综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．从集合关系出发，条件“”对于“”来说是（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．从不等式解集看，“”与“”之间的关系是（　　） A．前者是后者的充分不必要 B．二者互为充要条件 C．前者是后者的必要不充分条件 D．二者既不充分也不必要 3．若，且为锐角，则（　　） A． B． C． D． 4．锐角满足，则为（　　） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A． B． C． D． 6．等差数列中，则公差可表示为（　　） A． B． C． D． 7．数列通项，则（　　） A． B． C． D． 8．在梯形中，，，则（ ） A． B． C． D． 9．在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（ ） A． B． C． D． 10．下面命题中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．若椭圆的长轴长为，焦距为，焦点在轴上，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 12．抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 13．一个双曲线模型满足，，则焦距为（　　） A． B． C． D． 14．二面角的平面角为，则该二面角的大小为（　　）. A． B． C． D． 15．平面内两条相交直线分别平行于平面内两条相交直线，则可推出（　　）. A．与相交 B． C． D．两平面只有一个公共点 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若，则的结果是______. 17．数列的第个数可写成______. 18．若，，则点的坐标为______. 19．双曲线中，______. 20．若，，且，则与的关系为______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知或，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 22．在 中，，求 . 23．已知，. (1)求； (2)求的长度. 24．如图所示，在直三棱柱中，分别是的中点．求证： (1)平面平面； (2)平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．从集合关系出发，条件“”对于“”来说是（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】理解充分条件和必要条件的定义，并结合集合的性质进行分析即可. 【详解】已知，若，必然有， 所以由可以推出，故充分性成立； 当时，由于，有可能属于但不属于，故必要性不成立， 综上，条件“”对于“”来说是充分不必要条件. 故选：A. 2．从不等式解集看，“”与“”之间的关系是（　　） A．前者是后者的充分不必要 B．二者互为充要条件 C．前者是后者的必要不充分条件 D．二者既不充分也不必要 【答案】B 【分析】明确充分条件和必要条件的定义，并判断两个不等式之间能否相互推出即可. 【详解】不等式，可得，解得， 所以由可以推出，故充分性成立， 若，也可以得到，故必要性成立， 所以与之间是充要关系. 故选：B. 3．若，且为锐角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的与的比值关系，结合三角函数平方关系求出和的值，再利用二倍角公式计算. 【详解】由，可得， 因为，所以，即， 因为为锐角，所以，则，从而， 所以. 故选：C. 4．锐角满足，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值以及两角和的正切公式求解. 【详解】因为， 又已知，可知， 因为为锐角，所以. 故选：C. 5．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：C. 6．等差数列中，则公差可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设公差为，首项为，则， 所以，解得. 故选：C. 7．数列通项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式即可求解. 【详解】数列通项，则. 故选：B. 8．在梯形中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算求解. 在梯形中，，， 所以． 故选：D. 9．在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出. 由已知， . 故选：C 10．下面命题中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量概念，向量的模长及向量相等，相反向量的概念逐一判断各个选项即可. 对于， ，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，且，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 11．若椭圆的长轴长为，焦距为，焦点在轴上，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由长轴长与焦距求解与的值，再求解的值，结合焦点的位置求解标准方程即可. 【详解】因为椭圆的长轴长为，焦距为， 所以，， 即，，则， 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 12．抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程确定的值，进而可得准线方程. 【详解】抛物线方程为，则焦点在轴负半轴上，且，即， 所以准线方程为， 故选：D. 13．一个双曲线模型满足，，则焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线中、、之间的关系以及焦距的定义求解. 【详解】已知，，可得，则， 所以双曲线的焦距为. 故选：D. 14．二面角的平面角为，则该二面角的大小为（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的大小等于其平面角的大小即可得解. 【详解】二面角的平面角为，则该二面角的大小为， 故选：. 15．平面内两条相交直线分别平行于平面内两条相交直线，则可推出（　　）. A．与相交 B． C． D．两平面只有一个公共点 【答案】C 【分析】根据面面平行的判定定理即可得解. 【详解】已知平面内两条相交直线均不在平面内，且分别与平面内两条相交直线平行， 所以平面内这两条相交直线均平行于平面， 根据面面平行的判定定理可以推出. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若，则的结果是______. 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意得，，则. 故答案为：. 17．数列的第个数可写成______. 【答案】 【分析】观察数列分析其规律即可求解. 【详解】观察数列，分子为，则第个数分子为， 分母为，则第个数分母为， 所以数列的第个数可写成. 故答案为：. 18．若，，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设出点的坐标，结合向量的坐标表示求解即可. 【详解】设点， 因为，， 所以， 则有，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 19．双曲线中，______. 【答案】4 【分析】根据双曲线方程求出值即可得解. 【详解】双曲线，则，解得， 故答案为：. 20．若，，且，则与的关系为______. 【答案】 【分析】由线面平行判定定理可得. 【详解】若，，且，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知或，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意， 或 ， . 因为 是 的必要不充分条件， 所以由可推出，但由推不出， 所以 ，解得， 因此实数m的取值范围. 22．在 中，，求 . 【答案】 【分析】利用余弦定理直接即可求出第三边. 【详解】由余弦定理： . 23．已知，. (1)求； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示计算； （2）根据向量模长公式计算向量的长度. 【详解】（1）已知，那么， 又已知， 所以. （2）已知，， 所以， 所以的长度为. 24．如图所示，在直三棱柱中，分别是的中点．求证： (1)平面平面； (2)平面． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明； （2）取的中点，利用中位线定理及平行四边形性质证明，再利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，侧棱底面， 又平面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2）取的中点，连接，如图： 在中，因为分别是的中点， 所以，且. 在直三棱柱中，，且. 因为是的中点， 所以，且. 所以，且. 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $