函数的概念及性质 - 职教高考《数学一轮复习手册》

函数的概念及性质 一、复习目标 1.理解函数的三要素，能判断两个函数是否为同一函数，会求简单函数的定义域。 2.掌握值域的常见求法（观察法、配方法、换元法、单调性法等）。 3.熟练运用函数的三种表示法，能根据条件求解析式。 4.掌握分段函数的概念，会求分段函数的函数值、定义域、值域，能解分段方程与不等式。 5.能将实际问题抽象为函数模型，提升数学建模与逻辑推理素养。 6.理解函数单调性的定义，掌握用定义法判断或证明单调性，会求函数的单调区间。 7.理解函数奇偶性的定义，掌握判断奇偶性的方法，能利用奇偶性解决求值、求解析式。 8.理解函数周期性的定义，掌握常见函数的周期，能利用周期性进行求值与图象变换。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 函数的相关概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 考点02 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 考点03 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 考点04 函数的周期性与对称性 1、函数的周期 （1）周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）函数关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）函数关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 四、易错提醒 1. 求具体函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的所有自变量 的取值集合。常见的限制条件：分母不能为 ；偶次根号下的被开方数必须大于等于 ；零次幂的底数不能为 ；对数的真数大于 ，底数大于 且不等于 ；正切函数 中，。最终结果应写成集合或区间的形式。 2. 判断两个函数是否相等，需同时满足两个条件：定义域相同；对应关系（解析式）相同。 若定义域不同，则一定不是同一函数，无需再比较对应关系，若对应关系看似不同，可通过化简、变形（如约分、有理化等）来判断是否等价，但化简时需注意定义域是否发生变化。 3. 判断函数单调性的方法：①定义法：在定义域内任取 ，计算 并判断符号。若 ，则为增函数；若 ，则为减函数。关键是对差式进行因式分解、通分、有理化等变形。②图象法：画出函数图象，从左到右看图象的升降趋势，直观判断单调区间。③复合函数法：对于 ，遵循“同增异减”原则——内外层函数单调性相同则复合函数单调递增，相异则单调递减。 常见函数单调性结论：一次函数 （ 增， 减）；二次函数 （ 在对称轴左侧减、右侧增）；反比例函数 （ 在 和 上分别递减）；指数函数 （ 增， 减）；对数函数 （ 增， 减）。 4. 判断函数奇偶性的方法：①定义法：利用 （偶函数）或 （奇函数）在定义域上恒成立，代入解析式后比较系数，建立方程求参数。②特殊值法：取定义域内的特殊值（如 、 等）代入，利用 或 建立方程求参数。求出后需代回验证是否对所有 都成立。 5. 奇函数在 处有定义：若奇函数 在 处有定义，则必有 。这一结论是求奇函数参数的快捷条件，求出参数后，务必代回原函数验证 与 的关系是否恒成立，防止增根。 6. 分段函数奇偶性：分段函数判断奇偶性时，需分别验证各段是否满足对称关系，一般先求定义域判断是否关于原点对称，再分段代入 进行验证。 学科网（北京）股份有限公司 $