幂函数、指数函数与对数函数 - 职教高考《数学一轮复习手册》

幂函数、指数函数与对数函数 一、复习目标 1.理解指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能进行指数式的化简与求值。 2.理解指数函数的概念，掌握指数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 3.能利用指数函数的单调性比较指数式的大小，能解决简单的与指数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 4.掌握幂函数的图象与性质，能根据指数判断函数的单调性、奇偶性及图象过定点。 5.掌握二次函数的三种表示法（一般式、顶点式、零点式），会求解析式。 6.熟练掌握二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调区间），会求闭区间上的最值。 7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能进行对数式的化简、求值与换底。 8.理解对数函数的概念，掌握对数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 9.能利用对数函数的单调性比较对数式的大小，能解决简单的与对数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 指数与对数运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 考点02 幂函数与二次函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 考点03 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 考点04 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 四、易错提醒 一、根式与分数指数幂： 1.根式与分数指数幂的互化：牢记公式 （，，且 ），这是化简运算的基础。 2.运算优先级：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。有括号先算括号内的。 3.化简原则：尽量将根式化为分数指数幂，将负指数化为正指数（利用 ）；结果中通常不含负指数和根式（可根据题目要求保留）。 4.乘法公式的逆用：灵活运用 ，，， 进行合并与化简。 5.整体代换：对于形如 、 的式子，常利用平方关系 进行整体变形。 二、指数函数及其性质： 1.同底数、异指数：利用指数函数 的单调性直接判断。当底数 时，指数越大，函数值越大；当 时，指数越大，函数值越小。 2.同指数、异底数：利用幂函数 的单调性，或借助指数函数图象在第一象限的高低位置进行比较。 3.底数、指数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同指：通过恒等变形（如将底数化为相同或将指数化为相同），转化为上述两种情况再比较。 4.特殊值法：对于选择题，可取满足条件的特殊指数值代入验证，快速排除错误选项 三、对数函数及其性质： 1.图象特征：对数函数 （，）的图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线。 当 时，图象从左到右上升（单调递增），底数越大，图象在 时越靠近 轴； 当 时，图象从左到右下降（单调递减），底数越小，图象在 时越靠近 轴。 2.同真数、异底数：利用换底公式 转化为同底数，或借助图象在第一象限的高低位置进行比较（也可利用倒数关系判断）。 3.底数、真数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同真：通过换底公式或恒等变形，转化为上述两种情况再比较。 4.利用对数运算性质：将真数进行分解或合并（如将真数写成乘积或商的形式），再借助已知的对数值进行比较。 学科网（北京）股份有限公司 $