第五单元 用字母表示数和数量关系（易错专项讲义）数学人教版五年级上册（新教材）

第五单元 用字母表示数和数量关系易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 易错题型03 用字母表示规律 易错题型04 等式的认识及列等量关系式 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 1、同时满足「明确用字母表示数量关系的简写规则、对应场景匹配正确单未知数数量逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示数量关系（1个未知数）问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配数量间运算逻辑的不符合代数书写规则的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础数字与字母相乘类简写问题时，要把数字写在字母前面，乘号可以省略不写，比如a的3倍规范写作3a，不能写成a3，得到书写顺序颠倒的错误表达式。 3、处理行程类单未知数数量关系问题时，要明确用s表示路程、v表示速度、t表示时间，对应数量关系为s=vt，不能把三者的乘除关系随意颠倒，得到违背行程逻辑的错误表达式。 4、处理价格类单未知数数量关系问题时，要明确用c表示总价、a表示单价、x表示数量，对应数量关系为c=ax，不能把总价、单价、数量的对应运算关系错配，得到违背购物逻辑的错误表达式。 5、标注用字母表示数量关系的最终结果时，要明确核对表达式的简写规范完全合规，加减除号不能随意省略，避免出现乘号漏写位置错误、1和字母相乘时漏省略1的问题，导致表达式的实际指代完全失真。 6、处理“比一个数的几倍多/少几”类单未知数数量关系问题时，要先算未知数的倍数部分，再做加减运算，比如比a的4倍少5的数规范写作4a-5，不能写成a×4-5之外的错误形式，得到运算顺序错位的错误表达式。 7、同一道用字母表示数量关系的运算过程中，乘号简写的判定标准、单未知数的数量关系定义必须完全统一，不能中途随意更改数字和字母的书写顺序、混淆平方和2a的运算含义，打乱书写逻辑的严谨性。 【题型精讲1】下列可以用6x＋5表示的是（    ）。 ①有一袋大米，每天吃x千克，吃了6天后，还剩5千克，原来这袋大米有多少千克？ ②小芳x岁，爸爸的年龄正好是她的7倍，小芳5岁时，爸爸多少岁？ ③桶里有x千克的水，又加入6杯，每杯5千克，现在桶里的水有多少千克？ ④小明今年6岁，妈妈的年龄比他的x倍还大5岁。妈妈今年多少岁？ A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【易错巩固1】一瓶果汁连瓶重a千克，倒出一半后连瓶重3.14千克，瓶里原来有多少千克果汁，下面列式正确的是（    ）。 A．a÷2－3.14 B．3.14×2－a C．（a－3.14）×2 D．a－3.14 【易错巩固2】今年明明岁，妈妈的年龄是他的3倍；再过5年，明明和妈妈相差（    ）岁。 A． B． C． D． 【易错巩固3】一本练习本2.8元，一支钢笔6.9元，各买m个，一共花（ ）元。 【易错巩固4】小梦和爸爸妈妈一起爬山，面对深处的山崖喊话，经过4秒后听到回声。如果用v米/秒表示空气中的声速，那么他们到山崖的距离是（ ）米。 【易错巩固5】一个三角形，最长边与最短边相差2cm，如果这个三角形最长边是xcm，且周长是19cm，那么第二长的边是（ ）cm。 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 1、同时满足「明确用字母表示运算定律/公式的简写规则、对应运算逻辑匹配正确字母表达式」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示运算定律及计算公式问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配运算定律逻辑的不符合代数书写规则的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理加法运算定律的字母表示类问题时，加法交换律规范写作a+b=b+a，加法结合律规范写作(a+b)+c=a+(b+c)，不能随意颠倒字母位置或改变括号的结合范围，得到违背加法运算逻辑的错误表达式。 3、处理乘法运算定律的字母表示类问题时，乘法交换律规范写作a×b=b×a（可简写为ab=ba），乘法结合律规范写作(a×b)×c=a×(b×c)（可简写为(ab)c=a(bc)），乘法分配律规范写作(a+b)×c=a×c+b×c（可简写为(a+b)c=ac+bc），不能把乘法分配律错写为(a+b)c=ab+c，得到运算定律逻辑完全错位的错误表达式。 4、处理基础几何图形周长公式的字母表示类问题时，要明确长方形长为a、宽为b时周长C=2(a+b)，正方形边长为a时周长C=4a，不能把长方形周长错写为a+b，得到漏乘2、只算半周长的错误表达式。 5、标注用字母表示运算定律及计算公式的最终结果时，要明确核对乘号简写规范、固定字母的含义统一，周长用大写C、面积用大写S、边长/长宽用小写字母，避免出现字母含义前后矛盾、乘号省略位置错误的问题，导致表达式的实际指代完全失真。 6、处理基础几何图形面积公式的字母表示类问题时，要明确长方形面积S=ab，正方形面积S=a2，不能把a2错写为2a，得到把“边长乘边长”误判为“边长加边长”的错误表达式。 【题型精讲2】小正方形的边长是m，大正方形的边长等于小正方形的周长。大正方形的周长是（    ）。 A．4m B．16m C．4m2 D．16m2 【易错巩固1】下面的式子与b×b×4相等的是（    ）。 A．4b² B．b²＋4 C．2b×4 D．12b 【易错巩固2】一个正方形的边长是am，它的周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 【易错巩固3】一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方米。 【易错巩固4】如图有3个图形，从中选择2个图形拼成1个长方形。 