计数原理、概率与统计初步 - 职教高考《数学一轮复习手册》

计数原理、概率与统计初步 一、复习目标 1.排列与组合 (1) 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题； (2) 了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； (3) 了解组合数的性质． 2.概率与统计初步 (1) 了解随机现象和概率的统计定义； (2) 理解必然事件和不可能事件的意义；了解基本事件和离散样本空间的概念；理解随机事件的概率的性质； (3) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式，并能运用它求出简单随机事件的概率； (4) 了解互不相容事件概率的加法定理和相互独立事件概率的乘法定理，并能利用这些定理解决一些简单的问题； (5) 了解n次独立重复试验模型，了解n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，并能进行简单实际应用 (6)理解不同抽样方法的原理与适用场景，能设计简单的抽样方案 (7)能对数据进行初步整理，并用恰当的统计图表展示数据，会使用计算器或计算机软件处理数据 (8)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 (9)能判断变量间的相关关系，会求一元线性回归方程，并能进行初步预测 二、思维导图 三、知识梳理 （一）计数原理与排列组合 知识点1 两个计数原理 1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法.  2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 知识点2 排列与排列数 1.排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2.排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． 3.排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． 4.全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__． 知识点3 组合与组合数 1.组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2.组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． 3.组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__． 4.组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__． 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 1.以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． 2.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． 3.先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． （二）二项式定理 知识点1 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__． 知识点2 二项展开式形式上的特点 1.项数为__n＋1__． 2.各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__． 3.字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n． 知识点3 二项式系数的性质 1.0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C． 2.二项式系数先增后减，中间项最大． 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大． 3.各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__． 重要结论 1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项． 2．二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关． 3．二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （三）概率 知识点1 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义 符号表示 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) __A∪B__ __(或A＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) __A∩B__ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B为__不可能__事件，则称事件A与事件B互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，则称事件A与事件B互为对立事件 __A∩B＝∅，__ __且A∪B＝Ω__ 重要结论 概率的几个基本性质 1．概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． 2．必然事件的概率：P(A)＝__1__． 3．不可能事件的概率：P(A)＝__0__． 4．概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． 5．对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__． 知识点2 古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 1．有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. 2．等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 知识点3 古典概型的概率公式 P(A)＝. 知识点4 事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__，则称事件A与事件B相互独立． 若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立． （四）离散型随机变量 知识点1 离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． 2．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 知识点2 常见离散型随机变量的分布列 1．两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 知识点3 独立重复试验与二项分布 1．独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)__. 2．二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝_np__，D(X)＝_np(1－p)__. （五）统计 知识点1 随机抽样 1．简单随机抽样的概念 2．系统抽样 3．分层抽样 知识点2 统计图表 画频率分布直方图的步骤 1．求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差. 2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 3．将数据分组. 4．列频率分布表：一般分四列，即分组、__频数累计__、频数、__频率__.其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__. 5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝__频率__.各小长方形的面积和等于1． 知识点3 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 知识点4 一元线性回归 对于具有线性相关关系的两个变量x和y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下：＝x＋ 其中 ＝－ 这个方程称为y对x的回归直线方程 回归直线方程的性质 ①经验回归方程一定过点 (，)　； ②一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是　>0　； ③的实际意义：当x增大一个单位时， 增大　个单位． 四、易错提醒 一、排列组合 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 “排列”还是“组合”混淆 从10人中选3人当代表，和选3人分别任班长、学委、团支书，结果一样 混淆“选代表”（无序组合）与“分配职务”（有序排列） 问自己：交换元素顺序，是另一种情况吗？ “分类”还是“分步”混淆 从4男3女中选2男1女组成小组，误用 “选男”和“选女”是同时完成的步骤，非分类 问自己：少选一个人，小组完成了吗？ 重复计数 4个球放入3个盒子，每盒不空，误用（先选3球各放一盒，再放剩下1球） 剩下1球放入任一盒，与先放入的球产生重复 复杂分配问题，先分组再分配 焦点位置不清 数字1,1,2,3,4组成五位数，能组多少个？误为 两个1是相同的，交换位置不算新情况 有重复元素时，要除以重复元素的全排列： 二、二项式定理 易错类型 错因分析 纠错方案 项数与k值的关系混淆 误认为项数r就等于公式中的k 牢记“k等项数减1” (k = r - 1) 二项式系数与项的系数混淆 混淆了“二项式系数”和“项的系数”（包含字母前的常数因子） 避坑指南：审题时圈出“系数”二字。若求“二项式系数”，只关注组合数；若求“项的系数”，则需计算所有常数和字母的乘积。 赋值法应用错误 未理解“各项系数之和”的含义。系数是“项”的常数因子，与变量取何值无关。求所有系数和，就是令所有变量取1 求各项系数和，就令所有字母取值为1 忽略常数项的特殊性 思维僵化，认为常数项一定是“第k项”。常数项指的是不含字母的项，即指数为0的项 当k求出来不是整数时，意味着没有满足条件的项，此时的答案通常是0 三、离散型随机变量的分布列 易错类型 错因分析 纠错方案 取值遗漏或重复 审题不清，列举不全面。 所有可能结果必须一一列出 概率计算错误 未理解“各项系数之和”的含义。系数是“项”的常数因子，与变量取何值无关。求所有系数和，就是令所有变量取1 求各项系数和，就令所有字母取值为1 未验证分布列性质 过程不严谨，无法检验概率计算是否正确。 将“验证概率和”作为必要步骤 忽略公式应用条件 对模型识别不清。 先判断模型，再决定是否用公式 四、统计 易错类型 错因分析 纠错方案 总体与样本混淆 概念不清 记住：被抽取的才是样本，被调查的全体是总体 中位数计算错误 未排序或未取平均。 先排序！数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。 直方图频率算错 概念混淆 牢记：小长方形的面积 = 高 × 组距 = 频率 忽略方差单位 对公式理解不深 提醒：方差是标准差的平方，单位也是平方关系 学科网（北京）股份有限公司 $