数列 - 职教高考《数学一轮复习手册》

数列 一、复习目标 1.理解数列的概念，掌握数列的几种表示方法（列表法、图象法、通项公式法、递推公式法），理解数列是定义在正整数集或其子集上的函数。 2.能根据递推公式求数列的前几项或通项公式，理解递推关系是数列的核心特征。 3.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，前n项和公式。 4.掌握等差中项的概念及常用性质，能利用等差数列的基本量进行“知三求二”的运算。 5.理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式，前n项和公式。 6.掌握等比中项的概念及常用性质，能利用等比数列的基本量进行“知三求二”的运算。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． （3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． （4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列与函数的关系 数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 4、数列前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 考点02 等差数列 1、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)． （2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2、等差数列的有关公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 3、等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 4、等差数列前项和的常用性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 考点03 等比数列 1、等比数列的有关概念 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． （2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中． 注意：同号的两个数才有等比中项． 2、等比数列的有关公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：． （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，． 3、等比数列的常用性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： 4、等比数列前项和的常用性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为． （2）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和． （3）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）． 四、易错提醒 一、一般数列 1.观察序号与项的对应关系：列出序号 与项 的对应表（），从代数运算关系（加、减、乘、除、乘方、阶乘等）入手，寻找 与 之间的函数关系。常见规律包括等差、等比、摆动、递增递减、周期变化等。 2.观察法的一般步骤 列出前几项 ；观察各项与序号 的关系，寻找共同的表达式；用 表示 ，写出通项公式；代入前几项验证。 3.常见数列类型的通项公式：等差数列：；等比数列：；分式数列：分子、分母分别为等差或等比；摆动数列：含 或 因子。 4.综合观察：有些数列的通项需要结合多种规律，如“奇偶项分别成等差（或等比）”，此时通项公式需用分段形式或含 的统一形式表示。 二、等差数列 1.等差中项的定义：若 成等差数列，则 称为 与 的等差中项，满足 （或 ）。 2.三数成等差：若三个数成等差数列，常设为 ，，，其中 为等差中项， 为公差。这种设法的优势在于三数之和为 ，简化计算。 3.四数成等差：若四个数成等差数列，可设为 ，，，（公差为 ），或设为 ，，，，视题目条件选择。 4.等差中项的判定：若 （）恒成立，则数列 为等差数列。这是证明等差数列的常用方法之一。 三、等比数列 1.基本量法：等比数列的核心是首项 和公比 （）。已知任意两个独立条件（如两项的值、某几项的关系等），利用通项公式 建立方程组，解出 和 ，即可求出任意项或通项公式。注意 可能有两解（正负），需根据题意取舍。 2.通项公式的变形：若已知第 项 和公比 ，则 ，这一形式可避免每次从头计算 ，特别适用于已知某项和公比求其他项。 3.利用下标关系：若 ，则 （下标和性质）。特别地，若 ，则 。 4.验证：求出 和 后，代回原条件验证。特别注意 的特殊情况（常数列）和 的摆动数列情况。 学科网（北京）股份有限公司 $