复数 - 职教高考《数学一轮复习手册》

复数 一、复习目标 1. 了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法及分类,理解复数相等的充要条件； 2. 理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念..掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 3. 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题； 4. 掌握复数代数形式的乘、除运算,并理解复数乘法的运算律.会在复数范围内解方程.了解in的周期性. 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2=-1，a为实部，b为虚部． 2、复数的分类： 3、复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 4、共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． （2）相关运算：①为实数，且为纯虚数； ②，；③，，． 考点02 复数的运算 1、复数的四则运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： ①z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ 2、复数运算的几个重要结论 ①(1±i)2＝±2i. ②＝i；＝－i. 考点03 复数的几何意义 1、几何意义 （1）复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． （2）实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． （3）复数的几何表示：复数复平面内的点平面向量． 2、复数的模 （1）定义：设复数在复平面内对应的向量为，则向量的模叫作复数的模，记作或． （2）计算公式：． 考点04 实系数一元二次方程 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程中的为根的判别式， ①方程有两个不相等的实根； ② 方程有两个相等的实根； ③方程有两个共轭虚根． 在③的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ② 把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形； ③对一元二次方程（实系数），直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 四、易错提醒 一、复数的分类及应用 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 二、复数的几何意义应用 （1）复数的几何意义：复数复平面内的点平面向量． （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 三、复数相等及其应用 针对含参复数方程、复数等式求参、复数比较类题型，核心解题依据为复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等． 解题步骤：先将等式两边复数统一化为代数形式，再分离实部与虚部，分别列实数方程，联立求解参数． 四、复数四则运算问题的解题策略 （1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算． （2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并． （3）除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 五、复数范围内方程的根 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）复数相等：设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． （3）配方法：利用． 学科网（北京）股份有限公司 $