2027届湖南高三九校联盟第一次联考暨衡阳一模数学试题

高三数学一 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 7. 已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（ ） A. 有最大值12，最小值0 B. 是定值6 C. 是定值3 D. 随变化，取值范围为 8. 在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 取最小值时 10. 如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意，均有 C. 两人自出发后第次相遇的时刻为（） D. 记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 11. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 14. 若曲线上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点，，，且以为直径的圆与该曲线在点处相切，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，其面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 17. 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 18. 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 19. 设函数，对任意，记． （1）求集合； （2）若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 高三数学一 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】40 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）如图，设交于点，连接， 因为正方形中，， 因为为等腰三角形，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【16题答案】 【答案】（1）由三角形面积公式得， 因为，所以． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）． （2） （3）不可能，理由如下. 因为，，． 所以， 若要，则，即， 上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由，得；由，得，则， 即，于是， 令，则，，， 令，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，所以. （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $