三角函数的定义及公式应用 - 职教高考《数学一轮复习手册》

三角函数的定义及公式应用 一、复习目标 1.理解任意角的概念，掌握终边相同角、终边关于原点对称的角的表示方法，能进行角度与弧度的互化。 2.理解任意角三角函数的定义（单位圆定义法），掌握三角函数在各象限的符号规律。 3.掌握诱导公式，能熟练运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明。 4.能将任意角的概念与诱导公式结合，解决终边特殊位置关系下的三角函数求值及最值问题。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 考点02 任意角的三角函数 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （2）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 3、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 考点03 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 四、易错提醒 一、定义法求三角函数值 三步解题法： 1. 取点求距离：若角 终边上一点 （非原点），则 。 套定义： 2. 确定符号：根据点所在象限判断三角函数值的正负（一全正，二正弦正，三正切正，四余弦正）。 口诀：终边取点算距离，正弦余弦比 ，正切纵比横，符号看象限。 二、同角三角函数的基本关系 三步解题法： 1. 识别已知与所求：明确已知是正弦、余弦还是正切，所求是哪一个。 1. 选用关系式：（求正弦或余弦） （求正切，或已知正切求正弦、余弦） 1. 确定符号：利用角所在象限或给定范围，判断开方后的正负（尤其是平方关系开方时）。 技巧：已知 ，可将 代入 ，解得 ，再根据象限取符号。 三、诱导公式的应用 三步解题法： 1. 观察角的形式：将任意角化为 或 的形式。 1. 口诀“奇变偶不变，符号看象限”： 为偶数，函数名不变； 为奇数，正弦变余弦，正切变余切（一般只记正弦、余弦、正切）。将 视为锐角，判断原角所在象限，确定化简后的符号。 1. 化简求值：将原式化为 、 或 后，代入已知条件或特殊角求值。 注意：诱导公式可循环使用，最终将任意角化到 的锐角；若遇到负角，先用 等处理。 四、三角恒等变换 1.给值求值：已知某些角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，关键是构造已知角与所求角之间的关系，如 、 等。 2.给值求角：先求该角的某一三角函数值，再结合角的范围确定角的大小。通常选择在所求角范围内单调的三角函数（如 上用余弦， 上用正弦）。 3.公式的逆用与变形：不仅要会用公式从左到右展开，还要能反向合并。如 。 学科网（北京）股份有限公司 $