三角函数的图像和性质《数学一轮复习手册》

三角函数的图像和性质 一、复习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的图象形状与关键特征（零点、最值点、对称轴、对称中心）。 2.理解三角函数图象的平移变换（左加右减）、伸缩变换（横纵坐标变化），能根据变换前后关系求解析式或参数。 3.掌握正弦型函数 的图象与性质，能由图象确定 或由解析式描述其性质。 4.能利用三角函数的周期性、单调性、对称性解决参数范围、方程解及最值等综合问题。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 四、易错提醒 一、单调性的注意事项 在求形如的函数的单调区间时， 若①时,一般用诱导公式转化为后求解; ②若,则单调性相反. 二、三角函数周期的处理 （1）对形如或的周期为，对形如的周期为； （2）对形如或的周期为，对形如的周期为 三、求解析式的常用方法 （1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 四、三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 学科网（北京）股份有限公司 $