我选择的是（    ）和（    ）（填序号）。 拼成的长方形的面积和周长分别是多少？ 【易错巩固5】根据运算定律在横线上填适当的数或字母。 a＋b＝________＋a                a＋（7＋b）＝（________＋________）＋7 x•y•4＝4•（________•________）       10－2m－3n＝10－（________＋________） 5x＋6x＝（________＋________）•x     （n＋b）×c＝________×________＋________×________ 易错题型03 用字母表示规律 1、同时满足「明确用字母表示规律的通项推导规则、对应场景匹配正确简写规范」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示规律问题的合规解题结果，随意错推通项逻辑、违背代数式书写规范的不符合规律推导逻辑的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础等差数列类数字规律问题时，要先找准相邻两项的固定差值，用首项加（项数-1）乘公差的逻辑推导第n项的字母表达式，不能直接硬套首项乘n的错误逻辑，得到通项完全错位的结果。 3、处理图形拼接类规律问题时，要先数出前3个图形对应的元素数量，找出每新增一个图形固定增加的元素个数，推导出第n个图形对应元素数量的字母表达式，不能直接把前3个图形的数量当成通用规律，得到以偏概全的错误结果。 4、处理周期循环类规律问题时，要先算出完整周期的元素个数，用总项数除以周期数得到余数，再用字母表示出第n项对应的周期内位置的通用表达式，不能直接把周期内的局部规律当成全局规律，得到循环逻辑错误的结果。 5、标注用字母表示规律的最终结果时，要明确核对代数式的简写规范完全合规，数字写在字母前、乘号省略，避免出现书写顺序颠倒、表达式逻辑矛盾的问题，导致规律的实际指代完全失真。 6、处理“每一排比前一排多固定数量座位”类实际场景规律问题时，要以第一排座位数为基准，用第一排座位数加（排数-1）乘固定增量，推导出第n排座位数的字母表达式，不能直接用第一排座位数加排数乘增量，得到结果数值偏大的错误表达式。 7、同一道用字母表示规律的运算过程中，通项推导的判定标准、代数式的简写规则必须完全统一，不能中途随意更改项数n的起始定义、混淆n和n-1的边界逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、处理小棒搭图形类规律问题时，要先区分第一个图形的基础小棒数，后续每新增一个图形只增加固定数量的小棒，推导出第n个图形总小棒数的字母表达式，不能直接把单个图形的小棒数乘n，得到结果数值虚高的错误表达式。 9、处理代入验证类规律问题时，要把n=1、n=2、n=3分别代入推导得到的字母表达式，核对结果和实际前3项的数值完全匹配，不能推导完通项就直接结束，得到不符合前序已知项的错误结果。 10、用用字母表示规律规则解决实际问题时，要先锚定「先枚举前3组已知数据、找出固定增量/周期逻辑、推导出通项表达式并代入验证」的核心规则，不能直接硬套普通数字找规律的解题逻辑，忽略用字母表示通用规律的专属属性。 【题型精讲3】如下图，用小正方形摆图形，照这样摆下去，摆第n幅图需要用（    ）个小正方形。 A．5n B．4n C．3n D．2n 【易错巩固1】观察下图，用小木棒搭若干个平行四边形，按照这样的规律，第（    ）个图形中有100根小木棒。 A．25 B．30 C．32 D．33 【易错巩固2】观察图1至图3，按照这样的规律排列，图5应该由（ ）个“●”组成，图由（ ）个“●”组成。 【易错巩固3】如图，按这样的规律排列下去，第4幅图中有（ ）个白色六边形；第（ ）幅图中有30个白色六边形。 【易错巩固4】像这样摆9个三角形需要（ ）根小棒；像这样摆n个三角形需要（ ）根小棒；43根小棒可以摆（ ）个这样的三角形。 【易错巩固5】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 易错题型04 等式的认识及列等量关系式 1、同时满足「明确等式的左右两边完全相等判定规则、对应场景匹配正确等量关系逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的等式的认识及列等量关系式问题的合规解题结果，随意打破两边数值相等逻辑、错配场景数量关系的不符合等式定义的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础等式判定类问题时，要明确含有等号、左右两边数值完全相等的式子才是等式，不能把含有大于号、小于号的不等式判定为等式，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理“部分量之和等于总量”类等量关系问题时，要把所有部分量相加，结果等于对应的总数量，比如男生人数+女生人数=全班总人数，不能把部分量和总量的位置颠倒，得到逻辑完全错位的错误等量关系式。 4、处理行程类等量关系问题时，要明确速度×时间=路程，相遇场景下甲走的路程+乙走的路程=总路程，不能把三者的乘除运算关系随意颠倒，得到违背行程逻辑的错误等量关系式。 5、标注等式的认识及列等量关系式的最终结果时，要明确在等量关系的对应位置标注等号，核对左右两边的单位完全统一，避免出现两边单位不匹配、等号错写为不等号的问题，导致等式的实际指代完全失真。 6、处理价格类等量关系问题时，要明确单价×数量=总价，优惠场景下原价×折扣=现价，不能把三者的运算关系错配，得到违背购物场景逻辑的错误等量关系式。 7、同一道列等量关系式的运算过程中，等式两边的单位统一标准、数量关系的判定规则必须完全统一，不能中途随意更换基准量的定义、混淆等式和不等式的边界，打乱推导逻辑的严谨性。 【题型精讲4】实验小学在开展书香家庭活动中，小明的妈妈一共读了25本书，比小明读的本数的4倍还多一本，小明一共读了多少本书？下列有关这个问题的数量关系表示错误的是（    ）。 A．小明读的本数×4＋1＝25 B．小明读的本数×4－1＝25 C．25－小明读的本数×4＝1 D．小明读的本数×4＝25－1 【易错巩固1】两列火车从相距600km的两地同时相向开出。甲车每小时行驶230km，乙车每小时行驶170km。经过几个小时两车相遇？下列等量关系错误的是（    ）。 A．甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝总路程 B．总路程甲行驶的路程＝乙行驶的路程 C．甲的速度＋乙的速度×相遇时间＝总路程 D．甲乙的速度和×相遇时间＝总路程 【易错巩固2】一辆双层客车共有乘客40名，下层乘客数比上层乘客数多6名，上下层各有多少名乘客？本题的两个等量关系式是（ ）、（ ）。 【易错巩固3】养殖场今年养兔子57只，今年养的兔子数量比去年的3倍少12只。去年养兔子多少只？这个题的等量关系是（ ）。 【易错巩固4】在“绿色环保我行动”活动中，哥哥收集了a个易拉罐，妹妹收集了b个易拉罐。如果哥哥给妹妹8个，两人的易拉罐个数就同样多。a与b之间的相等关系可以表示为：（ ）＝（ ）。 【易错巩固5】养鸡场养的母鸡的只数比公鸡的5倍还多60只，写出等量关系式是（ ）；如果公鸡有1200只，母鸡有（ ）只；如果母鸡有1200只，公鸡有（ ）只。 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 1、同时满足「明确含有字母式子的化简简写规则、代入求值的运算顺序要求」规则得到的结果，才是本单元认可的含有字母式子的化简与求值问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配运算顺序的不符合代数运算逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、处理同类项合并类化简问题时，要把字母部分完全相同的项的系数相加减，字母部分保持不变，比如19m+m=20m、10n+1.3n=11.3n，不能把字母部分也跟着加减，得到20m2这类违背合并规则的错误结果。 3、处理数字与字母连乘类化简问题时，要把数字部分先相乘，再把结果写在字母前面、省略乘号，比如7×x×0.6=4.2x、0.5×3c=1.5c，不能把数字和字母随意拼接，得到7x0.6这类书写不规范的错误结果。 4、处理带括号的乘法分配律类化简问题时，要把括号外的数和括号内的每一项分别相乘再加减，比如5×(16−a)=80−5a，不能只乘括号内的第一项漏乘第二项，得到80−a这类漏项的错误结果。 5、标注含有字母式子的化简与求值的最终结果时，要明确核对化简后的式子符合简写规范，代入求值的结果标注对应场景的实际单位，避免出现数字写在字母后面、漏写单位的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道含有字母式子的化简与求值运算过程中，乘号简写的判定标准、同类项的合并规则必须完全统一，不能中途随意更改数字和字母的书写顺序、混淆a2和2a的运算含义，打乱运算逻辑的严谨性。 7、处理代入数值求值类问题时，要先把字母替换为对应的具体数值，恢复原本省略的乘号，再按照四则运算顺序计算，不能直接把数字和字母位置拼接硬算，得到数值完全错位的错误结果。 8、用含有字母式子的化简与求值规则解决实际问题时，要先锚定「先按化简规则把式子化到最简形式、再代入对应数值按运算顺序计算、核对结果逻辑合理性」的核心规则，不能直接硬套纯数字四则运算的解题逻辑，忽略含字母式子的专属简写规范。 【题型精讲5】医学上常用一个估算公式来快速计算2～6岁儿童的参考体重：用自己的年龄乘2再加上8就是自己的参考体重。（单位：千克） （1）在上幼儿园的玲玲今年n岁，请用含有字母的式子表示玲玲的参考体重。 （2）若丽丽今年6岁，她现在的体重比参考体重多0.5千克。丽丽现在的体重是多少？ 【易错巩固1】一个电铃每次响铃时间为4秒，两次之间间隔2秒。 （1）这个电铃响了次，从响铃到结束共持续了多长时间？ （2）当时，这个电铃从响铃到结束共持续多长时间？ 【易错巩固2】在一个长方形中，如果没有一条直线，则长方形可以看作一个部分；如果在长方形中画一条直线，这个长方形就被分成了两个部分；如果画两条直线，最多可以将长方形分成四个部分；如果画三条直线，最多可以将长方形分成七个部分。 （1）如果在长方形中画n条直线，最多可以将长方形分成多少个部分？ （2）当时，最多可以将长方形分成多少个部分？ 【易错巩固3】张阿姨是一个玩具厂的工人。为迎接马年，她们厂接到生产小马玩偶的订单。张阿姨所在的车间每天可生产个小马玩偶。 （1）用含有字母的式子表示5天张阿姨所在的车间一共能生产多少个小马玩偶。 （2）当时，张阿姨所在的车间一共生产了多少个小马玩偶？ 【易错巩固4】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 （1）用含有字母的式子表示这本书的总页数。 （2）当时，求这本书的总页数。 【易错巩固5】购物。 （1）小明买x本日记本和一个足球要用多少元？（用含有字母的式子表示） （2）王老师买了a个排球和3个篮球，一共花了多少元（用含有字母的式子表示）？当a＝5时，王老师一共花了多少元？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 用字母表示数和数量关系易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 易错题型03 用字母表示规律 易错题型04 等式的认识及列等量关系式 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 1、同时满足「明确用字母表示数量关系的简写规则、对应场景匹配正确单未知数数量逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示数量关系（1个未知数）问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配数量间运算逻辑的不符合代数书写规则的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础数字与字母相乘类简写问题时，要把数字写在字母前面，乘号可以省略不写，比如a的3倍规范写作3a，不能写成a3，得到书写顺序颠倒的错误表达式。 3、处理行程类单未知数数量关系问题时，要明确用s表示路程、v表示速度、t表示时间，对应数量关系为s=vt，不能把三者的乘除关系随意颠倒，得到违背行程逻辑的错误表达式。 4、处理价格类单未知数数量关系问题时，要明确用c表示总价、a表示单价、x表示数量，对应数量关系为c=ax，不能把总价、单价、数量的对应运算关系错配，得到违背购物逻辑的错误表达式。 5、标注用字母表示数量关系的最终结果时，要明确核对表达式的简写规范完全合规，加减除号不能随意省略，避免出现乘号漏写位置错误、1和字母相乘时漏省略1的问题，导致表达式的实际指代完全失真。 6、处理“比一个数的几倍多/少几”类单未知数数量关系问题时，要先算未知数的倍数部分，再做加减运算，比如比a的4倍少5的数规范写作4a-5，不能写成a×4-5之外的错误形式，得到运算顺序错位的错误表达式。 7、同一道用字母表示数量关系的运算过程中，乘号简写的判定标准、单未知数的数量关系定义必须完全统一，不能中途随意更改数字和字母的书写顺序、混淆平方和2a的运算含义，打乱书写逻辑的严谨性。 【题型精讲1】下列可以用6x＋5表示的是（    ）。 ①有一袋大米，每天吃x千克，吃了6天后，还剩5千克，原来这袋大米有多少千克？ ②小芳x岁，爸爸的年龄正好是她的7倍，小芳5岁时，爸爸多少岁？ ③桶里有x千克的水，又加入6杯，每杯5千克，现在桶里的水有多少千克？ ④小明今年6岁，妈妈的年龄比他的x倍还大5岁。妈妈今年多少岁？ A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】分别列出每个描述对应的表达式，判断是否与一致即可。 【解答】① 6天吃的重量为千克，原来大米重量：，符合要求。 ② 小芳5岁时，爸爸年龄为，无法用表示，不符合要求。 ③ 加入的水重千克，现在桶里水重：，不符合要求。 ④ 妈妈年龄：，符合要求。 综上，①④符合。 【易错巩固1】一瓶果汁连瓶重a千克，倒出一半后连瓶重3.14千克，瓶里原来有多少千克果汁，下面列式正确的是（    ）。 A．a÷2－3.14 B．3.14×2－a C．（a－3.14）×2 D．a－3.14 【答案】C 【分析】果汁连瓶一共重a千克，倒出一半果汁后连瓶重3.14千克，瓶子重量始终不变。用总重量a减去3.14，得到的就是倒出去的一半果汁的质量，再乘2，即可求出原来果汁的总质量。 【解答】一半果汁质量：a－3.14 原来果汁总质量：（a－3.14）×2 【易错巩固2】今年明明岁，妈妈的年龄是他的3倍；再过5年，明明和妈妈相差（    ）岁。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个人的年龄差始终不变，算出今年的年龄差就是5年后的年龄差。 【解答】今年妈妈的年龄：岁，今年年龄差：（岁）。再过5年，两人的年龄差仍然为岁。 【易错巩固3】一本练习本2.8元，一支钢笔6.9元，各买m个，一共花（ ）元。 【答案】9.7m 【分析】首先用总价＝单价×数量，分别计算买练习本的总花费和买钢笔的总花费，再将两种商品的总花费相加，求一共花的钱数；最后用乘法分配律对式子进行化简即可。 【解答】 （元） 一共花9.7m元。 【易错巩固4】小梦和爸爸妈妈一起爬山，面对深处的山崖喊话，经过4秒后听到回声。如果用v米/秒表示空气中的声速，那么他们到山崖的距离是（ ）米。 【答案】2v 【分析】声音从人所在位置到山崖再返回，总路程是人和山崖之间距离的2倍。已知声音在空气中的传播速度是v米/秒，面对深处的山崖喊话，经过4秒后听到回声，根据路程＝速度×时间，用声音在空气中的传播速度乘时间，就能求出声音4秒经过的路程。再根据回声的特点，即可求出小梦他们与山崖的距离。 【解答】4×v÷2 ＝4v÷2 ＝2v（米） 【易错巩固5】一个三角形，最长边与最短边相差2cm，如果这个三角形最长边是xcm，且周长是19cm，那么第二长的边是（ ）cm。 【答案】21－2x 【分析】已知最长边是xcm，最长边比最短边长2cm，所以最短边是（x－2）cm，三角形周长是三条边长度之和，用周长依次减去最长边和最短边，即可求出第二长的边。 【解答】19－x－（x－2） ＝19－x－x＋2 ＝（21－2x）cm 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 1、同时满足「明确用字母表示运算定律/公式的简写规则、对应运算逻辑匹配正确字母表达式」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示运算定律及计算公式问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配运算定律逻辑的不符合代数书写规则的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理加法运算定律的字母表示类问题时，加法交换律规范写作a+b=b+a，加法结合律规范写作(a+b)+c=a+(b+c)，不能随意颠倒字母位置或改变括号的结合范围，得到违背加法运算逻辑的错误表达式。 3、处理乘法运算定律的字母表示类问题时，乘法交换律规范写作a×b=b×a（可简写为ab=ba），乘法结合律规范写作(a×b)×c=a×(b×c)（可简写为(ab)c=a(bc)），乘法分配律规范写作(a+b)×c=a×c+b×c（可简写为(a+b)c=ac+bc），不能把乘法分配律错写为(a+b)c=ab+c，得到运算定律逻辑完全错位的错误表达式。 4、处理基础几何图形周长公式的字母表示类问题时，要明确长方形长为a、宽为b时周长C=2(a+b)，正方形边长为a时周长C=4a，不能把长方形周长错写为a+b，得到漏乘2、只算半周长的错误表达式。 5、标注用字母表示运算定律及计算公式的最终结果时，要明确核对乘号简写规范、固定字母的含义统一，周长用大写C、面积用大写S、边长/长宽用小写字母，避免出现字母含义前后矛盾、乘号省略位置错误的问题，导致表达式的实际指代完全失真。 6、处理基础几何图形面积公式的字母表示类问题时，要明确长方形面积S=ab，正方形面积S=a2，不能把a2错写为2a，得到把“边长乘边长”误判为“边长加边长”的错误表达式。 【题型精讲2】小正方形的边长是m，大正方形的边长等于小正方形的周长。大正方形的周长是（    ）。 A．4m B．16m C．4m2 D．16m2 【答案】B 【分析】由题意知，小正方形边长为m，可求出小正方形的周长=边长×4，同时小正方形的周长为大正方形的边长，即可直接求出大正方形周长=边长×4。 【解答】小正方形周长：m×4=4m 大正方形周长：4m×4=16m 故答案为：B 【易错巩固1】下面的式子与b×b×4相等的是（    ）。 A．4b² B．b²＋4 C．2b×4 D．12b 【答案】A 【分析】根据题目，一个数与它本身相乘所得的积是这个数的平方，b×b可以简写成，所以，结果为。由此分析选项即可。 【解答】A．，与化简后的结果相同。 B．，这是b的平方与4的和，与b×b×4不相等。 C．2b×4＝8b，与b×b×4不相等。 D．12b，与b×b×4不相等。 故答案为：A 【易错巩固2】一个正方形的边长是am，它的周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 【答案】4a a2 【分析】根据正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长，代入数值即可解答。 【解答】周长：a×4＝4a（m） 面积：a×a＝a2（m2） 【易错巩固3】一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方米。 【答案】2a＋2b ab b 【分析】根据长方形周长计算公式：2×（长＋宽），面积计算公式：长×宽，将长是a米、宽是b米分别代入公式列出式子即可； 从这个长方形上剪下最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是b米；再根据正方形的面积计算公式：边长乘边长列出式子即可。 【解答】长方形的周长：2×（长＋宽）＝2×（a＋b）＝2a＋2b（米） 长方形的面积：长×宽＝ab（平方米） 正方形的面积：边长×边长＝b×b＝b2（平方米） 【易错巩固4】如图有3个图形，从中选择2个图形拼成1个长方形。 我选择的是（    ）和（    ）（填序号）。 拼成的长方形的面积和周长分别是多少？ 【答案】①；②； 面积：ab＋ac 周长：2a＋2b＋2c 或②；③； 面积：ac＋cd 周长：2a＋2d＋2c （答案任选其一） 【分析】有相同边长的两个长方形能拼成一个长方形； 如果把①②长和长重合、宽与宽连接，则会拼成一个长是a、宽是b＋c的长方形； 如果把②③宽和宽重合、长与长连接，则会拼成一个长是a＋d、宽是c的长方形； 最后根据长方形的面积＝长×宽，长方形周长＝（长＋宽）×2计算即可。 【解答】第一种：我选择的是①和② 面积： 周长： 第二种：我选择的是②和③ 面积： 周长： 【易错巩固5】根据运算定律在横线上填适当的数或字母。 a＋b＝________＋a                a＋（7＋b）＝（________＋________）＋7 x•y•4＝4•（________•________）       10－2m－3n＝10－（________＋________） 5x＋6x＝（________＋________）•x     （n＋b）×c＝________×________＋________×________ 【答案】b a b x y 2m 3n 5 6 n c b c 【分析】根据加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变。加法结合律：三个数相加，可以先把前两个相加，也可以先把后两个相加，和不变。乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个相乘，也可以先把后两个相乘，积不变。乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以分别相乘，再相加。减法性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。进行填空。 【解答】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变。 所以； （2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个相加，也可以先把后两个相加，和不变。 所以； （3）乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个相乘，也可以先把后两个相乘，积不变。 所以； （4）减法性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 所以； （5）乘法分配律的逆运用。 所以； （6）乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以分别相乘，再相加。 所以。 易错题型03 用字母表示规律 1、同时满足「明确用字母表示规律的通项推导规则、对应场景匹配正确简写规范」规则得到的结果，才是本单元认可的用字母表示规律问题的合规解题结果，随意错推通项逻辑、违背代数式书写规范的不符合规律推导逻辑的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础等差数列类数字规律问题时，要先找准相邻两项的固定差值，用首项加（项数-1）乘公差的逻辑推导第n项的字母表达式，不能直接硬套首项乘n的错误逻辑，得到通项完全错位的结果。 3、处理图形拼接类规律问题时，要先数出前3个图形对应的元素数量，找出每新增一个图形固定增加的元素个数，推导出第n个图形对应元素数量的字母表达式，不能直接把前3个图形的数量当成通用规律，得到以偏概全的错误结果。 4、处理周期循环类规律问题时，要先算出完整周期的元素个数，用总项数除以周期数得到余数，再用字母表示出第n项对应的周期内位置的通用表达式，不能直接把周期内的局部规律当成全局规律，得到循环逻辑错误的结果。 5、标注用字母表示规律的最终结果时，要明确核对代数式的简写规范完全合规，数字写在字母前、乘号省略，避免出现书写顺序颠倒、表达式逻辑矛盾的问题，导致规律的实际指代完全失真。 6、处理“每一排比前一排多固定数量座位”类实际场景规律问题时，要以第一排座位数为基准，用第一排座位数加（排数-1）乘固定增量，推导出第n排座位数的字母表达式，不能直接用第一排座位数加排数乘增量，得到结果数值偏大的错误表达式。 7、同一道用字母表示规律的运算过程中，通项推导的判定标准、代数式的简写规则必须完全统一，不能中途随意更改项数n的起始定义、混淆n和n-1的边界逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、处理小棒搭图形类规律问题时，要先区分第一个图形的基础小棒数，后续每新增一个图形只增加固定数量的小棒，推导出第n个图形总小棒数的字母表达式，不能直接把单个图形的小棒数乘n，得到结果数值虚高的错误表达式。 9、处理代入验证类规律问题时，要把n=1、n=2、n=3分别代入推导得到的字母表达式，核对结果和实际前3项的数值完全匹配，不能推导完通项就直接结束，得到不符合前序已知项的错误结果。 10、用用字母表示规律规则解决实际问题时，要先锚定「先枚举前3组已知数据、找出固定增量/周期逻辑、推导出通项表达式并代入验证」的核心规则，不能直接硬套普通数字找规律的解题逻辑，忽略用字母表示通用规律的专属属性。 【题型精讲3】如下图，用小正方形摆图形，照这样摆下去，摆第n幅图需要用（    ）个小正方形。 A．5n B．4n C．3n D．2n 【答案】A 【分析】摆第1幅图需要5个小正方形。摆第2幅图需要（2×5＝10）个小正方形。摆第3幅图需要（5×3）个小正方形。，则摆第n幅图需要用（5×n）个小正方形，据此解答。 【解答】用小正方形摆图形，照这样摆下去，摆第n幅图需要用5n个小正方形。 【易错巩固1】观察下图，用小木棒搭若干个平行四边形，按照这样的规律，第（    ）个图形中有100根小木棒。 A．25 B．30 C．32 D．33 【答案】D 【分析】观察图形可知，每增加1个平行四边形，增加3根小木棒，图1需要1＋3根小木棒，图2需要1＋2×3根小木棒，图3需要1＋3×3根小木棒，……第n个图形需要1＋3n根小木棒。第几个图形中有100根小棒，就是1＋3n＝100，求解即可得出是第几个图形。 【解答】设第n个图形中有100根小木棒。 1＋3n＝100 3n＝100－1 3n＝99 n＝99÷3 n＝33 即第33个图形中有100根小木棒。 【易错巩固2】观察图1至图3，按照这样的规律排列，图5应该由（ ）个“●”组成，图由（ ）个“●”组成。 【答案】20 【分析】由图知，图1由4个“●”组成，即1×4＝4； 图2由8个“●”组成，即2×4＝8； 图3由12个“●”组成，即3×4＝12； …… 则图n由4n个“●”组成。 据此代入n＝5，计算出图5中有“●”的数量。 【解答】由分析知规律：图n由4n个“●”组成。 当n＝5时，“●”的数量为： 4×5＝20（个） 因此，图5应该由20个“●”组成，图由个“●”组成。 【易错巩固3】如图，按这样的规律排列下去，第4幅图中有（ ）个白色六边形；第（ ）幅图中有30个白色六边形。 【答案】18 7 【分析】观察图形发现，第一个图案有白色瓷砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色瓷砖，根据这个规律，可确定第幅图中有白色瓷砖：块，求第4幅图中的白色瓷砖块数，把中的替换成4进行计算，用30减去2的差除以4可算得第几幅中有30个白色六边形。 【解答】第1个图案有白色瓷砖6块，是 第2个图案有白色瓷砖10块，是 第3个图案有白色瓷砖14块，是 ……              …… 总结规律，第个图案有白色瓷砖块是块 第4幅图中白色瓷砖块数，把4代入计算：    所以第4幅图中有18个白色六边形。 第几幅图中有30个白色六边形 所以第7幅图中有30个白色六边形。 【易错巩固4】像这样摆9个三角形需要（ ）根小棒；像这样摆n个三角形需要（ ）根小棒；43根小棒可以摆（ ）个这样的三角形。 【答案】19 2n＋1 21 【分析】由图可知：摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形时因为共用一条边，只用5根，摆3个三角形用7根，每多摆1个就多2根，对比发现：3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，由此推出摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒，再把小棒总数43代入，令2n＋1＝43，列方程求出三角形的个数。 【解答】摆9个三角形：2×9＋1 ＝18＋1 ＝19（根） 摆n个三角形：2×n＋1＝（2n＋1）根 2n＋1＝43 解：2n＋1－1＝43－1 2n＝42 2n÷2＝42÷2 n＝21 【易错巩固5】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 【答案】； ⑦；100 【分析】先找前三个图的规律： 图①：共2＋1＝3个，△共1×1＝1个； 图②：共2×2＋1＝4＋1＝5个，△共2×2＝4个； 图③：共2×3＋1＝6＋1＝7个，△共3×3＝9个； 则，图④：共2×4＋1＝8＋1＝9个，△共4×4＝16个； 据此总结出通用规律：第n个图里，的总数量是（2n＋1）个，△的总数是（n×n）个。据此解决。 【解答】图略 解：设图n中有15个。 2n＋1＝15 2n＝15－1 2n＝14 n＝14÷2 n＝7，即，图⑦中有15个； 图⑩中△的个数有：10×10＝100（个）。 易错题型04 等式的认识及列等量关系式 1、同时满足「明确等式的左右两边完全相等判定规则、对应场景匹配正确等量关系逻辑」规则得到的结果，才是本单元认可的等式的认识及列等量关系式问题的合规解题结果，随意打破两边数值相等逻辑、错配场景数量关系的不符合等式定义的表达式不能作为有效解题依据。 2、处理基础等式判定类问题时，要明确含有等号、左右两边数值完全相等的式子才是等式，不能把含有大于号、小于号的不等式判定为等式，得到概念完全混淆的错误结果。 