四川省雅安市雨城区八年级数学上学期课时作业（北师大版八年级上册）2.3二次根式第一节课时）

北师大版八年级上期第二章《实数》 第3节《二次根式》第一课时作业设计 （第1课时：二次根式的概念与基本性质） 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 北师大版八年级上期第二章《实数》第3节课时作业设计 学段学科 初中 · 数学 适用年级 八年级（上） 教材版本 北京师范大学出版社（北师大版）八年级上册第二章《实数》 对应内容 第二章《实数》第3节《二次根式》（第一节：二次根式的概念与基本性质） 作业类型 当堂作业（课后巩固） 完成时长 总时长约30分钟（基础12分钟＋提升10分钟＋拓展8分钟） 设计者 王臣友 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域的要求——“了解二次根式、最简二次根式的概念”，并会确定二次根式有意义的条件、掌握其基本性质。本作业落实“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”的“三会”导向，重点发展数感、符号意识与运算能力。 教材地位：二次根式是实数运算的延伸与深化，是后续二次根式化简、四则运算以及运用勾股定理解题的基础。本课时的概念与两条基本性质——（，a的算术平方根的平方）与（a的平方的算术平方根）——是本章学习的起点与关键。 教学重难点：重点——二次根式的概念与有意义的条件，两条基本性质的理解与运用；难点——被开方数非负与二次根式值非负的“双重非负性”，以及按字母正负分类讨论的意识。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握平方根、算术平方根的概念与表示方法，能熟练进行乘方（平方）运算，具备一定的符号意识与代数推理基础。 现有困惑 ①易将“被开方数非负”与“算术平方根非负”混淆；②对的结果处理易出错，忽视其结果恒为非负；③对含字母二次根式的取值范围缺乏分类讨论意识。 差异分析 班级内学生对算术平方根概念的掌握程度不一：基础较弱学生需强化概念辨析与简单求值，学有余力的学生可完成拓展探究，发展推理与迁移能力。 设计意图（一段话） 本作业依据新课标“了解二次根式概念”的要求，围绕“概念辨析—有意义条件—两条基本性质—综合运用”层层展开，按基础巩固、能力提升、拓展探究三个层次设置由易到难的梯度，既保障全体学生落实基础，又为不同水平学生提供发展空间；通过概念与性质的反复辨析，帮助学生建立正确的符号意识与推理意识，实现以作业促进核心素养落地。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 理解二次根式的概念，能辨别二次根式，理解被开方数非负的意义 数感、符号意识 概念辨别正确率 能力运用 B 会求被开方数字母的取值范围；能运用、正确求值 运算能力 过程记录、运算正确率 思维发展 C 能运用双重非负性进行推理，按字母正负分类讨论的结果 推理能力、抽象能力 论证思路、分类讨论表述 情感态度 D 体会二次根式在几何等实际情境中的应用，养成规范书写与验算习惯 应用意识、情感态度 反思语、书写规范 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 判断辨析 辨别二次根式：、、、、（x为实数）、（x为任意实数） A 辨析概念，理解被开方数非负 、、、是；、不一定 2 填空解答 求使下列二次根式有意义的字母取值范围：、、 B 落实被开方数非负的有意义条件 、、 3 求值 求值：、、、（） B 掌握a的算术平方根的平方 5、0.3、0、x 4 求值 求值：、、、（） B 掌握a的平方的算术平方根 7、9、0、a 5 求值 求值：、、（） C 在负数情形的应用 3、5、 6 计算 计算：、、 B 综合求值，巩固运算顺序 8、3、4 7 解答 已知，求y的值 C 双重非负性推理求值 由且得， 8 解答 若，求的值 C 非负数之和为0的性质 、， 9 解答 若，求a的取值范围 C 逆向运用 10 化简 化简：（）；（已知） C 分类讨论化简 ； 11 应用解答 一个正方形的面积为12，求它的边长（结果用二次根式表示并化简） D 体会二次根式在几何中的应用 边长（约3.46） 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 六、试题详情 （一）基础巩固层（面向全体学生，约12分钟） 1．判断下列各式中哪些是二次根式，并说明理由：，，，，（x为实数），（x为任意实数）。 2．求使下列二次根式有意义的字母的取值范围：，，。 3．求下列各式的值：，，，（）。 4．求下列各式的值：，，，（）。 （二）能力提升层（面向中等及以上学生，约10分钟） 5．求下列各式的值：，，（）。 6．计算：，，。 7．已知，求y的值。 8．若，求的值。 （三）拓展探究层（面向学有余力学生，约8分钟，选做） 9．若，求a的取值范围。 10．化简：（其中）；（已知）。 11．一个正方形的面积为12，求它的边长（结果用二次根式表示并化简为最简二次根式）。 七、答案与解析 （一）基础巩固层 1．、、、是二次根式；不是（被开方数）；不一定是（x可为负）。理由：形如（）的式子叫二次根式，被开方数必须非负；中恒成立，故是二次根式。 试题分析：本题考查二次根式概念的辨析，对应知识理解目标A，难度较低。解题关键是抓住“形如（）”这一本质，先看是否含根号“√”，再看被开方数是否非负；易错点是忽视“被开方数非负”的前提。 2．（1），；（2），；（3），。 试题分析：本题考查确定二次根式有意义的条件（被开方数非负），对应能力运用目标B，难度较低。解题要点是令被开方数并解不等式，如得；易错点是不等式移项变号、解集方向出错。 3．（1）；（2）；（3）；（4）（）。规律：（），即“a的算术平方根的平方等于a”。 试题分析：本题考查“（）”即“a的算术平方根的平方等于a”这一基本性质，对应能力运用目标B，难度较低。直接依据性质求值即可；注意公式的适用前提是被开方数。 4．（1）；（2）；（3）；（4）（）。规律：，当时。 试题分析：本题考查“（当时）”这一基本性质，对应能力运用目标B，难度中等。解题时先判断字母范围，再决定能否直接去根号；易错点是对“a的平方的算术平方根”结果的符号处理，结果恒为非负。 （二）能力提升层 5．（1）；（2）；（3）当a<0时，。规律：，结果恒为非负数。 试题分析：本题考查在字母取负值时的应用，渗透分类讨论思想，对应思维发展目标C，难度中等。由二次根式值非负知，当时；易错点是直接写为a而忽视结果的非负性。 6．（1）；（2）；（3）。 试题分析：本题考查综合运用两条基本性质进行乘方与开方运算，巩固运算顺序，对应能力运用目标B，难度中等。需先判断各式中字母的取值范围，再选用相应公式计算，注意结果的非负性。 7．由被开方数非负，且，解得，代入得。 试题分析：本题考查“被开方数非负”的双重非负性推理，对应思维发展目标C，难度中等。关键是同时满足且，只有成立，再代入求y；易错点是只考虑一个被开方数而漏掉另一个。 8．因为且，其和为0则各自为0，所以、，得、，故。 试题分析：本题考查“几个非负数之和为0，则各项都为0”的性质，对应思维发展目标C，难度中等。利用算术平方根与绝对值均为非负数，令、求出a、b；易错点是对非负数的识别。 （三）拓展探究层 9．，要使，需。 试题分析：本题考查逆向运用求字母取值范围，渗透分类讨论思想，对应思维发展目标C，难度中等偏上。由，结合题意，得；易错点是漏掉的情形。 10．时，；时，。 试题分析：本题考查根据字母取值范围分类讨论化简，对应思维发展目标C，难度中等偏上。解题关键是先确定被开方数对应式子的正负再取绝对值：时；时。 11．设正方形边长为x（），则，所以（）。 试题分析：本题考查二次根式在几何实际问题中的应用与化简，对应情感态度目标D，难度中等。由正方形面积（）得边长，再化为最简二次根式；易错点是不进行化简或化简不彻底。 学科网（北京）股份有限公司 $