不等式 - 职教高考《数学一轮复习手册》

不等式 一、复习目标 1.了解等式与不等式的性质. 2.会结合已知条件判断所给不等式是否正确. 3.会进行不等式的大小关系比较. 4.掌握一元一次、一元二次不等式的基础解法，会通过等价变形解分式不等式、绝对值不等式，明晰各类不等式变形规则。 5.能结合函数（一次函数、二次函数、分式函数等 ）的图象与性质，分析不等式的解集，深化 “数形结合” 思想在解不等式中的应用。 二、思维导图 三、知识梳理 考点01 等式性质与不等式性质 1.方程的解集 方程：含有未知数的等式. 方程的解：使得方程左右两边相等的未知数的值. 方程的解集：以方程的所有解为元素组成的集合. 2.韦达定理 若一元二次方程（其中，且）的两个根为和，则： 3.两个实数的大小关系（作差法的依据） 对于实数，则有： 4.等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 5.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 考点02 不等式的求解 1.解不等式（组） 不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值. 不等式的解集：一个不等式的解的全体所组成的集合. 不等式的求解（解不等式）：求不等式解集的过程. 不等式组：将含有相同未知数的多个不等式联立起来. 解不等式组：求不等式组中所有不等式的解集的交集. 2.一元一次不等式的求解（以关于的不等式为例，其中） （1）当时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当且时，解集为； （4）当且时，解集为. 3.一元二次不等式的解 （1）定义 设为实数，且，形如：的不等式统称为一元二次不等式. （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系（以为例） 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程 的根 两个相异实根（） 两个相等实根 没有实数根 的解集 的解集 的解集 的解集 4.分式不等式的解法（其中为关于的一元多项式） 5.含绝对值不等式的解法 的解集是，如图1； 的解集是，如图2； ； 或； 6.一元二次不等式恒成立的条件 （1）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： （2）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： 7.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若在集合中恒成立，即是不等式的解集的子集，可先求解集，再由子集含义求解参数范围； (2)转化为函数值域问题，常通过“参变分离”后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到. 考点03 基本不等式（补充内容） 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 四、易错提醒 1. 不等式的性质选择小题基础考点，是函数、比大小、充分必要条件题型的解题基础，仅单独考查小题，不涉及大题，侧重性质辨析与简单范围求解．简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形．高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 2.一元二次不等式先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集．统一构造二次函数；两根同区间必联立、对称轴区间约束、端点函数值符号；单根跨区间只需端点函数值异号；解集借助数轴规避边界遗漏． 3.解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 学科网（北京）股份有限公司 $