解三角形 - 职教高考《数学一轮复习手册》

解三角形 一、复习目标 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 二、思维导图 三、知识梳理 知识点1 正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 知识点2 余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 知识点3 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 知识点4 常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 知识点5 解三角形实际应用 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 四、易错提醒 一、正弦定理 1.正弦定理：在 中，（ 为外接圆半径）。常见变形： ，，； ，，； 。 2.边角互化的方向选择： 边化角：当式子中边的次数较高或出现边的齐次式（如 ）时，常将边化为角的正弦，利用三角恒等变换化简； 角化边：当式子中出现角的余弦、正切或角的齐次式时，常将角的正弦化为边，利用代数运算求解。 判断技巧：若等式两边边的次数相同（齐次），则既可边化角也可角化边，选择更易化简的方向。 3.已知两边及其中一边的对角（SSA） ：利用正弦定理求另一边的对角时，需注意多解情况—— 的值对应 可能有两解（ 和 ），需结合“大边对大角”或三角形内角和 进行取舍。 4.求外接圆半径：若已知三角形一边及其对角，可直接利用 求出外接圆半径。 二、余弦定理 1.余弦定理：在 中 ； ； 。 变形形式：，，。 2.适用场景： 已知三边（SSS） ：直接用余弦定理求任一角； 已知两边及夹角（SAS） ：用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他角； 已知两边及其中一边对角（SSA） ：可用余弦定理建立关于第三边的方程求解，能有效避免正弦定理的多解问题。 3.判断三角形形状： 若 ，则 （直角三角形）； 若 ，则 （锐角三角形）； 若 ，则 （钝角三角形）。 结合最大边对应的角，可判断三角形的形状。 4.余弦定理与方程思想：当已知条件不足以直接求解时，利用余弦定理建立方程，结合其他条件（如周长、面积）联立方程组求解。 学科网（北京）股份有限公司 $