专题6 数列（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题6 数列 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 数列的概念 通项、求和 数列的通项、数列求和、方程的整数解 2026-32 解答题 15 数列的通项、数列求和、不等式的整数解 2025-32 解答题 15 等差数列 近5年未单独考查 等比数列 等比数列的通项（细胞分裂） 2023-29 填空题 5 等差数列与等比数列的综合应用 等比数列的通项与求和、等差数列公差证明、等比中项存在性分析 2024-32 解答题 15 等比数列通项、等差数列前n项和单调性 2023-32 解答题 15 等比数列求和、等差中项、不等式求最小正整数 2022-32 解答题 15 命题轨迹透视： 从近年技能高考数列真题考点分布来看，数列属于高频重点模块，题型稳定，以解答题为核心，搭配少量填空题，分值权重高.2022—2026年，第32题持续考查数列解答大题，每题15分；仅2023年设置一道5分填空题，依托细胞分裂实际情境考查等比数列通项。 命题核心围绕等差数列、等比数列两大主干知识，重点考查通项公式、前n项求和公式，兼顾等差、等比中项性质。命题呈现综合化特点，常融合方程整数解、不等式求最小正整数、单调性分析、证明类问题，注重数学运算与逻辑推理。 试题重视知识交汇，将数列与方程、不等式结合，强调对公式灵活运用，同时融入简单实际应用背景。整体难度稳定，侧重基础公式掌握与代数运算能力，整数解、不等式参数分析是近年新的热点方向，复习要夯实等差、等比基本公式，强化数列与不等式、方程综合题型训练。 备考重点聚焦第32题15分解答大题，专项训练数列通项、求和，以及数列与方程整数解、不等式交汇的综合题型，规范答题步骤，争取步骤得分。兼顾填空题，练习细胞分裂等实际情境建模题，学会从文字信息提取数列基本量。 【考点1：数列的概念】 1.（2026·湖北·真题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为. (1) 根据规律，写出 的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点】数列通项、等比数列求和 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 根据图形规律： , ； (2) 根据图形规律：； 所以，数列 的通项公式为； (3) 存在一个正整数，使得 . 令 ，则： 当时，. 所以，存在满足条件的正整数. 2.（2025·湖北·真题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒层. （1）求第n层垒乒乓球的个数及这n层共垒乒乓球的个数； （2）求当时，n的最小值； （3）若 ，当为整数时，求n的取值. （参考公式：① ； ② .） 【考点】数列通项、数列求和、不等式的整数解 【答案】(1) ，；(2) 的最小值为 ；(3) n的取值为 . 【解析】(1) 求 第 层个数： 前 层总和： ； (2)求 时 的最小值 先化简 ： ，由可得 当时，, 当时，, 则的最小值为； (3)求满足条件的 的取值 先计算 ： ，同理 由题意，则 （*）， 当为整数时，为整数，为3的倍数. 将（*）式两边同乘 得， 验证： 当时，； 当时，，但不为3的倍数； 当时，，为3的倍数，满足条件； 当时，; 当时，; 可以看出，当 时，左边增长速度慢于右边，恒成立， 即 时等式不成立，故只有 满足条件. 1. 数列定义 按一定次序排成的一列数叫数列；数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数. 项：是首项，是通项，是第项；项有顺序，顺序不同数列不同. 2. 数列通项公式 ，给出可求对应项； 不是所有数列都有通项公式；一个数列通项形式可不唯一. 递推公式：给出首项与相邻项关系（如）. 3. 数列求和 前项和：，核心关系式： 1. 由求，必须检验，若不满足，要分段写通项. 2. 数列表示数列，表示第项，二者不可混淆. 3. 项数是正整数，，不能取 0 或小数. 4. 区分：数列是一列数，集合是一组无序数；数列元素可重复，集合元素互异. 5. 通项仅对定义域内成立；代入求值时看清项数，不要下标代错. 