第四章 指数函数与对数函数单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版本2019高中数学选择性必修一 第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷 （满分：150 分　　考试时间：120 分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 本卷共 19 小题，全部在答题纸上作答；选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用黑色字迹笔书写；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 的值为（　　） A．B．C．D． 1. （　　） A．6　　　　　B．8　　　　　C．9　　　　　D．12 1. 函数 的定义域为（　　） A．B．C．D． 1. 函数 的大致图象是（　　） 1. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A．B．C．D． 1. 不等式 的解集为（　　） A．B．C．D． 1. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．B．C．D． 1. 如图是函数 的图象，则 的零点个数为（　　） A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 1. 下列命题中正确的是（　　） A．函数 与 的图象关于直线 对称 B．函数 是偶函数 C．函数 是偶函数 D．函数 在 上单调递减 1. 已知函数 的零点为 ，则下列说法正确的是（　　） A．， B． C． 在 上单调递增 D．若精确度为 0.1，则用二分法求 的近似值时，至少需要将区间对分 4 次 1. 已知函数 （ 且 ），则下列结论正确的是（　　） A． 的图象恒过定点 B．若 ，则不等式 的解集为 C． 的图象与 的图象关于直线 对称 D．若 在 上单调递增，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 1. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点＿＿＿＿＿＿. 1. 化简：＿＿＿＿＿＿. 1. 已知 ，且 ，则实数 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）计算下列各式的值： （1）； （2）. 16.（15 分）已知指数函数 （ 且 ）的图象经过点 . （1）求 及 的值； （2）解不等式 . 17.（15 分）已知函数 . （1）判断 的奇偶性，并加以证明； （2）判断 在 上的单调性，并用定义证明；据此解不等式 . 18.（17 分）已知函数 （1）画出 的图象； （2）求 的值； （3）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围. 19.（17 分）某企业 2026 年年初引进一条生产线，有两种利润增长方案： 方案一：第一年利润为 100 万元，以后每年利润比上一年增长 20%； 方案二：第一年利润为 120 万元，以后每年利润比上一年增加 20 万元. 设引进后第 年（2026 年为第 1 年）方案一的利润为 万元，方案二的利润为 万元. （1）分别写出 ， 关于 的解析式； （2）求从第几年起，方案一的利润超过方案二； （3）结合指数函数的增长特点，说明从长期发展看应选择哪个方案，并简述理由. 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版本2019高中数学选择性必修一 第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷 （满分：150 分　　考试时间：120 分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 本卷共 19 小题，全部在答题纸上作答；选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用黑色字迹笔书写；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 的值为（　　） A．B．C．D． 1. （　　） A．6　　　　　B．8　　　　　C．9　　　　　D．12 1. 函数 的定义域为（　　） A．B．C．D． 1. 函数 的大致图象是（　　） 1. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A．B．C．D． 1. 不等式 的解集为（　　） A．B．C．D． 1. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．B．C．D． 1. 如图是函数 的图象，则 的零点个数为（　　） A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 1. 下列命题中正确的是（　　） A．函数 与 的图象关于直线 对称 B．函数 是偶函数 C．函数 是偶函数 D．函数 在 上单调递减 1. 已知函数 的零点为 ，则下列说法正确的是（　　） A．， B． C． 在 上单调递增 D．若精确度为 0.1，则用二分法求 的近似值时，至少需要将区间对分 4 次 1. 已知函数 （ 且 ），则下列结论正确的是（　　） A． 的图象恒过定点 B．若 ，则不等式 的解集为 C． 的图象与 的图象关于直线 对称 D．若 在 上单调递增，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 1. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点＿＿＿＿＿＿. 1. 化简：＿＿＿＿＿＿. 1. 已知 ，且 ，则实数 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）计算下列各式的值： （1）； （2）. 16.（15 分）已知指数函数 （ 且 ）的图象经过点 . （1）求 及 的值； （2）解不等式 . 17.（15 分）已知函数 . （1）判断 的奇偶性，并加以证明； （2）判断 在 上的单调性，并用定义证明；据此解不等式 . 18.（17 分）已知函数 （1）画出 的图象； （2）求 的值； （3）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围. 19.（17 分）某企业 2026 年年初引进一条生产线，有两种利润增长方案： 方案一：第一年利润为 100 万元，以后每年利润比上一年增长 20%； 方案二：第一年利润为 120 万元，以后每年利润比上一年增加 20 万元. 设引进后第 年（2026 年为第 1 年）方案一的利润为 万元，方案二的利润为 万元. （1）分别写出 ， 关于 的解析式； （2）求从第几年起，方案一的利润超过方案二； （3）结合指数函数的增长特点，说明从长期发展看应选择哪个方案，并简述理由. 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C B D C 1. C　【解析】，，，原式 . 2. B　【解析】原式 .（逐次利用换底公式 ） 3. D　【解析】要使解析式有意义，需 ，即 解得 或 ，故定义域为 . 4. A　【解析】， 是偶函数，图象关于 轴对称，排除 C、D；当 时 单调递减，且 ，值域为 ，故 A 正确、B 错误（B 在 上递增）. 5. C　【解析】；；，所以 . 6. B　【解析】，由 在 上单调递减，得 ，即 . 7. D　【解析】设 ，其图象开口向上、对称轴为 ，在 上单调递增需 ，即 ；又 在 上有意义，需 对 恒成立，因 在 上递增，只需 ，即 （已被 包含）. 综上 . 8. C　【解析】函数的零点即图象与 轴交点的横坐标. 由图可知曲线与 轴恰有 3 个交点（横坐标分别为 ，，），故 有 3 个零点. 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 ABC ACD ACD 9. ABC　【解析】A 正确：指数函数 与对数函数 互为反函数，图象关于直线 对称；B 正确：，且定义域为 ；C 正确：定义域为 ，关于原点对称，且 ；D 错误： 在 上单调递增. 10. ACD　【解析】A 正确：，；B 错误：，而 ，故 ；C 正确： 与 在 上均单调递增，故 单调递增；D 正确：初始区间 长度为 1，每对分一次区间长度减半，对分 次后长度为 ，由 ， 知至少需对分 4 次. 11. ACD　【解析】A 正确：令 ，，图象恒过 ；B 错误： 时 单调递减， 等价于 ，解集为 ；C 正确： 与 互为反函数，图象关于直线 对称；D 正确： 在 上单调递增的充要条件是 . 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 　【解析】令 ，即 ，此时 ，.（令真数等于 1，对数值为 0） 13. 　【解析】原式 . 14. 　【解析】对 两边取常用对数，得 ，，于是 ，故 ，. 四、解答题（共 77 分） 15.（13 分） （1）原式 . 【评分】 得 2 分； 与 各得 2 分；结果正确得满分 6 分. （2）原式 . 【评分】拆项重组（，）得 3 分；合并化简得 3 分；结果正确得满分 7 分. 16.（15 分） （1）由题意 ，又 ，所以 ，，故 . （2）因为 ， 在 上单调递减，所以 等价于 解方程 得 ，故不等式的解集为 【评分】（1）求出 得 4 分， 得 3 分；（2）利用减法单调性去掉 得 4 分，解一元二次不等式得 3 分，解集正确得 1 分. 17.（15 分） （1） 是奇函数. 证明：函数定义域为 ，关于原点对称，且 即 ，故 为奇函数. （2） 在 上单调递减. 证明：任取 ，则 设 ，当 时， 且均大于 0，故 ，于是 ，，即 . 所以 在 上单调递减. 由 及单调递减得 ，解得 ，即不等式的解集为 . 【评分】（1）判断正确 2 分，分子有理化证出 得 5 分；（2）单调性判断 2 分，定义法证明 3 分，利用单调性解不等式得 3 分. 18.（17 分） （1）图象如图：左支为指数曲线 （），过点 ，终点为 ；右支为对数曲线 （），过点 、，以直线 为渐近线. （2），因为 ，所以 ，故 . （3）当 时， 单调递增，值域为 ，此时每一个 对应唯一解；当 时， 单调递增，值域为 ，此时任意 对应唯一解. 因此，方程 有两个不同实数解当且仅当 ，即实数 的取值范围是 . 【评分】（1）两支曲线、关键点与渐近线画对各 2 分，共 6 分；（2）由内到外逐层代入正确得 4 分；（3）分析出两支的值域各 2 分，结论正确得 3 分，共 7 分. 19.（17 分） （1）方案一逐年利润成等比数列：（）； 方案二逐年利润成等差数列：（）. （2）列表比较（单位：万元）： 第 年 1 2 3 4 5 ​ 100 120 144 172.8 207.36 ​ 120 140 160 180 200 由 得 ，而前 4 年均有 ，故从第 5 年（即 2030 年）起，方案一的利润超过方案二. （3）方案一的利润近似满足指数函数 型增长，年增长量 随 增大而越来越大，即”增长越来越快”；方案二的利润为一次函数型，每年只固定增加 20 万元. 结合（2）的结论，虽然前期方案二利润更高，但指数型增长经过短暂的”平缓期”后将快速增长并反超，且优势不断扩大，故从长期发展看应选择方案一. 【评分】（1）两个解析式各 2 分；（2） 的计算 3 分，比较得结论 4 分；（3）指出指数增长”增长量递增、增速越来越快”3 分，结论与理由完整得 2 分. 学科网（北京）股份有限公司 $