复习课件（三角计算）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高二上学期 期中复习讲义 三角计算 数学拓展模块一（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 和角公式 掌握正弦、余弦、正切的和差公式、能够熟练运用其进行化简、求值和证明 选择、填空、解答题都会考查 倍角公式 掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式、能够熟练运用其进行化简、求值和证明 选择、填空、解答题都会考查 正弦型函数 理解正弦型函数和正弦函数的关系，掌握正弦型函数的图像和性质及图像变换 选择、填空、解答题都会考查 辅助角公式 理解辅助角公式的推导，会运用其公式将asinx+bcosx化为正弦型函数 选择、填空题会单独考查、解答题中常和和差公式及正弦型函数结合来考查 正余弦定理、面积公式 掌握正余弦定理及面积公式，进而求三角形的边、角和面积 选择、填空、解答题都会考查 知识总结｜两角和与差的正弦、余弦及正切公式 ① 两角和与差的余弦公式： ② 两角和与差的正弦公式： ③ 两角和与差的正切公式： 3 知识总结｜二倍角公式及其变形 ① 二倍角的正弦： ② 二倍角的余弦： ③ 二倍角的正切： ④ 二倍角公式的变形：降幂 ，；升幂 ，． 4 知识总结｜辅助角公式 ① 辅助角（“二合一”）公式： ② 辅助角的正、余弦值：， ③ 说明： 称为辅助角；由上式可知 的最大值为 ． 5 典例先行｜三角恒等变换·典例1 计算 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据两角差的余弦公式即可求解． ．故选：B． 6 典例先行｜三角恒等变换·典例2 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】利用两角差的正弦公式进行化简计算．．故选：A． 7 典例先行｜三角恒等变换·典例3 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】将原式中的 替换为 ，再利用两角差的正切公式、诱导公式和特殊角的三角函数值计算即可． ．故选：B． 8 典例先行｜三角恒等变换·典例4 函数 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据正弦函数的最值求解即可．函数 ， 所以函数的最大值为 ．故选：B． 9 典例先行｜三角恒等变换·典例5 已知 ， 是第三象限角，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可．已知 ， 是第三象限角，则 ． 则 ．故选：C． 10 解题技巧｜三角恒等变换 1．使用两角和差公式时，注意函数名与角度的变换；注意“整体思想”，注意已知角 、 与所求角 之间的关系：，往它们的和、差或倍数的关系去思考． 2．用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．一定要熟练记忆和差公式和倍角公式，要能灵活看出运用哪个公式，这才是解决此类问题的关键． 3．处理函数 的基本性质时，要先用辅助角公式转化为 的形式后，才能解决要求的问题．辅助角公式是职教高考常考的一个重要内容． 11 即时训练｜三角恒等变换·训练1 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据两角和的正弦公式求解即可． ．故选：C． 12 即时训练｜三角恒等变换·训练2 计算：（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据两角和的余弦公式求解即可． ．故选：D． 13 即时训练｜三角恒等变换·训练3 化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据两角差的正弦公式可求解．．故选：B． 14 即时训练｜三角恒等变换·训练4 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式及两角和的余弦公式求解． ，故选：A． 15 即时训练｜三角恒等变换·训练5 式子 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】由两角差的正切公式求出 ，据此可得解．因为 ， 所以原式 ．故选：C． 16 即时训练｜三角恒等变换·训练6 函数 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】先利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再根据正弦函数的性质可得结果． ， 所以当 时，．故选：B． 17 即时训练｜三角恒等变换·训练7 已知 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可．因为 ，，所以 ， 则 ．故选：D． 18 即时训练｜三角恒等变换·训练8 已知角 的终边过点 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式、二倍角的正弦公式即可求解．因为角 的终边过点 ，则 ，，， 所以 ，， 则 ．故选：C． 19 知识总结｜正弦型函数的概念 ① 定义：一般地，形如 的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中 都是常数，且 ，． ② 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 为振幅． ③ 决定了 时的函数值，通常称 为初相， 为相位． ④ 决定了函数的周期 ． 20 知识总结｜振幅、初相、周期与频率的实际意义 ① 表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ② 在决定 时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③ 周期 表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示 1s 内能完成的运动次数，称为频率． 21 知识总结｜正弦型函数的性质（一）定义域、值域与周期 ① 定义域： ② 值域： ③ 周期： 22 知识总结｜正弦型函数的性质（二）奇偶性 ① 前提：“定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提．在满足这一前提的条件下： ② 当 （）时，函数 （，）是奇函数； ③ 当 （）时，函数 （，）是偶函数． 23 知识总结｜正弦型函数的性质（三）单调性 ① 思想：确定函数 （，）的单调区间，是把 看作一个整体． ② 单调递增区间：由 （）解出 的范围，可得单调递增区间； ③ 单调递减区间：由 （）解出 的范围，可得单调递减区间． 24 知识总结｜用五点法画一个周期内的简图 第 1 点： → ， 第 2 点： → ， 第 3 点： → ， 第 4 点： → ， 第 5 点： → ， 25 知识总结｜三角函数的图像变换（一）振幅、平移与周期变换 ① 振幅变换：要得到函数 （，）的图像，只要将函数 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）即可得到． ② 平移变换：要得到函数 的图像，只要将函数 的图像上所有点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度即可得到． ③ 周期变换：要得到函数 （， 且 ）的图像，可以把函数 上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）即可得到． 26 知识总结｜由 y=sin x 得到 y=Asin(ωx+φ) 的两种途径 注：途径一先平移后伸缩，途径二先伸缩后平移；两种途径的最后一步都是纵坐标变为原来的 倍． 27 典例先行｜正弦型函数·典例1 已知函数 ，若其最小正周期为 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据最小正周期的公式求解即可．因为函数 ， 所以 ，可得 ．故选：A． 28 典例先行｜正弦型函数·典例2 函数 的最大值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】运算辅助角公式将函数化为正弦型函数，据此可求解．∵ ， ∴ （当 时取得最大值）．故选：C． 29 典例先行｜正弦型函数·典例3 函数 在区间 内的取值不可能为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 可化为 ， 当 时，，所以 ， 所以函数 在区间 内的取值不可能为 ．故选：B． 30 典例先行｜正弦型函数·典例4 把函数 的图像向左平移 个单位长度，所得函数图像的解析式为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】D 【解析】根据正弦型函数左右平移变换易得答案．函数 的图像向左平移 个单位长度， 所以 ．故选：D． 31 解题技巧｜正弦型函数（一）由图象求解析式 1．已知 （，）的部分图象求其解析式，常用如下两种方法： （1）升降零点法：由 ，即可求出 ；求 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标 ，则令 （或 ），即可求出 ； （2）代入最值法：将最值点（最高点、最低点）坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ． 32 解题技巧｜正弦型函数（二）图象变换的选择 2．三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量 的系数不为 时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向． （1）三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． （2）进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把 前面的系数提取出来． 33 即时训练｜正弦型函数·训练1 函数 的周期为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据正弦型函数的周期公式求解即可．因为函数 ，所以 ， 由三角函数的性质得 ，所以函数 的周期为 ．故选：C． 34 即时训练｜正弦型函数·训练2 函数 的最小正周期和最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】先由正弦的二倍角公式化简 ，再求其最小正周期和最小值即可．由正弦的二倍角公式得，函数 ， 所以函数 的最小正周期为 ，最小值为 ．故选：A． 35 即时训练｜正弦型函数·训练3 函数 的图像可由函数 的图像（　　）得到． A．向右平移 个单位　　B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位　　D．向左平移 个单位 【答案】C 【解析】根据三角函数图像变换的规律求解．∵ 函数 ， ∴ 函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到．故选：C． 36 即时训练｜正弦型函数·训练4 已知函数 ，则函数有（　　） A．最大值是 ，周期是 　　B．最大值是 ，周期是 C．最大值是 ，周期是 　　D．最大值是 ，周期是 【答案】B 【解析】根据正弦型函数的性质和最小正周期公式易得答案．因为函数 ，所以 ． 当 时，得到 ．故选：B． 37 即时训练｜正弦型函数·训练5 已知函数 ，则 的最小正周期是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】利用两角差的正弦公式化简 的解析式，再根据正弦函数的周期性即可得到 的最小正周期．， 则 的最小正周期为 ．故选：C． 38 即时训练｜正弦型函数·训练6 函数 的值域是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】， 由于 ，故 ．故选：D． 39 知识总结｜正弦定理与余弦定理 正弦定理：（其中 是 外接圆的半径）． 余弦定理：；；． 正弦定理适用：①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 余弦定理适用：①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 40 知识总结｜两个定理的常见变形 正弦定理常见变形：① ，，；② ，，． ③ ；④ ，，． 余弦定理常见变形：，，． 41 知识总结｜三角形中的常用结论与面积公式 （1）． （2）在三角形中，大边对大角，大角对大边，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （3），，． 面积公式（1）（ 表示 边上的高）． 面积公式（2）． 42 典例先行｜解三角形·典例1 在 中，若 ，则 （　　） A．或　　B．或　　C．　　D． 【答案】A 【解析】在 中，若 ， 由正弦定理 可得 ，解得 ， 因为 ，所以 或 ．故选：A． 43 典例先行｜解三角形·典例2 在 中，角 对应的边分别为 ，已知 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】在 中，已知 ， 由余弦定理得 ．故选：A． 44 典例先行｜解三角形·典例3 在 中，已知 ，则边 的值是（　　） A．5　　B．4　　C．8　　D．6 【答案】D 【解析】在 中，根据余弦定理，可得 ， 将 ，， 代入上式得 ，可得 ， 即 ，解得 或 （负值舍掉），故 ．故选：D． 45 典例先行｜解三角形·典例4 在 中，，则三角形的面积为（　　） A．8　　B．6　　C．　　D．2 【答案】D 【解析】在 中，，， 所以 ， 所以三角形的面积为 ．故选：D． 46 解题技巧｜解三角形 1．利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，这是解题过程中常用的方法，也是利用正弦定理解题的关键． 2．根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是解答题目的关键．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 3．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法、化边法、面积法等． 47 即时训练｜解三角形·训练1 在 中，，边 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．或　　D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理 得 ，解得 ， 因为 ，则 ， 所以 ．故选：A． 48 即时训练｜解三角形·训练2 在 中，若 ，则 的值为（　　） A．　　B．8　　C．　　D． 【答案】C 【解析】已知 ， 则 ， 所以 ．故选：C． 49 即时训练｜解三角形·训练3 在 中，，则三角形的面积为（　　） A．2　　B．4　　C．　　D． 【答案】A 【解析】由三角形的面积公式可求解． 三角形的面积 ．故选：A． 50 即时训练｜解三角形·训练4 在 中，若 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】已知 ，则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ．故选：C． 51 即时训练｜解三角形·训练5 在 中，已知 ，则 是（　　）三角形． A．直角　　B．等腰直角　　C．等腰　　D．等腰或直角 【答案】D 【解析】∵在 中，已知 ，∴由正弦定理可得 ，即 ． 由 得 ，满足 的情况有两种： ①，即 ，此时 为等腰三角形； 52 即时训练｜解三角形·训练5（续） ②，即 ，此时 ， 为直角三角形． 综合①②可知， 是等腰或直角三角形， 【答案·续】D 故选：D． 53 即时训练｜解三角形·训练6 在 中，三个内角 的对边分别为 ，三条边满足 ． （1）求 ． （2）若 ，，求 的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）已知 ，所以 ， 在 中，，所以 ． （2）已知 ，，， 所以 ． 54 $