专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，贵州专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．D 9．BCD 10．BCD 11．BCD 12．BCD 13． 14． 考点02 基本不等式 1．ABCD 2．BC 3．B 4．ABD 5．C 6．D 7．A 8．ABD 9．AC 10．C 11．ACD 12．ACD 13．B 14．ABD 15．9 16．【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】（1）， 当且仅当时取等号，所以最小值为4. （2）， 当且仅当时取等号，又，即，， 所以最小值为. 17．【答案】(1) (2),，（元） 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 （2）两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 18．【答案】(1)，， (2)证明：， 又，当且仅当时等号成立， 所以 所以，当且仅当且x，y同号时等号成立． (3)时，M取得最小值 【分析】（1）由不等式的乘“1”法即可求解， （2）由基本不等式即可求解， （3）利用（2）的结论，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是，此时，， （2）略； （3）令，， 由，得， ， 又，，所以， 构造， 由，可得，因此，， 由（2）知， 取等号时，且x，y同正， 结合，解得，， 即，． 所以时，M取得最小值． 19．【答案】(1)采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）采用方案二，花费更少，理由略； （2）由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 20．【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由题意得到，由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式乘1法即可求解； （3）由基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为过点，所以， 所以，即，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为； （2） 当且仅当时取等号， 所以的最小值为4； （3）因为，当且仅当时取等号， 所以，即，解得： 所以取值范围 21．【答案】(1)调和平均数，平方平均数； (2)证明：由，且， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，显然，得证. (3)若每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg， 若每次购买这种物品所花的钱数元一定，则物品平均价格为元/kg， 结合背景知识知：，当且仅当时等号成立， 当时，，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济； 当时，，此时两种购买方式一样经济. 【分析】（1）根据题干背景知识求调和平均数和平方平均数即可； （2）利用二次函数性质得，结合已知及背景知识确定右侧表达式范围，即可证； （3）根据题意得每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg，每次购买这种物品所花的钱数一定，则物品平均价格为元/kg，讨论其大小，即可得结论. 【详解】（1）令，则调和平均数， 平方平均数； （2）略 （3）略 22．【答案】(1)长为米，宽为3米 (2)4米和5米 【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值； （2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解. 【详解】（1）依题得， 设筛网总长度为米，则， ， 当且仅当即时，筛网总长度最小， 所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. （2）法一：依题得，即， 设总造价为元，则 . ， 由得，解得. 当且仅当即时，造价最低， 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 法二：依题得， 设总造价为元，则 ， 由，得， 当且仅当且，即时，造价最低. 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 23．【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题列出关系式，然后由基本不等式即可求得结果； （2）根据题列出关系式，然后由基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 24．【答案】(1)6 (2) 当且仅当时，等号成立. (3) 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【详解】（1）转换，， 当且仅当时，等号成立． （2）略 （3）转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．AD 10．D 11．BD 12．B 13．B 14．D 15．B 16．D 17．AB 18．ABD 19．C 20．ABC 21．D 22．D 23．B 24．ABD 25． 26． 27． 28． 29． 30． 31． 32． 33．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的零点，代入求出参数值即可. （2）根据二次函数性质，求出在给定区间上的值域即可. 【详解】（1）由题意得，设函数解析式为，不为，即， 得，解得， 可得. （2）由（1）可知，函数开口向下，对称轴为， 根据二次函数对称性可知，时，在处取得最大值，在处取得最小值， ，所以函数在上的值域为. 34．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意知，是方程的根，利用韦达定理求值即可； （2）对分式不等式移项，通分，再计算即可. 【详解】（1）由题知，是方程的根，且， 由韦达定理知，解得， 所以实数的值为. （2）由（1）知，所以，移项通分得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 35．【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （4）将不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由得，解得或. 故原不等式的解集为或. （2）原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）原不等式即为，解得，故原不等式的解集为. （4）由得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. 36．【答案】(1) (2) 或 (3) 当时，解集为；当时，解集为或；当时解集为. 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，计算即可得答案. （2）根据一元二次不等式的解法，计算即可得答案. （3）分别讨论、、三种情况，根据一元二次不等式的解法，计算即可得答案. 【详解】（1）不等式，变形可得，解得， 所以解集为. （2）不等式，变形可得，即， 解得或，所以解集为或. （3）不等式， 当时，解集为； 当时，，不等式变形得， 所以解集为或； 当时，，不等式变形为， 所以解集为. 综上：当时，解集为；当时，解集为或；当时解集为. 37．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值； （2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围 【详解】（1）因为不等式的解集是． 所以－1和3是方程的解， 把代入方程解得．经验证满足题意 （2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R， 所以， 解得，所以m的取值范围是． 38．【答案】（1），（2） 【详解】试题分析：（1）由，知，由，得，可得或；（2）由或，能求出，由或，能求出. 试题解析：（1）∵，∴， 不等式的解为，∴ ∵，∴，即，∴或. ∴ （2）由（1）可知，，∴ ∵，∴ 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇. 39．【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）. 【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得. （2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围. 【详解】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 40．