长差=AB-BC=2，故BC=5-2=3cm 📋 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 三角形 三条线段首尾相接 不在同一直线上 三边关系 两边之和>第三边 两边之差<第三边 高 顶点到对边垂线 钝角三角形两高在外 中线 顶点到对边中点 分面积相等两部分 角平分线 平分内角交对边 三条交于一点 直角三角形斜边中线 等于斜边一半 Rt△专用 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的概念与分类（第1-12题） · · 数三角形按顺序枚举，避免重复遗漏 · · 按角分类看最大角是否>90° · · 大边对大角：边越长对角越大 · · 外角为锐角→相邻内角为钝角→钝角三角形 1．（2025秋•金乡县期末）如图，图中以∠BEC为角的三角形是（　　） A．△EBC B．△ABE C．△DEC D．△ABC 2．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．（2025秋•盐城期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断 4．（2025秋•汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是_____ 角三角形． 5．（2023秋•宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 __________ cm2．（结果保留π） 6．（2025秋•上杭县校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是_______ ． 7．（2025秋•大兴区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有_____ 个直角三角形，有_____ 个钝角三角形． 8．（2025秋•荆州月考）如图，写出一个以∠B为角的三角形是________________ ． 9．（2025秋•南沙区期中）如图，以AB为其中一边． （1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是___________________ ； （2）属于等腰三角形的是_________ ． 10．（2025秋•宿迁校级月考）如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD． 11．（2026春•栾城区期末）一个三角形的两边b＝3，c＝4． （1）当各边均为整数时，可以组成_____ 个不同的三角形． （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 12．（2024春•长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 【考点2】三角形三边关系（第13-23题） · · 判断能否构成：短两边之和>最长边 · · 已知两边求第三边：｜a-b｜<c<a+b · · 整数边/等腰问题在范围内枚举 · · 化简含绝对值：利用三边关系判断正负 13．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 14．（2026•徐州二模）若长度分别是a，2，3的三条线段能够组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．4 C．5 D．7 15．（2026春•西城区校级月考）已知三角形的三边长分别为3，x﹣2，5，则x的取值可以是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 16．（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 17．（2025秋•柯桥区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•绵阳期末）长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____ 种选法． 19．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 __________ ． 20．（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____________ ． 21．（2025春•闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 _____ ． 22．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 23．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【考点3】三角形的高、中线、角平分线（第24-35题） · · 中线分底边相等，分面积相等 · · 两小三角形周长差=两邻边之差 · · 直角三角形斜边上的中线=斜边一半 · · 高一定从顶点向对边（或延长线）作垂线 24．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 25．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 26．（2025秋•凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 27．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 28．（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 _______ ． 30．（2025秋•琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝_____ ． 31．（2026春•上海校级月考）如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝_____ ． 32．（2024秋•义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段 _______ ． 33．（2025秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 34．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 35．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · · 数三角形按顶点组合枚举 · · 篱笆转问题用三边关系求范围 · · 中线+周长条件联立求边长范围 · · 偶数边条件在范围内筛选 36．如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC上的点，AD，BE相交于点F． （1）图中共有多少个三角形？请把它们表示出来． （2）以AB为边的三角形有哪些？ （3）以∠C为内角的三角形有哪些？ 37．（2025秋•绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 _____ m（写一个即可）． 38．（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 39．（2025秋•子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•涪城区校级期末）若三角形的三边长分别为3，2x+1，8，则x的取值范围是__________ ． 【练习 2】（2026•迁安市二模）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 _____________ ． 【练习 3】（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的_____ 倍． 【练习 4】（2025秋•晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 💯 课后巩固 复习建议 · · 三边关系：短两边之和>最长边，最快判断法 · · 已知两边a,b，第三边c满足｜a-b｜<c<a+b · · 中线分三角形为面积相等的两部分 · · 两小三角形周长差=两邻边之差 · · 直角三角形斜边中线等于斜边一半 【作业 1】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【作业 2】（2026春•朝阳区校级期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【作业 3】（2025秋•京山市月考）如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为__________________ ． 【作业 4】（2026春•会泽县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BC边上的高是_______ ． 