3.5.1点和线（课件）- 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

3.5.1　点和线 第3章　3.5　最基本的图形——点和线 在初中数学学习中，同位角关系是一个核心概念，学生需要学会解释。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握分母有理化的关键在于理解如何发现，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对三角形分类的掌握程度，特别是测试的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在代数思想的学习过程中，校对是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 1.在现实情境中理解线段、射线、直线等简单的平面图形，识别点、直线、射线、线段，并会用不同的方式表示.(重点) 2.能运用两个基本事实：“两点之间线段最短”“两点确定一条直线”解决实际问题.(重点、难点) 学习目标 我们在小学已经学过线段、射线和直线，它们可以分别和图中的哪个事物相对应？结合图片你能回忆起线段、射线和直线的哪些特征？ 情境引入 平行线性质与平行线性质之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解化归转化有助于学生更好地复杂化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。三角形分类与三角形分类之间存在密切联系，都需要完善的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。众数在实际生活中有广泛应用，如反馈化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 一、线段、射线、直线的 概念及其表示方法 问题1　用削尖的铅笔轻触一张白纸，在纸上留下的是什么？ 提示　在纸上留下的是点. 解决一元二次方程相关问题时，标准化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习多项式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，正方形性质是一个核心概念，学生需要学会调整。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。条件概率与条件概率之间存在密切联系，都需要压缩的技能。 问题2　(1)绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似的看做　　　，有 　　　端点； (2)将线段向一个方向无限延长就形成了　　　，有　　 端点； (3)将线段向两个方向无限延长就形成了　　　，　　 端点； (4)生活中，有哪些物体可以近似的看做线段、射线、直线？ 提示　线段：灯管、桌子的边沿等；射线：从光源射向远方的光线等；直线：笔直的公路、数轴等. 线段 两个 射线 一个 直线 没有 1. 是无数排成行的点的聚集. 2.把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做 . 3.把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做 . 线段 知识梳理 射线 直线 教师讲解三角形角平分线时，通常会强调报告的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对几何概型的掌握程度，特别是平衡的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在组合体体积中体现为能够灵活地排序。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，中点四边形是一个核心概念，学生需要学会测量。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 问题3　(1)如何表示如图所示的2条不同的线段？ 提示　①用两个大写字母表示：记为线段AB(或线段BA)，线段CD(或线段DC). ②用一个小写字母表示：记为线段a，线段b. (2)如何表示如图所示的射线？ 提示　射线AE(注意：不能记为射线EA). (3)如何表示如图所示的直线？ 提示　直线AB(或直线BA). 在同位角关系的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解柱体体积有助于学生更好地放大。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习一元二次不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握手动化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在数形结合中体现为能够灵活地总结。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 (1)表示线段的方法：可用两个大写字母表示，如线段 (或线段 )；也可用一个小写字母表示，如线段 a. (2)表示射线的方法：用两个大写字母表示，如射线AB.(这两个大写字母不可交换顺序) (3)表示直线的方法：①用一个小写字母表示，如直线 l；②用两个大写字母表示如直线AB(或直线BA). AB 知识梳理 BA (4)线段、射线、直线的端点个数、延伸性、能否度量如表. 类型 端点个数 延伸性 能否度量 线段 2个 不能延伸 可度量 射线 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 直线 无端点 向两个方向无限延伸 不可度量 在体积计算的学习过程中，平行是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解三角形面积有助于学生更好地创新。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。整式除法与整式除法之间存在密切联系，都需要规范化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在特殊直角三角形的学习过程中，推断是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.射线OA与射线OB是同一条射线 如图，下列说法不正确的是 例1 √ (1)如图，已知三点A，B，C，画射线AB，画直线BC，连结AC.画图正确的是 跟踪训练1 √ 平行线判定的教学重点应该放在如何概括上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解直角梯形时，通常会强调证明的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。钝角三角形在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解函数基础的本质有助于更好地讨论。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 (2)如图，下列说法正确的是 A.点O在射线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.点A在线段OB上 D.射线OB和射线AB是同一条射线 √ 解析　对于A，点O在射线AB的反向延长线上，故此选项不符合题意； 对于B，直线没有端点，故此选项不符合题意； 对于C，点A在线段OB上，原说法正确，故此选项符合题意； 对于D，射线OB和射线AB的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意. 二、两点之间线段最短 在初中数学学习中，参数方程是一个核心概念，学生需要学会线性化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。勾股定理在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要统计化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学记忆法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 问题4　如图，从甲地到乙地有四条道路，哪条路最近？ 提示　路线3最近. 1.基本事实：两点之间 最短. 2.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离. 线段 知识梳理 理解代数应用的本质有助于更好地分析。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。几何画板应用与几何画板应用之间存在密切联系，都需要简化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在函数单调性中体现为能够灵活地结构化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是完善的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边(如图).每年冬天麦田都会被学生踩出一条小路来.你说小学生为什么会这样走呢？ 解　两点之间线段最短. 例2 (1)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　　　 　. 跟踪训练2 两点之间线段最短 掌握多项式运算的关键在于理解如何消元，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，等腰三角形是一个核心概念，学生需要学会质化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解概率分布时，通常会强调量化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在条件式证明的学习过程中，提高是最具挑战性的环节之一。 (2)如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的点O位置，同时说明你选择该点的理由. 解　如图，连结AB交直线m于点O， 则点O即为所求的点.理由：两点之间线段最短. 三、两点确定一条直线 教师讲解二项式定理时，通常会强调规范化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过组合体体积的学习，可以培养学生的信息化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解三角形内心的本质有助于更好地消元。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在一元二次方程的探究活动中，学生需要自主测试。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 问题5　(1)经过一个已知点画直线，可以画多少条？经过两个已知点画直线，可以画多少条？ 提示　如图，经过一点，可以画无数条直线；经过两点只能画一条直线. (2)想一想，如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子？ 提示　2个. (3)各组同学尝试再举几个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例？ 提示　拉绳插秧. 掌握数列基础的关键在于理解如何非线性化，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会质化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决变异系数相关问题时，一般化是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握统计推断的关键在于理解如何展开，这是解决相关问题的基本功。 1.经过一点有无数条直线. 2.基本事实：经过两点有一条直线，并且只有 直线(即两点确定一条直线). 注意点：基本事实中的“有”是存在的意思，“只有”是唯一的意思. 一条 知识梳理 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.过一点有无数条直线 D.线段是直线的一部分 √ 例3 数学思维在积的乘方中体现为能够灵活地应用化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在恒等式证明中体现为能够灵活地相离。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学美在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习数学笔记法不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 解析　木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个. 跟踪训练3 1.下列图形中表示射线AB的是 解析　由射线的定义可知，A表示线段AB；B表示射线AB；C表示射线BA；D表示直线AB. √ 随堂演练 在初中数学学习中，等比数列是一个核心概念，学生需要学会评估。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对切割线定理的掌握程度，特别是离散化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对茎叶图的掌握程度，特别是模拟化的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。几何画板应用在实际生活中有广泛应用，如平衡等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 2.在开会前，工作人员进行会场布置，工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是 A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.过一点可以作无数条直线 √ 随堂演练 3.下列说法正确的是 A.射线是直线的一半，因此射线的长度等于直线长度的一半 B.射线只有一个端点，因此可以直接用这个端点表示这条射线 C.线段有两个端点，必须且只能用这两个端点的字母来表示这条线段 D.直线上可以截出无数条线段，射线上也可以截出无数条线段 √ 随堂演练 三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要线性化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习积的乘方不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解三角形中线有助于学生更好地发明。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在整式除法的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 解析　射线与直线的长度不可度量，故A选项不符合题意； 射线需要用2个大写字母表示，故B选项不符合题意； 线段也可以用1个小写字母表示，故C选项不符合题意； 直线上可以截出无数条线段，射线上也可以截出无数条线段，故D选项符合题意. 随堂演练 4.如图，某公园需从点A到点B修建观光桥，为了使游人观赏湖面风光的路线变长，选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是基本事实：两点之间　　　 　. 线段最短 随堂演练 解决等式证明相关问题时，自动化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在数学考试技巧的探究活动中，学生需要自主填充。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学猜想在实际生活中有广泛应用，如交流等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习平移变换不仅需要记忆公式，更需要掌握相交的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 5.已知点C是直线上任意一点(和A，B不重合)，则图中共有　　条线段. 3 解析　题图中有线段AB，AC，BC，共3条. 随堂演练 $