【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）代入解不等式即可； （2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 即，解得， 故该不等式的解集为. （2）. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 41．【答案】(1)或或 (2) (3) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）分和，结合函数零点的个数求的值. （2）分和结合二次函数性质讨论，根据不等式恒成立问题列出不等式求解. （3）对进行分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）当时，函数可化为，由，满足函数有且只有1个零点； 当时，由函数有且仅有1个零点， 所以或. 综上可知，函数有且仅有1个零点， 则或或. （2）不等式. 即对一切实数恒成立. 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则. 综上，实数的取值范围是. （3）可化为， 所以. 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为， 当，即时，可得或； 当，即时，可得； 当，即时，可得或. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 42．【答案】(1)； (2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）将问题转化为全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【详解】（1）由命题，使得成立为假命题，得命题，为真命题， 不等式， 当时，恒成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 2．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）若，，且，，则，，，的大小顺序是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由(q-m)(q-n)＜0，m＜n可知m，n，q的大小关系，由(p-m)(p-n)＞0，可知m，n，p的大小关系，综合分析即可得结果. 【详解】∵(q-m)(q-n)＜0， ∴m，n一个大于q，一个小于q. ∵m＜n， ∴m＜q＜n. ∵(p-m)(p-n)＞0， ∴m，n同时大于P，或同时小于p. ∵p＜q，且m＜q＜n，则m，n同时大于p， ∴p＜m＜q＜n. 故选B. 【点睛】本题考查不等式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的合理运用． 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由，则，又，则，故，故A错误； 对B：取、、，，则，故B错误； 对C：由，则，则， 又，则，故，故C正确； 对D：， 由，，故，故，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误； 对于B，成立时，不一定成立，比如时，， 此时，错误； 对于C，举反例，当时，满足，此时，， 则有，错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，正确. 故选：D 5．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取特殊值判断ABC，由幂函数的单调性判断D. 【详解】当时，，则A错误； 当时，，则B错误； 当时，，则C错误； 因为函数在上单调递增，，所以，则D正确； 故选：D 6．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】当且，则，，A、B错， 由题设，则，且，C错，D对. 故选：D 7．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知,下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用作差法证明，或举出反例推翻选项. 【详解】A选项：当时，选项不成立； B选项：，所以选项不正确； C选项：，所以，该选项正确； D选项：当时，，选项不正确. 故选：C 【点睛】此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题. 8．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）已知，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合不等式性质判断ABD；举反例判断C. 【详解】因为， 对于选项A：可得，，即，故A错误； 对于选项B：可得，，即，故B错误； 对于选项C：例如，满足，但，故C错误； 对于选项D：可得，，即，故D正确； 故选：D. 9．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质来进行计算并作出判断. 【详解】对于A：，所以，，故A错误； 对于B：，所以，，故B正确； 对于C，所以，，故C正确； 对于D所以，，故D正确． 故选：BCD 10．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用特值法判断A；根据不等式的性质判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，满足且，此时，故A错误； 对于B，，则，所以，故B正确； 对于C，，则， ，则，故C正确； 对于D，，则，， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 12．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】本题考查不等式的性质，依次分析即可得到正确选项. 【详解】若取时，有但是，选项A不对； 由不等式的同向可加性知，若，则，选项B正确； 因为，所以，，所以有，选项C正确； 因为，所以，所以，选项D正确. 故选：BCD 13．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）已知，，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得范围. 【详解】因为，所以， 所以，即的取值范围. 故答案为： 14．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 考点02 基本不等式 1．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABCD 【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B. 【详解】A中，因为，由基本不等式可知成立； B中，因为，所以，所以，所以成立； C中，因为，由基本不等式可知成立； D中，因为，由基本不等式可得成立. 故选：ABCD 2．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 3．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】直接使用基本不等式求解即可. 【详解】由于，， 当时，上式取等号，即时，的最小值是. 故选：B 4．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）（多选）若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直接运用基本不等式可判断B；利用基本不等式里“1”的妙用可判断AD；平方，再利用基本不等式可判断C. 【详解】选项 A： 因为是正实数且满足， 所以由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 ，结合 ，得 时取等. 因此，选项 A 正确； 选项 B： 因为是正实数，所以由基本不等式得：，当且仅当 时取等. 但 且 ，所以 ，因此 （因为 ）. 因此，选项 B 正确； 选项 C： ， 由是正实数且满足得：， 因此：，即 ，与选项 C中 的 不等号 相反. 因此，选项 C 错误； 选项 D： 利用 ，即 ，代入：， 因为是正实数且满足，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时取等号. 故，因此，选项 D 正确. 故选：ABD 5．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为4. 故选：C 6．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知为正实数，且，则的最小值为 （    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】由，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值． 【详解】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）若，，且，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】将等式两边同除以得，再由基本不等式“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】因为，两边同除以得， 所以， 当即时等号成立. 故选：A． 8．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）（多选）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 9．（25-26高一上·贵州·期中）（多选）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】直接利用基本不等式得判断A；利用基本不等式“1”的用法判断BC；根据得判断D 【详解】由，，，故， 当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 由题知，故，故，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 11．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的有（   ） A．的最大值是4 B．的最大值是8 C．的最小值是4 D．的最小值是7 【答案】ACD 【分析】直接由基本不等式可判断A；将变形后用基本不等式可判断B；利用基本不等式中“1”的妙用可判断C；换元后根据二次函数性质求最值，判断D. 【详解】对于A，因为，则， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，， 当且仅当时，等号成立， 的最小值是，所以B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，则C正确； 对于D，, 当时，取最小值7，则D正确. 故选：ACD 12．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）（多选）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值. 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当时，等号成立，故， 故的最大值为，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 13．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 14．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式可判断ACD，把等式看作的方程，令可判断B. 【详解】由题意， 当且仅当或时取得，故A正确； 把等式看作的方程， 则，故B正确； ， 当且仅当或时取得，故C错误； ， 当且仅当或时取得，故D正确. 故选：ABD 15．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为______． 【答案】9 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据已知不等式恒成立有，求解即可得. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，故， 所以，故实数x的最大值为9. 故答案为：9 16．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）求下列函数的最值. (1)已知，求的最小值； (2)已知：，，且，求的最小值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】（1）， 当且仅当时取等号，所以最小值为4. （2）， 当且仅当时取等号，又，即，， 所以最小值为. 17．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】(1) (2),，（元） 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 （2）两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 18．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值，并求出取最小值时的x，y值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1)，， (2)证明：， 又，当且仅当时等号成立， 所以 所以，当且仅当且x，y同号时等号成立． (3)时，M取得最小值 【分析】（1）由不等式的乘“1”法即可求解， （2）由基本不等式即可求解， （3）利用（2）的结论，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是，此时，， （2）略； （3）令，， 由，得， ， 又，，所以， 构造， 由，可得，因此，， 由（2）知， 取等号时，且x，y同正， 结合，解得，， 即，． 所以时，M取得最小值． 19．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）采用方案二，花费更少，理由略； （2）由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 20．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）已知过点. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)恒成立，求取值范围 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由题意得到，由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式乘1法即可求解； （3）由基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为过点，所以， 所以，即，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为； （2） 当且仅当时取等号， 所以的最小值为4； （3）因为，当且仅当时取等号， 所以，即，解得： 所以取值范围 21．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）材料：当，时，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，大小关系是（当且仅当时等号成立）.问题： (1)求与的调和平均数和平方平均数； (2)已知函数，且，求证：； (3)根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为a（元/kg），第二次价格为b（元/kg），试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 【答案】(1)调和平均数，平方平均数； (2)证明：由，且， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，显然，得证. (3)若每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg， 若每次购买这种物品所花的钱数元一定，则物品平均价格为元/kg， 结合背景知识知：，当且仅当时等号成立， 当时，，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济； 当时，，此时两种购买方式一样经济. 【分析】（1）根据题干背景知识求调和平均数和平方平均数即可； （2）利用二次函数性质得，结合已知及背景知识确定右侧表达式范围，即可证； （3）根据题意得每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg，每次购买这种物品所花的钱数一定，则物品平均价格为元/kg，讨论其大小，即可得结论. 【详解】（1）令，则调和平均数， 平方平均数； （2）略 （3）略 22．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. (1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； (2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 【答案】(1)长为米，宽为3米 (2)4米和5米 【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值； （2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解. 【详解】（1）依题得， 设筛网总长度为米，则， ， 当且仅当即时，筛网总长度最小， 所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. （2）法一：依题得，即， 设总造价为元，则 . ， 由得，解得. 当且仅当即时，造价最低， 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 法二：依题得， 设总造价为元，则 ， 由，得， 当且仅当且，即时，造价最低. 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 23．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，当为多少时？有最小值？并求出最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题列出关系式，然后由基本不等式即可求得结果； （2）根据题列出关系式，然后由基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 24．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中） 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： (1)已知均为正实数，且，求的最小值； (2)已知均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 【答案】(1)6 (2) 当且仅当时，等号成立. (3) 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【详解】（1）转换，， 当且仅当时，等号成立． （2）略 （3）转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）不等式＜0的解集为（    ） A．[0，2] B．(0，2] C．(－∞，0)∪[2，＋∞) D．(0，2) 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解. 【详解】解：原不等式可化为，解得：， 所以不等式＜0的解集为(0，2). 故选：D． 2．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）已知命题，，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，并根据真包含关系，得到答案. 【详解】，， 因为是的真子集，所以p是q的充分不必要条件. 故选：B. 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解出两个集合中的不等式，得到集合之间的关系，从而得出答案. 【详解】不等式解得，则， 不等式，即，解得，则， 由是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由可得，解得：， 记， 设所求的充分不必要条件构成集合A，则有是B的真子集， 由真子集的性质可知，是的一个充分不必要条件， 故选：C. 5．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 6．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）设，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，再由充分条件和必要条件的概念可得结果. 【详解】，， 由不能推出，由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 7．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知集合集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合A，利用交集定义能求出 【详解】解：集合 故选：B 8．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可. 【详解】因为，所以， 解得，故D正确. 故选：D 9．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两个根为，， 即. 因此选项A正确； 因为，，所以由，因此选项B不正确； 由可知：，因此选项C不正确； 因为，所以由， 解得：，因此选项D正确， 故选：AD 10．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 11．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据不等式的解集得，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，是方程的两个根，且， 所以，可得，A错， 由，B对； 由，即，不等式解集为，C错； 由，即， 所以，故不等式的解集为，D对. 故选：BD 12．（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用韦达定理，化简所求式子，即可求解. 【详解】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 13．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 14．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）若关于x的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，以及解一元二次不等式，属于基础题. 由已知可得方程的两个根为3和4，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以方程的两个根为3和4， 所以，得， 不等式可化为，即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 15．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据已知不等式恒成立，应用分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，恒成立，满足题意， 当时，则，可得，所以， 综上，. 故选：B 16．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 17．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集对应二次函数开口向上判断，再根据方程的根结合韦达定理可得，从而解BCD选项中的不等式. 【详解】对于A，由题可知二次函数开口向上则，且对应方程的两根为 、， 代入不等式对应方程可得：，A选项正确； 对于B，解不等式 ，代入 ，： ，两边除以 （负数）需变号： ，B选项正确； 对于C，解不等式 ，代入 ，： 两边除以 可得： 解方程 ： 不等式 的解集为：或，C选项错误； 解不等式 ，代入 ，： 可得：，两边除以 ， ， 解集为：或，D选项错误. 故选：AB 18．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A正确，解不等式得到BD正确，由得到C错误. 【详解】由题意得：的解为和，且， 所以，解得：， 故A正确， ，即，解得：，故B正确； ，故C错误； 变形为，不等式除以得：， 解得：，故D正确. 故选：ABD 19．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 20．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 【答案】ABC 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 21．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知以及根与系数的关系可得，和的关系以及，再将化为，解出即可得到结果. 【详解】因为不等式的解集为， 则，解得，，且， 则关于的不等式可化为， 所以，解得， 即关于的不等式的解集是. 故选：D 22．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 23．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简不等式为，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为，可得，所以不等式等价于， 即，解得，且， 所以不等式的解集为. 故选：B. 24．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 25．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）方程的两个根分别为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由方程的两个根分别为，可得， 则. 故答案为：. 26．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先根据分式不等式小于0的条件，把原不等式转化为分子、分母异号的不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】， 或，解得， 不等式的解集为：． 故答案为：． 27．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】方法一：根据题意得真或真，再依次分析真和真时的的取值范围，最后求并集即可得答案；方法二：若命题p，q均为假命题，求出的范围，再求补集即可. 【详解】方法一：当p是真命题时，；当q是真命题时，方程的判别式，解得．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，或，即． 方法二：若命题p，q均为假命题，则m需满足解得．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，． 故答案为：. 28．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解. 【详解】因为函数的对称轴为，且开口向上， 函数在区间上单调，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 【答案】 【分析】分析可知关于的方程的解集是，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 可知关于的方程的解集是，且， 可得，即， 则即为， 且，可得，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 30．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为且，是正数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以，解得. 故答案为：. 31．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，然后求解整式不等式即可. 【详解】不等式变形为，解得. 不等式的解集为. 故答案为：. 32．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）若“”是假命题，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围． 【详解】“”是假命题， 则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为． 故答案为：． 33．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）设函数的两个零点分别是和． (1)求函数； (2)当函数的定义域是时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的零点，代入求出参数值即可. （2）根据二次函数性质，求出在给定区间上的值域即可. 【详解】（1）由题意得，设函数解析式为，不为，即， 得，解得， 可得. （2）由（1）可知，函数开口向下，对称轴为， 根据二次函数对称性可知，时，在处取得最大值，在处取得最小值， ，所以函数在上的值域为. 34．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意知，是方程的根，利用韦达定理求值即可； （2）对分式不等式移项，通分，再计算即可. 【详解】（1）由题知，是方程的根，且， 由韦达定理知，解得， 所以实数的值为. （2）由（1）知，所以，移项通分得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 35．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （4）将不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由得，解得或. 故原不等式的解集为或. （2）原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）原不等式即为，解得，故原不等式的解集为. （4）由得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. 36．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）求下列关于的不等式的解集. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) 或 (3) 当时，解集为；当时，解集为或；当时解集为. 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，计算即可得答案. （2）根据一元二次不等式的解法，计算即可得答案. （3）分别讨论、、三种情况，根据一元二次不等式的解法，计算即可得答案. 【详解】（1）不等式，变形可得，解得， 所以解集为. （2）不等式，变形可得，即， 解得或，所以解集为或. （3）不等式， 当时，解集为； 当时，，不等式变形得， 所以解集为或； 当时，，不等式变形为， 所以解集为. 综上：当时，解集为；当时，解集为或；当时解集为. 37．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知不等式的解集是． (1)求常数a的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值； （2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围 【详解】（1）因为不等式的解集是． 所以－1和3是方程的解， 把代入方程解得．经验证满足题意 （2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R， 所以， 解得，所以m的取值范围是． 38．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）设全集，集合，集合． (Ⅰ)求集合与；   (Ⅱ)求、． 【答案】（1），（2） 【详解】试题分析：（1）由，知，由，得，可得或；（2）由或，能求出，由或，能求出. 试题解析：（1）∵，∴， 不等式的解为，∴ ∵，∴，即，∴或. ∴ （2）由（1）可知，，∴ ∵，∴ 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇. 39．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）. 【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得. （2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围. 【详解】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 40．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）代入解不等式即可； （2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 即，解得， 故该不等式的解集为. （2）. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 41．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）设. (1)若函数有且仅有1个零点，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)或或 (2) (3) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）分和，结合函数零点的个数求的值. （2）分和结合二次函数性质讨论，根据不等式恒成立问题列出不等式求解. （3）对进行分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）当时，函数可化为，由，满足函数有且只有1个零点； 当时，由函数有且仅有1个零点， 所以或. 综上可知，函数有且仅有1个零点， 则或或. （2）不等式. 即对一切实数恒成立. 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则. 综上，实数的取值范围是. （3）可化为， 所以. 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为， 当，即时，可得或； 当，即时，可得； 当，即时，可得或. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 42．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）设函数. (1)命题，使得成立.若为假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）将问题转化为全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【详解】（1）由命题，使得成立为假命题，得命题，为真命题， 不等式， 当时，恒成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）若，，且，，则，，，的大小顺序是 A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知,下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）已知，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 12．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）已知，，则的取值范围是_______. 14．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知，，则的取值范围是__________. 考点02 基本不等式 1．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 3．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 4．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）（多选）若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知为正实数，且，则的最小值为 （    ） A． B．9 C． D． 7．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）若，，且，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）（多选）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 9．（25-26高一上·贵州·期中）（多选）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 10．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 11．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的有（   ） A．的最大值是4 B．的最大值是8 C．的最小值是4 D．的最小值是7 12．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）（多选）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 13．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为______． 16．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）求下列函数的最值. (1)已知，求的最小值； (2)已知：，，且，求的最小值. 17．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 18．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值，并求出取最小值时的x，y值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 19．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 20．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）已知过点. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)恒成立，求取值范围 21．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）材料：当，时，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，大小关系是（当且仅当时等号成立）.问题： (1)求与的调和平均数和平方平均数； (2)已知函数，且，求证：； (3)根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为a（元/kg），第二次价格为b（元/kg），试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 22．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. (1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； (2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 23．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，当为多少时？有最小值？并求出最小值. 24．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中） 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： (1)已知均为正实数，且，求的最小值； (2)已知均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）不等式＜0的解集为（    ） A．[0，2] B．(0，2] C．(－∞，0)∪[2，＋∞) D．(0，2) 2．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）已知命题，，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）设，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知集合集合则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 10．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 12．（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 13．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）若关于x的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（   ） A． B． C．或 D．或 16．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 17．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 18．（25-26高一上·贵州贵阳南湖实验中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 19．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 21．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 23．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 25．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）方程的两个根分别为，则_____. 26．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）不等式的解集为_____． 27．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 28．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是_____. 29．（25-26高一上·贵州贵阳长郡贵阳高级中学·期中）若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 30．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 31．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）不等式的解集为______． 32．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）若“”是假命题，则的取值范围为__________. 33．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）设函数的两个零点分别是和． (1)求函数； (2)当函数的定义域是时，求函数的值域． 34．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)求不等式的解集. 35．（25-26高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3)； (4). 36．（25-26高一上·贵州名校协作体·期中）求下列关于的不等式的解集. (1)； (2)； (3). 37．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）已知不等式的解集是． (1)求常数a的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围． 38．（25-26高一上·贵州遵义第四中学·期中）设全集，集合，集合． (Ⅰ)求集合与；   (Ⅱ)求、． 39．（25-26高一上·贵州毕节第一中学·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 40．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 41．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）设. (1)若函数有且仅有1个零点，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 42．（25-26高一上·贵州铜仁思南县·期中）设函数. (1)命题，使得成立.若为假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $