圆锥曲线 - 职教高考《数学一轮复习手册》

圆锥曲线 一、复习目标 1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程； 2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率； 3.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程； 4.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；了解等轴双曲线的概念和特点； 5.理解抛物线的定义和标准方程，能够根据条件写出抛物线的标准方程； 6.了解抛物线的性质：范围、对称性、顶点、离心率． 二、思维导图 三、知识梳理 知识点1 椭圆 1．椭圆的定义 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a ＞ |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0 ＋＝1(a＞b＞0 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0，A2(a,0 B1(0，－b，B2(0，b A1(0，－a，A2(0，a B1(－b,0，B2(b,0 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1 a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 3. 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 知识点2 双曲线 1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a ＜ |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0 －＝1(a＞0，b＞0 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1(－a,0， A2(a,0 顶点坐标： A1(0，－a， A2(0，a 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 知识点3 抛物线 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0 y2＝－2px (p＞0 x2＝2py (p＞0 x2＝－2py (p＞0 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 四、易错提醒 （一）核心定义与性质对比 曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义（动点满足的条件） |PF|=p到定直线l的距离 标准方程 焦点 和 和 顶点 和 和 离心率 e 渐近线 “一个定义，两种距离”：椭圆/双曲线关注到两焦点的距离和/差；抛物线关注到焦点和到准线的距离相等。这是所有性质的根源。 （二）、解题策略与技巧 1. “定义优先”原则 看到“椭圆”，立即想到 ； 看到“双曲线”，立即想到 看到“抛物线”，立即想到|PF| =p到定直线l的距离 2. “弦长问题”通法 已知直线与圆锥曲线交于： 弦长公式： （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义限制 已知动点P到 F1(-4,0), F2(4,0)的距离之差为 6，求轨迹。误得 未准确理解双曲线定义 轨迹应是双曲线的一支 焦点位置不清 将椭圆的焦点写成 和 没看清方程结构，默认 项分母大 标准方程谁的分母大，焦点就在谁的轴上 学科网（北京）股份有限公司 $