14.2026年安徽省合肥市包河区二模-【木牍中考】2027安徽中考数学试题汇编配套课件

数 学 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.2026年合肥市包河区二模 本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1.下列选项中，比－2 ℃低的温度是(　　) A.－3 ℃ B.－1 ℃ C.0 ℃ D.1 ℃ 1 A -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2 2.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为0.0000001024 m.数据0.0000001024用科学记数法表示为(　　) A.1.024×10－7 B.1.024×10－8 C.10.24×10－8 D.10.24×10－6 A -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 3.榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系.如图是其中一种卯，其俯视图是(　　) 第3题图 A B C D D -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 4.下列计算正确的是(　　) A.2a－a＝2 B.(a2)3＝a5 C.a3÷a＝a3 D.a2·a4＝a6 D 【解析】 选项 正误 原因 A × 2a－a＝a B × (a2)3＝a2×3＝a6 C × a3÷a＝a3－1＝a2 D √ a2·a4＝a2＋4＝a6 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 5.下列整数中，与10－最接近的是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 【解析】∵＝3，＝4，∴3＜＜4，且更接近4，∴－更接近－4，∴10－最接近的整数是6. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 6.如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度h是注水时间t的函数.下列函数图象中，能反映h随t变化规律的是(　　) 第6题图 A B C D D -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】鱼缸的横截面面积从底部到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢再变快.A选项：速度为匀速，且有一段不升高，不符合题意；B选项：速度为匀速，不符合题意；C选项：速度变化为先变快再变慢，不符合题意；D选项：速度变化为先变慢再变快，符合题意. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 7.如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，EG＝10，则AB＝(　　) A.10 B.12 C.13 D.15 第7题图 C -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AG，AC⊥BD，∴∠CEF＝∠BGF，∠ECF＝∠GBF，∵E，F分别是CD，BC的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，CF＝BF，∴△CEF≌△BGF(AAS)，∴EF＝FG，∴EG＝2EF＝BD＝10.∵OA＝＝12，OB＝＝5，∴AB＝＝13. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 8.如图，AB是☉O的直径，C是AB下方的中点，连接AC，以点C为圆心，AC的长为半径作圆弧.若OA＝2，则图中阴影部分的面积为(　　) A.4π B.2π＋2 C.4 D.4π－2 第8题图 C -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】连接BC.∵AB是☉O的直径，C是AB下方的中点，OA＝2，∴AB＝4，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AB＝2，∴阴影部分的面积＝S☉O－(S扇形ACB－S△ACB)＝π×22－[×π×(2)2－×(2)2]＝2π－(2π－4)＝4. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 9.已知3个二次函数：y1＝x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.若函数y1的图象与x轴有且只有1个交点，函数y2的图象与x轴无交点，则函数y3的图象与x轴的交点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 A -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵函数y1的图象与x轴有且只有1个交点，∴Δ1＝a2－4＝0，∴a＝2(负值舍去).∵函数y2的图象与x轴无交点，∴Δ2＝b2－4×2×1＝b2－8＜0，∴b2＜8，∵b是正实数，∴0＜b2＜8.∵b2＝ac，∴c＝，∴0＜c＜4，∴Δ3＝c2－4×4×1＝c2－16＜0，∴函数y3的图象与x轴无交点. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 10.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是平面上一点，且CD＝4，连接AD，BD，则下列说法正确的是(　　) A.AD长度的最大值是9 B.AD＋BD的最小值是 C.∠CBD＝30° D.△ABD面积的最大值是40 B -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵D是平面上一点，且CD＝4，∴点D在以点C为圆心，4为半径的圆上，如图1所示. 图1　　　　 图2 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 如图2，当点D在AC延长线上时，AD长度取最大值，为6＋4＝10，A选项错误；由图可知∠CBD的大小随着点D位置的变化而变化，C选项错误；如图3，作CH⊥AB于点H，延长HC交圆C于点D，此时△ABD的面积最大，易得CH＝4.8，∴DH＝4.8＋4＝8.8，S△ABD＝×10×8.8＝44，∴△ABD面积的最大值是44，D选项错误； -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 如图4，在CA上取点E，使CE＝CD＝(提示：利用“阿氏圆”解决问题)，连接CD，DE，BD，AD，∵，∠ECD＝∠DCA，∴△CDE∽△CAD，∴，∴DE＝AD，∴AD＋BD＝DE＋BD≥BE， -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴当点B，D，E共线时，AD＋BD有最小值，此时，AD＋BD＝BE＝. 图3　　　　 图4　 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 “阿氏圆”问题 思路：如图，计算PA＋kPB(A，B为定点，P为圆上动点，k＞0且k≠1)的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造相似比为k的母子型相似三角形. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 步骤：①如图，将系数不为1的线段PB的两端点P，B分别与圆心O相连，得OP，OB；②计算出这两条线段的长度比＝k；③在OB上取一点C，使得＝k，即构造△POC∽△BOP，则＝k，即PC＝kPB；④PA＋kPB＝PA＋PC≥AC，当A，P，C三点共线时可得最小值. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.计算：＋20＝________. －1 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 12. 有大小、材质完全相同的四张卡片，正面分别书写化学元素符号O(氧)、N(氮)、Cu(铜)、Zn(锌)，暗箱摇匀后不放回随机抽两张，则抽取的两张卡片恰好 都是金属元素的概率是________. 　 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】记书写O(氧)、N(氮)、Cu(铜)、Zn(锌)的四张卡片分别为1，2，3，4，画树状图如下，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片恰好都是金属元素的结果只有(3，4)和(4，3)2种，∴P(抽取的两张卡片恰好都是金属元素)＝. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 13.如图，直线y＝x与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝x向上平移2个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C.若BC＝2，则k的值是________. 第13题图 8 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵直线y＝x为第一、三象限的角平分线，∴∠BOA＝45°，由题意知OB＝2，OA∥BC，作CD⊥y轴于点D，∴∠CBD＝∠BOA＝45°，∴BD＝CD＝BC＝2，∴点C(2，4)，∵点C在双曲线y＝上，∴k＝2×4＝8. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的特殊夹角 两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于90°的角. 当k＝±时，夹角α＝30°；当k＝±1时，夹角α＝45°；当k＝±时，夹角α＝60°. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 14. 对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出这两个数的和或差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数.重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫作这列数的“终止数”.以数列1，2，3为例：初始数列有3个数，需要操作2次得到“终止数”.第1次操作：取走1和2，计算和为1＋2＝3，余下的数为3，组成新数列3，3；第2次操作：取走两个3，计算差为3－3＝0，最终得到“终止数”0.也可选择其他操作方式：第1次取走1和3，计算和为1＋3＝4，余下的数为2，组成新数列2，4；第2次操作取走2和4，计算和为2＋4＝6，最终得到“终止数”6.由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的“终止数”.完成下面探究： -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)现有一列整数：1，2，3，4，其最大的负“终止数”是________； (2)2，9，5，7，a，b，c，14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，那么abc的最大值是________. 480 －2 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】(1)可以从最大的负整数－1开始探究，多次操作后，发现无法通过操作得到结果－1，存在操作：1－2＝－1，－1＋3＝2，2－4＝－2，∴最大的负“终止数”为－2. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)由已知数列是正整数列可知“终止数”的最大值为所有数的总和(关键点)，∵正整数列2，9，5，7，a，b，c，14的最大“终止数”为61，∴2＋9＋5＋7＋14＋a＋b＋c＝61，∴a＋b＋c＝24，且a，b，c与2，5，7，9，14互不相同，∵当三个数的和为定值时，这三个数越接近，乘积越大(关键点)，∴最接近的组合为7，8，9，∵7，9已在已知数中，∴选择次优组合6，8，10，∴abc的最大值为480. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.解不等式：≤x＋1. 【参考答案】去分母，得x－1≤2(x＋1)...................2分 去括号，得x－1≤2x＋2...................4分 移项、合并同类项，得－x≤3...................6分 系数化为1，得x≥－3...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 16.某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣.已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个.求这两款钥匙扣的单价. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】设B款钥匙扣的单价为x元，则A款钥匙扣的单价为1.25x元. 根据题意，得－3，..................3分 解得x＝12，..................5分 经检验，x＝12是原方程的解，且符合实际...................6分 A款钥匙扣单价为1.25x＝1.25×12＝15(元). 答：A款钥匙扣单价为15元，B款钥匙扣单价为12元...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是(－2，5)，(－4，2)，(－1，1). 第17题图 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)以点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△A2B2C2； (3)借助网格，用无刻度直尺过点B作BH⊥AC，垂足为点H. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)如图，△A1B1C1即为所求...................3分 (2)如图，△A2B2C2即为所求...................6分 (3)如图，BH即为所求...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 18.如图是一种手机平板支架的侧面结构示意图，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上.量得托板长AB＝130 mm，支撑板长CD＝80 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当∠DCB＝83°，∠CDE＝60°时，求点A到直线DE的距离.(结果保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73) 第18题图 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，CF⊥DE，垂足分别为点H，F. ∵AB＝130 mm，CB＝40 mm， ∴AC＝AB－CB＝130－40＝90(mm). 在Rt△CDF中，CD＝80 mm，∠CDF＝60°， ∴CF＝CD·sin 60°＝80×≈69.2(mm)...................3分 ∵AG⊥DE，CH⊥AG，∴CH∥DE， -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴∠HCD＝∠CDE＝60°， ∴∠ACH＝180°－∠DCB－∠HCD＝37°...................5分 在Rt△ACH中，AC＝90 mm，∠ACH＝37°， ∴AH＝AC·sin 37°≈90×0.6＝54(mm). 易得四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝69.2， ∴AG＝AH＋HG＝54＋69.2＝123.2≈123(mm). 答：点A到直线DE的距离约为123 mm...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.随着安徽非遗文化的线上推广发展，全省各地的特色非遗手工艺品(如徽墨、歙砚、黄梅戏文创、徽派建筑摆件等)有了更广阔的展示空间，不同的文化推广平台在创意呈现、文化契合度等方面各具优势.某非遗手工艺品传承人打算从甲、乙两家文化推广平台中选择一家合作，为此他收集了10家非遗手工艺品创作者对两家平台的相关评价，并整理、描述、分析如下： -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 第19题图 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)计算：a＝________，扇形统计图中∠α＝________°，并补全频数分布直方图. 作品创意和文化传承契合度得分统计表 统计量平台 作品创意得分 文化传承契合度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 a 7 1 乙 8 8 7 72 7.5 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)计算表格中乙的方差，即的值. (3)在非遗文化线上推广中，该传承人将作品创意的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾文化传承契合度的基本表现.请结合表中的统计量，为该非遗手工艺品传承人推荐合适的合作平台，并说明理由. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)7.5；72；..................2分 补全频数分布直方图如图所示. ..................3分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)结合图、表可知×［(4－7)2＋2×(5－7)2＋2×(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋2×(10－7)2］＝4.2...................7分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)乙平台...................8分 理由：乙平台作品创意得分的平均数和中位数均高于甲平台，∴乙平台在作品创意的整体水平与中间水平表现更突出；甲、乙两平台文化传承契合度的平均得分均为7，基本表现相当；乙平台方差虽略大，但整体仍能满足文化传承的基本要求.(言之有理即可)..................10分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 20.如图，AB，AC分别为☉O的直径和弦，过点O作OD⊥AC，垂足为点E，交☉O于点D，F为线段OE上一点，连接CD，BF∥CD. (1)求证：BF＝CD； (2)若EF＝1，AC＝2，求OF的长. 第20题图 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)连接BC. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC...................2分 ∵OD⊥AC，∴OD∥BC，即DF∥BC. 又∵BF∥CD，∴四边形BCDF为平行四边形， ∴BF＝CD...................4分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)设OF＝x.∵EF＝1，∴OE＝OF＋EF＝x＋1. ∵四边形BCDF是平行四边形，∴DF＝BC. ∵OD⊥AC，AC＝2，∴AE＝EC＝AC＝...................6分 在Rt△ABC中，O是AB中点，E是AC中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴BC＝2OE＝2x＋2，∴DF＝BC＝2x＋2， ∴OA＝OD＝OF＋DF＝3x＋2...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 在Rt△OAE中，OA2＝OE2＋AE2，即(3x＋2)2＝(x＋1)2＋()2，解得x1＝，x2＝－(负值舍去)， ∴OF＝...................10分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 六、(本题满分12分) 21. Pick定理的探究 在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的图形称为“格点图形”.我们可以通过格点的数量，计算格点图形的面积. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【阅读理解】奥地利数学家乔治·皮克在1899年提出了Pick定理，用于快速计算简单的格点多边形的面积，是网格类几何题的常用工具. 对于简单的格点多边形，Pick定理的公式为：S＝I＋B－1，其中S表示格点多边形的面积，I表示多边形内部包含的格点数量，B表示多边形边界上的格点数量(包含所有顶点和边上的格点). -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)如图1，在边长为1的网格中，△ABC为格点三角形，数出△ABC内部的格点数I＝　①　，边界上的格点数B＝　②　；代入Pick定理公式可计算△ABC的面积S＝　③　，使用割补法再计算一次△ABC的面积，很容易验证结果是正确的.  第21题图1 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)【证明探究1】如图2，矩形ABCD为“格点矩形”，可证明Pick定理对格点矩形成立. 证明：设矩形ABCD的边AB，AD上分别有m，n个不含端点的格点，并记矩形内部和边界上的格点数分别为I0，B0，则I0＝mn，B0＝2(m＋n)＋4，AB＝m＋1，AD＝n＋1. 用面积公式计算：S矩形ABCD＝AB·AD＝(m＋1)(n＋1). -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 用Pick定理计算：S矩形ABCD＝I0＋B0－1＝mn＋－1. 两种计算方法所得的结果都是：　④　.  ∴Pick定理对格点矩形成立. 第21题图2 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)【证明探究2】利用图3，证明对于△ABC，Pick定理是成立的. 任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点.图3是最简单的情形. 设图3中矩形ABCD内部和边界上的格点数分别为I0，B0，边AC上不含端点的格点数为k. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 设I，B分别表示△ABC内部与边界上的格点数，则I＝　⑤　；B＝　⑥　；(用含I0，B0或k的代数式表示)  通过计算可得：I＋B－1＝S矩形ABCD＝S△ABC. ∴Pick定理对图3所示的△ABC成立. 第21题图3 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 第21题图4 【拓展应用】利用图4，证明对于△ABC，Pick定理也是成立的，证明过程略. 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①______；②______；③______；④________________； ⑤__________；⑥_____________. mn＋m＋n＋1 3 9 I0－k B0＋k＋1 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】①9...................2分 ②3...................4分 ③...................6分 ④mn＋m＋n＋1...................8分 ⑤I0－k...................10分 ⑥B0＋k＋1...................12分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 七、(本题满分12分) 22.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与直线y＝k交于点A，B. (1)若点A，B的横坐标分别为1，3且函数的最小值为2，求b，c的值. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)若k＝0，即点A，B在x轴上时，点A，B的横坐标分别为x1，x2. (ⅰ)b＝____________，c＝________；(用含x1，x2的代数式表示) (ⅱ)若该函数的图象经过点(1，n)，且x1＝－1，0＜x2＜1，求cn的取值范围. x1x2 －(x1＋x2) -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)由题意，得二次函数y＝x2＋bx＋c的图象对称轴为直线x＝＝2. ∵函数的最小值为2，∴顶点坐标为(2，2)，..................2分 ∴y＝(x－2)2＋2＝x2－4x＋6， ∴b＝－4，c＝6...................4分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(1)由题意可得方程x2＋bx＋c－k＝0的根为x1＝1，x2＝3，∴x1＋x2＝－b＝4，∴b＝－4. ∵函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2， ∴＝2，代入b＝－4，得c＝6. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)(ⅰ)－(x1＋x2)；x1x2...................8分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (ⅱ)结合(2)(ⅰ)的结论，可用含x2的代数式分别表示c，n，再由x2的取值范围即可求出cn的取值范围. 由b＝－(x1＋x2)，c＝x1x2，x1＝－1，得b＝1－x2，c＝－x2，∴y＝x2＋(1－x2)x－x2， ∵该函数的图象经过点(1，n)，∴n＝2(1－x2)， -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴cn＝2(1－x2)(－x2)＝2(－x2)＝2...................10分 ∵0＜x2＜1，∴当x2＝时，cn有最小值－， 且cn＜2×＝0， ∴cn的取值范围是－≤cn＜0...................12分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(ⅱ)∵该函数的图象经过点(－1，0)， ∴0＝1－b＋c，∴c＝b－1，∴y＝x2＋bx＋b－1. 将点(1，n)代入，得n＝2b， ∴cn＝2b(b－1)＝2. ∵b＝1－x2，0＜x2＜1，∴0＜b＜1， ∴当b＝时，cn有最小值－，且cn＜2×＝0， ∴cn的取值范围是－≤cn＜0. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 八、(本题满分14分) 23.已知△ABC，D为∠ACB内一点，连接AD，BD，∠ACB＝∠DBC，AC＝CD. (1)如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，BE交AC于点F，∠DCE＝30°，CD＝2BD. (ⅰ)求证：AF＝EF； (ⅱ)求证：AD·BC＝CD·DE. 第23题图1 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)如图2，若∠BDC＝90°，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，交CD于点H，H为CD的中点，求的值. 第23题图2 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)(ⅰ)∵∠DCE＝30°，CE⊥BD， ∴CD＝2DE. ∵CD＝2BD，∴CD＝BE. ∵AC＝CD，∴AC＝BE. ∵∠ACB＝∠DBC，∴BF＝CF， ∴BE－BF＝AC－CF，即AF＝EF...................4分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (ⅱ)欲证AD·BC＝CD·DE→即证→即证△ADE∽△DCB→导角证相似 连接AE. 设∠ACB＝∠DBC＝α.由(ⅰ)知FB＝FC，AF＝EF. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵∠BFC＝∠AFE，∴∠FBC＝∠FCB＝∠FEA＝∠FAE＝α. 易得∠CDE＝90°－∠DCE＝60°，∠BDC＝180°－∠CDE＝120°， ∴∠BCD＝∠CDE－∠CBD＝60°－α， ∴∠ACD＝∠BCA－∠BCD＝α－(60°－α)＝2α－60°. -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝(180°－∠ACD)＝［180°－(2α－60°)］＝120°－α， ∴∠ADE＝∠CDA－∠CDE＝120°－α－60°＝60°－α， ∴∠BCD＝∠ADE， ∴△DAE∽△CDB，∴， ∴AD·BC＝CD·DE...................9分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)由“H为CD的中点”能得到哪些线段关系？由两个垂直条件“∠BDC＝∠AGC＝90°”能得到哪些角度关系？能找到哪些相似三角形？尝试与建立联系. ∵H是CD的中点，AC＝CD， ∴CH＝DH＝CD＝AC. 在Rt△BDC和Rt△AGC中，∠BDC＝∠AGC＝90°，∠DBC＝∠ACG， -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴∠DCB＝∠GAC，∴△HCG∽△CAG， ∴. 设GH＝a，则CG＝2a，AG＝4a， ∴AC＝CD＝＝2a，AH＝AG－GH＝3a， ∴DH＝AC＝a， ∴...................14分 -‹#›- -‹#›- 14.2026年合肥市包河区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 　　　　　　　　　 $