【作业 5】（2026春•镇江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 _____ ． 【作业 6】（2025秋•凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【作业 7】（2025秋•栖霞区校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 【作业 8】（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【作业 9】（2025秋•西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞_______ ，PD+CD＞_______ ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞__________ ，即AB+AC＞__________ ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 三角形中的边角关系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解三角形及有关概念，会按边、按角对三角形分类 · · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形 · · 掌握三角形的角平分线、中线、高的概念，能正确画出三种重要线段 · · 会利用三边关系、中线性质解决周长差、面积比等计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的概念与分类 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 在一个三角形中，大边对大角，小边对小角 概念辨析例题：△ABC中∠A=89°，判断三角形类型 解析：最大角∠A=89°<90°，故三个角均为锐角，是锐角三角形 ☆ 2.三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a 任意两边之差小于第三边：｜a-b｜<c 判断能否构成三角形：较短两边之和>最长边即可 已知两边a,b，则第三边c的范围：｜a-b｜<c<a+b 概念辨析例题：两边长2和5，第三边为奇数，求周长 解析：3<c<7，奇数c=5，周长=2+5+5=12 ☆ 3.三角形的高、中线、角平分线 高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部 中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于重心 角平分线：内角平分线与对边交点间的线段；三条角平分线交于内心 中线分三角形为两个面积相等的小三角形（等底同高） 概念辨析例题：AD是△ABC中线，S△ABC=2，求S△ACD 解析：中线分底边BD=DC，两小三角形等底同高，面积各半，故S△ACD=1 ☆ 4.三种线段的综合应用 中线相关周长差：两小三角形周长差=AB与AC之差（公共边AD+BD=DC） 角平分线相关：分得的两个角相等 高相关：高垂直对边，形成直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 概念辨析例题：BD是中线，△ABD周长比△CBD多2cm，AB=5cm，求BC 解析：周长差=AB-BC=2，故BC=5-2=3cm 📋 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 三角形 三条线段首尾相接 不在同一直线上 三边关系 两边之和>第三边 两边之差<第三边 高 顶点到对边垂线 钝角三角形两高在外 中线 顶点到对边中点 分面积相等两部分 角平分线 平分内角交对边 三条交于一点 直角三角形斜边中线 等于斜边一半 Rt△专用 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的概念与分类（第1-12题） · · 数三角形按顺序枚举，避免重复遗漏 · · 按角分类看最大角是否>90° · · 大边对大角：边越长对角越大 · · 外角为锐角→相邻内角为钝角→钝角三角形 1．（2025秋•金乡县期末）如图，图中以∠BEC为角的三角形是（　　） A．△EBC B．△ABE C．△DEC D．△ABC 【分析】利用三角形内角的定义进行判断． 【解答】解：以∠BEC为角的三角形是△EBC． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形，三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【分析】根据三角形的概念解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝89°， 则∠ABC是锐角， ∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 3．（2025秋•盐城期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断 【分析】先根据三角形概念得到AB、AC、BC的对角分别为∠C、∠B、∠A，再根据AB＞AC＞BC得出∠C＞∠B＞∠A结论． 【解答】解：∵AB＞AC＞BC， ∴∠C＞∠B＞∠A． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 4．（2025秋•汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是　钝　 角三角形． 【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角， ∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角， 故相邻的内角大于90度， 故△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角与相邻的内角互补是解题的关键． 5．（2023秋•宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 　48+4π　 cm2．（结果保留π） 【分析】胶棒涂过的面积＝三个长方形的面积+3个圆弧的面积． 【解答】解：， ∠1＝360°﹣90°﹣90°﹣37°＝143°， ∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣53°＝127°， 胶棒涂过的面积＝（2×6+2×8+2×10）+（）＝（48+4π）（cm2）， 故答案为：48+4π． 【点评】本题考查了半径为1cm的圆形在三角形外侧紧贴边移动一圈的面积，面积拆分计算是关键． 6．（2025秋•上杭县校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是BD ． 【分析】在△ABD中，∠A的对边是BD，∠ADB的对边是AB，∠ABD的对边是AD．据此即可得出答案． 【解答】解：在△ABD中， ∠A的对边是BD，∠ADB的对边是AB，∠ABD的对边是AD． 故答案为：BD． 【点评】此题主要考查了三角形的概念，准确识图，熟练掌握三角形的相关概念是解决问题的关键． 7．（2025秋•大兴区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　5　 个直角三角形，有　2　 个钝角三角形． 【分析】根据三角形按角分类的定义判断． 【解答】解：直角三角形：△ABD，△ADE，△ADC，△AFE，△CFE，共5个； 钝角三角形：△ABC，△AEC，共2个． 即图中有5个直角三角形，2个钝角三角形， 故答案为：5；2． 【点评】本题考查了三角形，关键是掌握三角形的定义及其分类． 8．（2025秋•荆州月考）如图，写出一个以∠B为角的三角形是　△ABD（答案不唯一）　 ． 【分析】根据三角形的定义进行求解即可． 【解答】解：以∠B为角的三角形是△ABD， 故答案为：△ABD（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 9．（2025秋•南沙区期中）如图，以AB为其中一边． （1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是　△ABE，△ABD，△ABC ； （2）属于等腰三角形的是　△ABD ． 【分析】（1）根据题意，画出以AB为一边的三角形即可； （2）结合（1）中所画三角形进行判断即可． 【解答】解：（1）如图所示， 则所画三角形分别是：△ABE，△ABD，△ABC． 故答案为：△ABE，△ABD，△ABC； （2）由（1）知， 属于等腰三角形的是△ABD． 故答案为：△ABD． 【点评】本题主要考查了三角形，能根据题意画出三角形并据此进行判断是解题的关键． 10．（2025秋•宿迁校级月考）如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD． 【分析】根据大边对大角原则证明即可． 【解答】证明：在△AOC中， ∵CO＞AC（已知）， ∴∠A＞∠AOC， ∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）， ∴∠A＞∠BOD， ∵∠B＞∠A（已知）， ∴∠B＞∠A＞∠BOD，即∠B＞∠BOD， ∴OD＞BD． 【点评】本题重点考查三角形，对顶角、邻补角，熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 11．（2026春•栾城区期末）一个三角形的两边b＝3，c＝4． （1）当各边均为整数时，可以组成　5　 个不同的三角形． （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）设第三边长为a，则1＜a＜7， 由于三角形的各边均为整数，则a＝2或3或4或5或6，因此有五个三角形， 故答案为：5； （2）①当b为腰时，a＝3＝3.3+3＞4，此时三角形的周长为3+3+4＝10； ②当c为腰时，a＝4＝c.3+4＞4能构成三角形，此时三角形的周长为4+4+3＝11； 所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是10或11． 【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答． 12．（2024春•长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）阴影部分的面积等于正方形面积之和减去△DAM，△EBM的面积．将这四部分由含有a，b的代数式表示出来即可得到答案； （2）由（1）得到阴影部分面积的表达式，利用完全平方公式得到a2+b2＝46代数求值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，AP＝a，BP＝b， ∴BM＝AM（a+b）， ∴S△DAMAD•AMa（a+b）a（a+b）， ∴S△EBMBE•BMb（a+b）b（a+b）， ∴阴影部分的面积＝a2+b2a（a+b）b（a+b）． 故图中阴影部分的面积是． （2）∵a+b＝8，ab＝9， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣18＝46， ∴30． 故图中阴影部分的面积是30． 【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，正方形的性质，将阴影部分的面积用含有a，b的代数式表示出来是解题的关键． 【考点2】三角形三边关系（第13-23题） · · 判断能否构成：短两边之和>最长边 · · 已知两边求第三边：｜a-b｜<c<a+b · · 整数边/等腰问题在范围内枚举 · · 化简含绝对值：利用三边关系判断正负 13．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 14．（2026•徐州二模）若长度分别是a，2，3的三条线段能够组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．4 C．5 D．7 【分析】根据三角形三边关系定理得出3﹣2＜a＜3+2，求出即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：3﹣2＜a＜3+2， 即1＜a＜5， 即符合的只有4， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 15．（2026春•西城区校级月考）已知三角形的三边长分别为3，x﹣2，5，则x的取值可以是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，x﹣2，5， ∴5﹣3＜x﹣2＜5+3， 即4＜x＜10． 故x的取值范围是4＜x＜10， 故选：D． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 16．（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 17．（2025秋•柯桥区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形； 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边． 18．（2025秋•绵阳期末）长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有　2　 种选法． 【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：有两种选法， 根据题意分为四种情况：100cm，30cm，50cm；30cm，70cm，50cm；100cm，70cm，50cm；100cm，70cm，30cm； 在第一种情况中：30+50＝80＜100，不能构成三角形； 在第二种情况中：30+50＝80＞70，能构成三角形； 在第三种情况中：50+70＝120＞100，能构成三角形； 在第四种情况中：30+70＝100，不能构成三角形； 综上，从长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 【点评】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 19．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 　2＜c＜8　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8． 故答案为：2＜c＜8． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 20．（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　22或24或26　 ． 【分析】整理a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0得（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，故a＝6，b＝8，结合三角形三边关系得2＜c＜14，又因为c为最长边且为偶数，故c＝8或c＝10或c＝12，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【解答】解：∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0， 解得a＝6，b＝8， ∵三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， ∴8﹣6＜c＜6+8， ∴2＜c＜14， ∵c为最长边， ∴8≤c＜14， ∵c为偶数， 故c＝8或c＝10或c＝12， 则6+8+8＝22或6+8+10＝24或6+8+12＝26， 综上所述，该三角形的周长为22或24或26， 故答案为：22或24或26． 【点评】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．（2025春•闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　3　 ． 【分析】分两种情况，①当AC＝2AB＝4时，②当BC＝2AB＝6时，分别求出AB的长，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：分两种情况： ①当AC＝2AB＝4时，AB＝2， 此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ②当BC＝2AB＝6时，AB＝3， 此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意； 综上所述，边AB的长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及新定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 22．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【分析】延长AP交BC于点D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC（AB+BC+AC），即可证明问题． 【解答】证明：延长AP交BC于点D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题． 23．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长； （2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 【考点3】三角形的高、中线、角平分线（第24-35题） · · 中线分底边相等，分面积相等 · · 两小三角形周长差=两邻边之差 · · 直角三角形斜边上的中线=斜边一半 · · 高一定从顶点向对边（或延长线）作垂线 24．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【解答】解：线段CD为△ABC的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线， ∴， ∴∠BCE＝∠B， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键． 25．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 26．（2025秋•凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【分析】由于BD是AC边上中线，所以AD＝CD，所以△ABD的周长比△ADC的周长多的部分等于AB﹣BC，再根据AB＝5cm即可得出BC的长． 【解答】解：∵BD是AC边上中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC， ∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm． ∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟知三角形的角平分线、中线、高的定义解答此题的关键． 27．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由于AD⊥BC于点D，找出所有一边在直线CB上且以A为顶点的三角形即可解答． 【解答】解：根据题意可知，AD⊥BC于点D， ∴图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△AED，△AEC，△ADC，共6个， 综上所述，以AD为高的三角形有6个，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，理解三角形的高定义是解题的关键． 28．（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断． 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误； ④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误； 则正确的有1个， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键． 29．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 　10　 ． 【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：， ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E， ∴， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 30．（2025秋•琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 31．（2026春•上海校级月考）如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　2　 ． 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差． 【解答】解：∵AD是△ABC的一条中线， ∴BD＝DC（三角形中线定理）． ∵△ABD的周长为10，△ACD的周长为12， ∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝12﹣10， AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝2， 即AC﹣AB＝2， 所以AC﹣AB的值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 32．（2024秋•义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段 CE ． 【分析】根据概念可求解． 【解答】解：如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段CE， 故答案为：CE． 【点评】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段． 33．（2025秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 【分析】（1）由题意知∠4＝∠3＝∠1+∠2，根据∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4，计算求解即可； （2）由AD为△ABC的中线，可得BD＝CD，由△ABD的周长比△ACD的周长大3，可得AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，进而可得11﹣AC＝3，计算求解即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°， ∴∠3＝∠1+∠2＝32°+32°＝64°， ∴∠3＝∠4＝64°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣64°﹣64°＝52°， ∴∠DAC的度数是52°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，即AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3，即11﹣AC＝3， 解得：AC＝8， 即AC的长为8． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．熟练掌握相关知识是解题的关键． 34．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE； （2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 35．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · · 数三角形按顶点组合枚举 · · 篱笆转问题用三边关系求范围 · · 中线+周长条件联立求边长范围 · · 偶数边条件在范围内筛选 36．如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC上的点，AD，BE相交于点F． （1）图中共有多少个三角形？请把它们表示出来． （2）以AB为边的三角形有哪些？ （3）以∠C为内角的三角形有哪些？ 【分析】（1）在数图中的三角形时，要做到不重不漏，可以先数以AB为边的三角形，再数以BD为边的三角形等； （2）以AB为边的三角形有4个； （3）以∠C为内角的三角形有3个． 【解答】解：（1）图中共有8个三角形，它们是：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD、△ACD、△AEF、△BDF、△BEC． （2）以AB为边的三角形为：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD． （3）以∠C为内角的三角形为：△ACD、△BCE、△ACB． 【点评】此题考查的是三角形，掌握它的定义是解决此题的关键． 37．（2025秋•绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　4　 m（写一个即可）． 【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答． 【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm， ∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD， 即5＜2+x＜11， ∴3＜x＜9， ∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 38．（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 【分析】（1）先根据AC＝10，，算出AB＝15，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，即可作答； （2）假设AC＝12，结合，得出AB＝18，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，得BC＝3，运用三角形三边的关系进行分析，即可作答； （3）根据三角形的周长得，利用三角形三边的关系即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AC﹣AB＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， ∴AC不能等于12； （3）∵， ∴， ∴， 当AB＞BC时，AB﹣BC＜AC＜AB+BC，即， 解得AC＜11； 当BC＞AB时，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即 解得， ∴． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 39．（2025秋•子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长． 【分析】先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC的三条边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6， ∴6﹣2＜c＜6+2，即4＜c＜8． ∵c是偶数， ∴c＝6， ∴2+6+6＝14，所以△ABC的周长为14． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，关键是三角形三边的熟练掌握． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•涪城区校级期末）若三角形的三边长分别为3，2x+1，8，则x的取值范围是　2＜x＜5　 ． 【分析】根据三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为三角形的三边长分别为3，2x+1，8， 所以8﹣3＜2x+1＜8+3， 解得2＜x＜5． 故答案为：2＜x＜5． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 【练习 2】（2026•迁安市二模）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 　6（答案不唯一）　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜x＜12，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12， ∴x可能的取值可以是6（答案不唯一）． 故答案为：6（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【练习 3】（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　2　 倍． 【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AB•DEAC•DF， ∵DF＝2DE， ∴AB＝2AC， ∴AB是AC的2倍， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得3＜c＜7，求出c＝5，即可得到答案； （3）根据三角形的三边关系得a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后化简即可． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7； （2）由（1）知3＜c＜7， ∵第三边c为奇数， ∴c＝b＝5， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 💯 课后巩固 复习建议 · · 三边关系：短两边之和>最长边，最快判断法 · · 已知两边a,b，第三边c满足｜a-b｜<c<a+b · · 中线分三角形为面积相等的两部分 · · 两小三角形周长差=两邻边之差 · · 直角三角形斜边中线等于斜边一半 【作业 1】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【分析】根据已知两边长2cm和5cm，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm， ∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2， 解得3＜x＜7． 综上所述，只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【作业 2】（2026春•朝阳区校级期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴△ABC中BC边上的高是AD， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【作业 3】（2025秋•京山市月考）如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为　　 ． 【分析】设AC＝b，AB＝nb，先求证．然后由角平分线定理得BD：DC＝n：1，设BC＝a，表示出BD；结合中线性质得，进而表示DE，再根据列方程求解n． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， ∵AD为三角形的角平分线， ∴DM＝DN， ∵， ∴． 设AC＝b，则AB＝nb，设BC＝a，则， 则BD：DC＝AB：AC＝n：1， ∴BD＝n•CD＝n•（BC﹣BD）＝n•（a﹣BD）， 解得． ∵AE是中线， ∴， 又∵BD﹣BE＝DE， 即， 两边除以a，得：． 化简得：5（2n）﹣5（n+1）＝2（n+1）， 10n﹣5n﹣5＝2n+2 即3n＝7， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线定理与三角形中线的性质，解题的关键是通过角平分线定理得线段比例，结合中线定义表示出DE，再建立方程求解． 【作业 4】（2026春•会泽县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BC边上的高是AB ． 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高即可解答． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴顶点A到BC边的垂线就是线段AB， ∴BC边上的高是AB． 故答案为：AB． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高是解题的关键． 【作业 5】（2026春•镇江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　3　 ． 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论． 【解答】解：∵E是边AC的中点，△ABC的面积等于12， ∴S△ABES△ABC＝6， ∵点D是边AB的中点， ∴△BDE的面积S△ABE， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案； （2）由三角形三边关系定理得到a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，即可化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【作业 7】（2025秋•栖霞区校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 【分析】（1）由三角形三边关系定理得到AC+CD＞AD，即可证明AC+BC＞AD+BD； （2）由∠ADC＞∠A，推出AC＞CD． 【解答】证明：（1）∵AC+CD＞AD， ∴AC+CD+BD＞AD+BD， ∴AC+BC＞AD+BD； （2）AC＞CD，理由如下： ∵∠B＝90°， ∴∠B＞∠A， ∵∠ADC＞∠B， ∴∠ADC＞∠A， ∴AC＞CD． 【点评】本题考查三角形三边关系，大角对大边，关键是掌握三角形三边关系定理，大角对大边． 【作业 8】（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 9】（2025秋•西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD ，PD+CD＞PC ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC ，即AB+AC＞PB+PC ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形两边的和大于第三边得到AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．将不等式左边、右边分别相加，得到AB+AC＞PB+PC； （2）由三角形三边关系定理得到AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，将不等式左边、右边分别相加，得到AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【解答】解：（1）如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD，PD+CD＞PC． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞PB+PC， 故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC； （2）如图②，AD+BD+CD（AB+AC+BC）理由如下： 由三角形三边关系定理得到：AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC， ∴2（AD+BD+CD）＞AB+BC+AC， ∴AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $