立体几何 - 职教高考《数学一轮复习手册》

立体几何 一、复习目标 1.掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；掌握柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式，能熟练进行计算。 2.理解空间中点线面的位置关系（点在线上、点在面内、线线平行、线面平行、面面平行等）。 3.掌握线面平行的判定定理、性质定理，面面平行的判定定理与性质定理，能进行面面平行与线面平行的相互转化。 4.掌握线线垂直的判定方法（利用勾股定理、等腰三角形三线合一、线面垂直定义等）。 5.掌握线面垂直的判定定理与性质定理，能在几何体中证明或识别线面垂直关系；掌握面面垂直的判定定理与性质定理，能进行面面垂直与线面垂直的相互转化。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 考点02 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 考点03 点、直线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 考点04 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 考点05 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 四、易错提醒 1. 坚持“先还原结构、再定尺寸、精准套公式”的解题逻辑．严格区分侧面积与表面积，杜绝漏算底面；牢记棱锥、台体体积固定系数，不混用柱体公式；求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 2. 空间点、线、面位置关系的组合判断是考查对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致． 3. 证明题严守条件齐全、逻辑闭环、步步有据原则．平行体系优先依托中位线、平行四边形、面面性质搭桥；垂直体系以线线垂直为根基，层层升级推导线面、面面垂直；严格补齐定理所有限定条件，不遗漏“相交、面外、交线”等关键前提，规范书写步骤，杜绝跳步失分，实现大题稳满分． 学科网（北京）股份有限公司 $