综合测试卷（二）-《数学 拓展模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．对实数x，“”是“”的（　　）条件. A．必要不充分 B．既不充分也不必要 C．充要 D．充分不必要 2．已知命题p能推出命题q，则p是q的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知在中，，则b为（　　） A． B． C． D． 4．三角形中 ，则b为（　　） A． B．5 C． D．10 5．三角形的两边同时扩大到原来的2倍，夹角不变，面积变为（　　） A．不变 B．2倍 C．3倍 D．4倍 6．已知等差数列，，公差，则（　　） A．21 B．23 C．24 D．26 7．等差数列7，11，15，19，…的公差为（　　） A．3 B．4 C．7 D．11 8．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 9．已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 11．已知点到双曲线（，）渐近线的距离是1，则双曲线的离心率是（    ）. A．2 B．3 C． D． 12．若双曲线的标准方程为，且，则（　　） A． B． C． D． 13．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）. A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．对实数，“”是“”的______条件. 17．在中，，，，则______. 18．数列的前项和，则______. 19．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若是等腰三角形，则该椭圆的离心率等于_________. 20．已知平面向量，若，则____________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知. (1)求； (2)求. 22．已知数列，通项公式为. (1)写出前4项； (2)求. 23．已知向量，．求，，． 24．如图所示，椭圆的中心在坐标原点，左焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知与垂直的直线l交椭圆于点A，B，若以线段为直径的圆与y轴相切，求此圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．对实数x，“”是“”的（　　）条件. A．必要不充分 B．既不充分也不必要 C．充要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则不一定成立，如，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D. 2．已知命题p能推出命题q，则p是q的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的概念，即可判断求解. 【详解】因为命题p能推出命题q，所以p是q的充分条件. 故选：A. 3．已知在中，，则b为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】因为在中，， 由正弦定理得， 所以. 故选：B. 4．三角形中 ，则b为（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为在三角形中 ， 由正弦定理可知， 所以. 故选：D. 5．三角形的两边同时扩大到原来的2倍，夹角不变，面积变为（　　） A．不变 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】三角形的面积为， 因为两边同比扩大2倍，夹角不变， 则面积变为， 所以面积变为原来的4倍. 故选：D. 6．已知等差数列，，公差，则（　　） A．21 B．23 C．24 D．26 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解. 【详解】等差数列，，公差， 则， 故选：. 7．等差数列7，11，15，19，…的公差为（　　） A．3 B．4 C．7 D．11 【答案】B 【分析】根据等差数列公差的定义求解. 【详解】已知等差数列7，11，15，19，…， 公差， 故选：B. 8．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以. 9．已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， ， 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 10．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 11．已知点到双曲线（，）渐近线的距离是1，则双曲线的离心率是（    ）. A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程得出渐近线方程，代入点到直线的距离公式求出，结合离心率公式即可得解. 【详解】双曲线（，），则焦点在轴上， 渐近线方程，化为一般式方程， 不妨设点到双曲线（，）渐近线的距离是1， 则， 离心率， 故选：. 12．若双曲线的标准方程为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中、、的关系来求解的值即可. 【详解】双曲线中，，且， 则有，所以. 故选：C. 13．平面内一点到、的距离之差的绝对值为，对应的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定双曲线的基本参数、、，进而得出双曲线的标准方程即可. 【详解】平面内到的距离之差的绝对值为6的点的轨迹为双曲线， 且，，代入可得，即， 因为焦点在轴上，可得. 故选：A. 14．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可得平面，可得为直线和平面所成的角，求解即可. 取的中点，连接， 由正三棱柱，可得，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 设正三棱柱的棱长为2，则可得， ， 在中，. 故和平面所成角的正弦值为. 故选：A 15．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，由为正三角形，为线段的中点即可求得. 如图，在正方体中，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 易知为正三角形，又为线段的中点， 所以， 故选:B． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．对实数，“”是“”的______条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 所以当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 17．在中，，，，则______. 【答案】/0.5 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】将，，代入正弦定理中， 可得，解得. 故答案为：. 18．数列的前项和，则______. 【答案】27 【分析】根据题意利用即可得解. 【详解】数列的前项和， 则， 故答案为：. 19．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若是等腰三角形，则该椭圆的离心率等于_________. 【答案】 【分析】先确定椭圆三个特殊点的坐标并计算三角形三边长度，结合等腰三角形的边相等性质列方程，结合离心率范围求解即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 由题意可知：左焦点为，右顶点为，上顶点为， 故，； ， 因为是等腰三角形， 若，则，得，不符合椭圆的定义，舍去； 若，则，得，不符合椭圆的定义，舍去； 故仅存在的情况，即，等式两边平方得， 将代入得：， 整理得，等式两边同时除以得：， 代入得一元二次方程，解得：， 因，故舍去负根，得. 故答案为：. 20．已知平面向量，若，则____________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的和角公式即可求解； （2）根据余弦的差角公式即可求解. 【详解】（1）已知， ； （2）已知， . 22．已知数列，通项公式为. (1)写出前4项； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】根据数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）数列，通项公式为， ，， ，， 所以前四项为. （2）数列，通项公式为， . 23．已知向量，．求，，． 【答案】，， 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， . 24．如图所示，椭圆的中心在坐标原点，左焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知与垂直的直线l交椭圆于点A，B，若以线段为直径的圆与y轴相切，求此圆的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，即可得椭圆的左焦点，设出椭圆的方程，根据椭圆经过点求解即可； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据韦达定理与弦长公式求得，结合题意可知圆心到轴的距离等于圆的半径，由此列方程求出，然后根据圆的标准方程求出结果. 【详解】（1）在抛物线中，，则， 所以抛物线的焦点坐标为， 即椭圆的左焦点，那么（为椭圆的半焦距）， 设椭圆的方程为， 则，则椭圆方程为， 因为椭圆经过点，可得， 设，则， 即，得，解得（舍）或， 所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）已知，，则直线的斜率， 因为直线与垂直，所以直线的斜率，设直线的方程为， 联立，可得， 由，解得， 设，，根据韦达定理可得，， 则弦的中点横坐标，纵坐标， 即以线段为直径的圆的圆心为， 则， 因为以线段为直径的圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即， 则，两边同时平方整理得，解得，均满足， 当时，圆心坐标为，半径， 此时圆的方程为； 当时，圆心坐标为，半径， 此时圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $