专题05 勾股定理 重难点九大题型突破-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题05 勾股定理重难点九大题型突破 【题型01 用勾股定理解直角三角形】 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【题型04 勾股定理与折叠问题】 【题型05 勾股定理与无理数】 【题型06赵爽弦图的证明及应用】 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 【题型08 直角三角形的判定】 【题型09勾股定理的逆定理应用】 【题型01 用勾股定理解直角三角形】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 2．如图，在中，是边上的高，，，．则的长为（    ） A．5 B．3 C．13 D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴． 3．如图，在中，，，是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：B． 4．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设秋千的绳子的长度为米，则米，进而得到米，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：米、米， 设秋千的绳子的长度为米，则米， 四边形是矩形， 米、米， 米， 米， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 故选：C． 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 5．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．先根据勾股定理求出点到y轴的距离为4，根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数即可求解． 【详解】解：∵点到轴的距离为3，到原点的距离为5， ∴点到y轴的距离为， ∵点P在第三象限， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为． 故选D． 6．如图，在边长为1的小正方形网格中，各点均在网格线的交点处，则与点A的距离为的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格图，熟练掌握勾股定理与网格图是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可得到结论． 【详解】解：由题意可得： ，，，， 所以与点A的距离为的是点， 故选：A 7．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离为，，， 1，2，，，． ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：A． 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 8．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的长为（     ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴． 9．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用；由题意可得：，再由勾股定理可得，结合，可求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得：， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 10．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理和半圆面积公式化简，再结合的条件，通过代数变形推导出两直角边相等即可． 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 11．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，若，则的值是（   ） A．24 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【分析】连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 12．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 【题型04 勾股定理与折叠问题】 13．在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 14．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 15．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 16．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 【题型05 勾股定理与无理数】 17．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 18．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】解：由题意得，， ， 点表示的数为． 19．如图，在数轴的一部分上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点表示的数为． 20．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，实数与无理数．利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为， 故选：A． 【题型06赵爽弦图的证明及应用】 21．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 22．如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是(   ) A．①② B．②④ C．③④D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①． 【详解】解：如图所示， 正方形的面积为， ， 是直角三角形， 根据勾股定理得：，故④正确； 正方形的面积为， ， ，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又， 两式相加得：， 整理得：， ，故①错误； 故正确的是③④． 23．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 【答案】(1) (2) (3)这个风车的外围周长为 【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题； （2）根据正方形的面积公式和（1）的结论代入可求值； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，一个直角三角形的面积为：， 根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，可得：； 故答案为：． （2）解：∵大正方形的面积是13．小正方形的面积是1， ∴， ∴． 由（1），得， ∴，即， ∴． （3）解：∵以为边的正方形面积为61， ∴． 在中，， ∴． 由题意知， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故这个风车的外围周长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】(1)，， (2) 根据题意，得， ， ， ，即 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【详解】（1）解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ， ， 故答案为，， （2）略 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 25．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺， （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 26．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 27．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 28．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 【题型08 直角三角形的判定】 29．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 30．已知的三边分别为，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、设，，， ， ， 解得， ∴最大的角， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、设， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、，， ， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、∵， ∴为直角三角形，该选项不符合题意． 31．的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐个判断每个条件，即可得到直角三角形的个数． 【详解】解：①∵ , , ∴ ∴ 是直角三角形； ②∵ , , ∴ , , ∴ 不是直角三角形； ③∵ , , 三角形内角和为 ∴ ∴ 是直角三角形； ④∵ , , 三角形内角和为 ∴ 解得 , ∴ 是直角三角形； 综上，能判断是直角三角形的共3个． 32．如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【答案】这块试验田的面积是 【分析】在中由勾股定理求出，再证明是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】解：，，， ． 在中，，，， ∴，，， ， 是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 【题型09勾股定理的逆定理应用】 33．如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 【答案】(1)证明：依题得：，， ， 即， ； (2)解：教学楼会受噪声影响． 作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】(1)证明： ，，， ， 是直角三角形． (2)元 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）略 （2）解：过作交于， ，， 为中点， ∴， ， ， 是直角三角形， ， ， 则购买西红柿苗总共需要的费用为：（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 35．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1) 解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）略 （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理重难点九大题型突破 【题型01 用勾股定理解直角三角形】 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【题型04 勾股定理与折叠问题】 【题型05 勾股定理与无理数】 【题型06赵爽弦图的证明及应用】 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 【题型08 直角三角形的判定】 【题型09勾股定理的逆定理应用】 【题型01 用勾股定理解直角三角形】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，在中，是边上的高，，，．则的长为（    ） A．5 B．3 C．13 D． 3．如图，在中，，，是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【题型02 已知两点坐标求两点距离】 5．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的小正方形网格中，各点均在网格线的交点处，则与点A的距离为的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积】 8．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的长为（     ） A． B．6 C． D． 9．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 10．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，若，则的值是（   ） A．24 B．20 C．19 D．18 12．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【题型04 勾股定理与折叠问题】 13．在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 14．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 15．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 16．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【题型05 勾股定理与无理数】 17．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 18．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在数轴的一部分上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 【题型06赵爽弦图的证明及应用】 21．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 22．如图是用个全等的直角三角形与个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是(   ) A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 23．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 24．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【题型07用勾股定理构造图形解决问题】 25．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 26．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 27．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 28．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【题型08 直角三角形的判定】 29．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 30．已知的三边分别为，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 31．的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【题型09勾股定理的逆定理应用】 33．如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 34．如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 35．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 1 学科网（北京）股份有限公司 $