3、处理“部分量之和等于总量”类等量关系问题时，要把所有部分量相加，结果等于对应的总数量，比如男生人数+女生人数=全班总人数，不能把部分量和总量的位置颠倒，得到逻辑完全错位的错误等量关系式。 4、处理行程类等量关系问题时，要明确速度×时间=路程，相遇场景下甲走的路程+乙走的路程=总路程，不能把三者的乘除运算关系随意颠倒，得到违背行程逻辑的错误等量关系式。 5、标注等式的认识及列等量关系式的最终结果时，要明确在等量关系的对应位置标注等号，核对左右两边的单位完全统一，避免出现两边单位不匹配、等号错写为不等号的问题，导致等式的实际指代完全失真。 6、处理价格类等量关系问题时，要明确单价×数量=总价，优惠场景下原价×折扣=现价，不能把三者的运算关系错配，得到违背购物场景逻辑的错误等量关系式。 7、同一道列等量关系式的运算过程中，等式两边的单位统一标准、数量关系的判定规则必须完全统一，不能中途随意更换基准量的定义、混淆等式和不等式的边界，打乱推导逻辑的严谨性。 【题型精讲4】实验小学在开展书香家庭活动中，小明的妈妈一共读了25本书，比小明读的本数的4倍还多一本，小明一共读了多少本书？下列有关这个问题的数量关系表示错误的是（    ）。 A．小明读的本数×4＋1＝25 B．小明读的本数×4－1＝25 C．25－小明读的本数×4＝1 D．小明读的本数×4＝25－1 【答案】B 【分析】等量关系式：小明读的本数×4＋1本＝小明的妈妈读的本数，由此找出数量关系不符合题意的选项。 【解答】A．分析可知，小明读的本数×4＋1＝25，符合题意； B．分析可知，小明读的本数×4－1≠25，不符合题意； C．分析可知，小明的妈妈读的本数－小明读的本数×4＝1本，则25－小明读的本数×4＝1，符合题意； D．分析可知，小明读的本数×4＝小明的妈妈读的本数－1本，则小明读的本数×4＝25－1，符合题意。 数量关系表示错误的是：小明读的本数×4－1＝25。 【易错巩固1】两列火车从相距600km的两地同时相向开出。甲车每小时行驶230km，乙车每小时行驶170km。经过几个小时两车相遇？下列等量关系错误的是（    ）。 A．甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝总路程 B．总路程甲行驶的路程＝乙行驶的路程 C．甲的速度＋乙的速度×相遇时间＝总路程 D．甲乙的速度和×相遇时间＝总路程 【答案】C 【分析】两列火车从相距600km的两地同时相向开出。甲车每小时行驶230km，乙车每小时行驶170km。经过几个小时两车相遇，可以知道甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程等于总路程，（甲车行驶速度＋乙车行驶速度）乘相遇时间等于总路程，据此选择。 【解答】A．甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝总路程是正确的。 B．总路程甲行驶的路程＝乙行驶的路程是正确的。 C．甲的速度＋乙的速度×相遇时间＝总路程是错误的。 D．600÷（230＋170）＝600÷400＝1.5（小时），甲乙的速度和×相遇时间＝总路程是正确的。 故答案为：C 【易错巩固2】一辆双层客车共有乘客40名，下层乘客数比上层乘客数多6名，上下层各有多少名乘客？本题的两个等量关系式是（ ）、（ ）。 【答案】下层乘客数＝上层乘客数＋6名 上层乘客数＋下层乘客数＝40名 【分析】从题中找数量关系，“下层乘客数比上层乘客数多6名”可以得到第一个等量关系式；“一辆双层客车共有乘客40名”也就是上层与下层乘客数相加等于总人数，得到第二个等量关系式。 【解答】两个等量关系式： 下层乘客数＝上层乘客数＋6名 上层乘客数＋下层乘客数＝40名 【易错巩固3】养殖场今年养兔子57只，今年养的兔子数量比去年的3倍少12只。去年养兔子多少只？这个题的等量关系是（ ）。 【答案】去年养兔子的数量×3－12＝今年养兔子的数量 【分析】根据题意可知：如果给去年养兔子数量的3倍减去12只，那么得到的数量正好是今年养兔子的数量。求一个数的几倍用乘法。据此解答。 【解答】根据分析写出等量关系式为： 去年养兔子的数量×3－12＝今年养兔子的数量。 【易错巩固4】在“绿色环保我行动”活动中，哥哥收集了a个易拉罐，妹妹收集了b个易拉罐。如果哥哥给妹妹8个，两人的易拉罐个数就同样多。a与b之间的相等关系可以表示为：（ ）＝（ ）。 【答案】a－8 b＋8 【分析】哥哥原有a个，给妹妹8个后，哥哥剩余a－8个；妹妹原有b个，收到8个后，妹妹有b＋8个。此时两人易拉罐个数相等，所以a－8＝b＋8。 【解答】a与b之间的相等关系可以表示为：a－8＝b＋8。 【易错巩固5】养鸡场养的母鸡的只数比公鸡的5倍还多60只，写出等量关系式是（ ）；如果公鸡有1200只，母鸡有（ ）只；如果母鸡有1200只，公鸡有（ ）只。 【答案】公鸡的只数×5＋60＝母鸡的只数 6060 228 【分析】根据题意母鸡的只数比公鸡的5倍还多60只，即公鸡的只数×5＋60只＝母鸡的只数；再根据它们之间的关系式，计算出母鸡的数量和公鸡的数量。 【解答】公鸡的只数×5＋60＝母鸡的只数； 1200×5＋60 ＝6000＋60 ＝6060（只） （1200－60）÷5 ＝1140÷5 ＝228（只） 养鸡场养的母鸡的只数比公鸡的5倍还多60只，写出等量关系式是公鸡的只数×5＋60＝母鸡的只数；如果公鸡有1200只，母鸡有6060只；如果母鸡有1200只，公鸡有228只。 【点睛】解答本题的关键是找出公鸡只数与母鸡只数之间的关系，再利用它们之间的关系解答问题。 易错题型05 含有字母式子的化简与求值 1、同时满足「明确含有字母式子的化简简写规则、代入求值的运算顺序要求」规则得到的结果，才是本单元认可的含有字母式子的化简与求值问题的合规解题结果，随意违背乘号简写规范、错配运算顺序的不符合代数运算逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、处理同类项合并类化简问题时，要把字母部分完全相同的项的系数相加减，字母部分保持不变，比如19m+m=20m、10n+1.3n=11.3n，不能把字母部分也跟着加减，得到20m2这类违背合并规则的错误结果。 3、处理数字与字母连乘类化简问题时，要把数字部分先相乘，再把结果写在字母前面、省略乘号，比如7×x×0.6=4.2x、0.5×3c=1.5c，不能把数字和字母随意拼接，得到7x0.6这类书写不规范的错误结果。 4、处理带括号的乘法分配律类化简问题时，要把括号外的数和括号内的每一项分别相乘再加减，比如5×(16−a)=80−5a，不能只乘括号内的第一项漏乘第二项，得到80−a这类漏项的错误结果。 5、标注含有字母式子的化简与求值的最终结果时，要明确核对化简后的式子符合简写规范，代入求值的结果标注对应场景的实际单位，避免出现数字写在字母后面、漏写单位的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道含有字母式子的化简与求值运算过程中，乘号简写的判定标准、同类项的合并规则必须完全统一，不能中途随意更改数字和字母的书写顺序、混淆a2和2a的运算含义，打乱运算逻辑的严谨性。 7、处理代入数值求值类问题时，要先把字母替换为对应的具体数值，恢复原本省略的乘号，再按照四则运算顺序计算，不能直接把数字和字母位置拼接硬算，得到数值完全错位的错误结果。 8、用含有字母式子的化简与求值规则解决实际问题时，要先锚定「先按化简规则把式子化到最简形式、再代入对应数值按运算顺序计算、核对结果逻辑合理性」的核心规则，不能直接硬套纯数字四则运算的解题逻辑，忽略含字母式子的专属简写规范。 【题型精讲5】医学上常用一个估算公式来快速计算2～6岁儿童的参考体重：用自己的年龄乘2再加上8就是自己的参考体重。（单位：千克） （1）在上幼儿园的玲玲今年n岁，请用含有字母的式子表示玲玲的参考体重。 （2）若丽丽今年6岁，她现在的体重比参考体重多0.5千克。丽丽现在的体重是多少？ 【答案】（1）千克 （2）20.5千克 【分析】（1）根据题意：参考体重＝年龄×2＋8；据此代入年龄写出含字母的式子即可； （2）先代入年龄6求出参考体重，再加上多出的0.5千克，得到丽丽的实际体重。 【解答】（1）千克 答：玲玲的参考体重是千克。 （2） （千克） 答：丽丽现在的体重是20.5千克。 【易错巩固1】一个电铃每次响铃时间为4秒，两次之间间隔2秒。 （1）这个电铃响了次，从响铃到结束共持续了多长时间？ （2）当时，这个电铃从响铃到结束共持续多长时间？ 【答案】（1）秒 （2）秒 【分析】（1）响铃的间隔数比响铃次数少，总持续时间等于响铃总时长加间隔总时长，先推导总时间的表达式。 （2）根据推导式再代入数值计算。 【解答】（1）响次的间隔数为。 秒 答：从响铃到结束共持续了多长时间秒。 （2）当时： （秒） 答：这个电铃从响铃到结束共持续秒。 【易错巩固2】在一个长方形中，如果没有一条直线，则长方形可以看作一个部分；如果在长方形中画一条直线，这个长方形就被分成了两个部分；如果画两条直线，最多可以将长方形分成四个部分；如果画三条直线，最多可以将长方形分成七个部分。 （1）如果在长方形中画n条直线，最多可以将长方形分成多少个部分？ （2）当时，最多可以将长方形分成多少个部分？ 【答案】（1）个 （2）1276个 【分析】（1）由题意可知，长方形中画的直线的数量与分成的部分的关系如下： 条线：个部分， 条线：个部分， 条线：个部分， 条线：个部分， 条线： 根据＝（1＋n）×n÷2，则 据此解答。 （2）把代入算式计算即可。 【解答】（1） 个 答：最多可以将长方形分成个部分。 （2）当时 （个） 答：最多可以将长方形分成1276个部分。 【易错巩固3】张阿姨是一个玩具厂的工人。为迎接马年，她们厂接到生产小马玩偶的订单。张阿姨所在的车间每天可生产个小马玩偶。 （1）用含有字母的式子表示5天张阿姨所在的车间一共能生产多少个小马玩偶。 （2）当时，张阿姨所在的车间一共生产了多少个小马玩偶？ 【答案】（1）个 （2）600个 【分析】（1）用车间每天可生产小马玩偶的个数乘生产天数可算得一共生产的小马玩偶个数，每天可生产个小马玩偶，生产5天，用乘5即可算得5天一共生产的小马玩偶个数。 （2）把代入计算即可。 【解答】（1）每天可生产个小马玩偶，生产5天，共生产个数： （个） 答：5天张阿姨所在的车间一共能生产个小马玩偶。 （2）当时 答：当时，张阿姨所在的车间一共生产了600个小马玩偶。 【易错巩固4】4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 （1）用含有字母的式子表示这本书的总页数。 （2）当时，求这本书的总页数。 【答案】（1）页 （2）60页 【分析】（1）这本书的总页数＝每天看的页数×看完的天数，数字和字母相乘时中间的乘号可以省略并把数字写在字母的前面； （2）把m＝6代入含有字母的式子即可求出结果； 【解答】（1）根据分析，解答如下： 10×m＝10m（页） 答：这本书的总页数为10m页。 （2）根据分析，解答如下： ，10m＝10×6＝60（页） 答：当时，这本书的总页数为60页。 【易错巩固5】购物。 （1）小明买x本日记本和一个足球要用多少元？（用含有字母的式子表示） （2）王老师买了a个排球和3个篮球，一共花了多少元（用含有字母的式子表示）？当a＝5时，王老师一共花了多少元？ 【答案】（1）（2x＋36）元 （2）（42a＋135）元；345（元） 【分析】（1）根据总价＝单价×数量，先算出x本日记本总价，再加1个足球的价钱，日记本单价2元，足球单价36元。 （2）先分别求出a个排球、3个篮球各自总价，相加得到总钱数；再把a＝5代入式子算出具体金额。排球单价42元，篮球单价45元。 【解答】（1）日记本总价：2×x＝2x（元） 总钱数：（2x＋36）元 答：小明买x本日记本和一个足球要用（2x＋36）元。 （2）a个排球总价：42×a＝42a（元） 3个篮球总价：45×3＝135（元） 总价钱：（42a＋135）元 把a＝5代入： 42×5＋135 ＝210＋135 ＝345（元） 答：一共花了（42a＋135）元，当a＝5时，王老师一共花了345元。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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