平面向量 - 职教高考《数学一轮复习手册》

平面向量 一、复习目标 1. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素；掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义； 2. 掌握平面向量基本定理；会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 3. 理解平面向量夹角的概念,理解平面向量数量积的概念,会计算向量的数量积；掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式,会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明； 5. 掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 四、易错提醒 一、判断向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线． 二、求解向量共线问题的易错点 (1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线． (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数,使a＋b＝0成立；若a＋b＝0,当且仅当＝0时成立,则向量a,b不共线． 三、 求平面向量数量积的三种方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉． (2)当已知向量的坐标时,或平面图形易建系求出各点坐标时可利用坐标法求解. (3)利用数量积的几何意义求解． 学科网（北京）股份有限公司 $