【预测一：根据数列的规律写出数列的通项公式】 1. 已知数列的前 4 项为：，则数列的通项公式能为（ ） A. B. C. D. 2. 数列中，按此规律，是数列的第_______项. 【预测二：根据数列的通项公式解决问题】 3. 已知数列的通项公式为，则 17 是这个数列的（ ） A．第 3 项 　B．第 4 项　 C．第 5 项　 D．第 6 项 4. 已知数列的通项公式为，则中最小项的值为________. 【预测三：根据数列的前n项和公式解决问题】 5. 已知数列的前项和，则的值为（ ） A．12　 　B．14　 　C．16　 　D．18 6. 已知数列的前项和是，且，求数列的通项公式. 【预测四：根据数列的递推关系解决问题】 7. 已知数列满足：，则_________. 8. 已知数列满足：.则数列的通项公式可以是_________.（写出一个符合要求的答案即可） 【预测五：分析数列的规律解决数列实例】 9. 如图是谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列的前 4 项，则的通项公式可以是（ ） A．　 B．　 C．　 D． 10. 第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了 “双奥之城” 北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，…，反复进行这一过程，就得到一个 “雪花” 状的图案．现将图①、图②、图③、… 中的图形依次记为、、、、.已知原正三角形（图二①）的边长为 1，小明为了研究图形的面积，将图二中的第个图的面积记为，并作了如下探究： 边数 从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数 从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积 根据小明的假设与思路，解答下列问题： （1）填写表格最后一列； （2）求，并写出与的关系式； （3）根据（2）得到的递推公式求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 【答案】、分析、详解】 1.【答案】D 【分析】观察数列：正负交替，首项为 1，后一项是前一项乘以，是等比数列，首项，公比.代入通项公式逐一验证选项. 【详解】方法 1：判断数列是以1为首项，公比是的等比数列， 等比数列通项：； 方法2：验证前几项是否符合： A：，，错误；B：，，错误；C：，，错误. 故选 D. 2.【答案】14 【分析】全部写成根号形式，观察根号内数字规律：， 根号内： 公差为 4 的等差数列. 【详解】将数列各项统一化为根号形式：，根号内数字构成首项为，公差为的等差数列. 根号内数列通项：，对化简：，令，解得：，答案： 3.【答案】B 【分析】令通项等于 17，解方程求正整数. 【详解】，则，. 因此是数列的第4项，故选B. 4.【答案】 【分析】二次函数开口向上，对称轴，取正整数，比较. 【详解】数列通项对应二次函数，二次项系数，函数图像开口向上，对称轴为. 由于，因此取对称轴邻近的正整数和计算： ， 比较可得，因此数列最小项的值为. 答案： 5.【答案】C 【分析】利用，. 【详解】，，则， 故，选C. 6.【答案】 【分析】本题考查由前项和求数列通项，核心利用关系式. 步骤：①先令求出首项； ②当时，写出，两式相减得到与的递推关系，判断数列为等比数列； ③根据等比数列通项公式写出. 【详解】已知 ① 当时：，移项：，得 ② 当时： ，即 所以数列是首项，公比的等比数列. 由等比数列通项公式：， 验证时，，满足上式. 综上，数列通项公式： 7.【答案】 【分析】递推式逐项计算，逐项累加： 【详解】方法一：由递推公式逐项计算：，， ，. 方法二：由递推公式逐项累加计算：，，， . 答案： 8.【答案】示例：（答案不唯一） 【分析】要求，且数列单调递减，构造一个递减数列即可. 【详解】取： ，；，；，满足递减. 其他答案： 也满足. 9.【答案】A 【分析】写出前4项：，是首项为1，公比为3的等比数列. 【详解】，等比数列：.选 A. 10.【答案】（1）表格最后一列： 边数：；多出三角形个数：；多出的每个三角形面积：； （2），； （3）；不存在超过图①面积2倍的图形. 【分析】本题是科赫雪花曲线的数列问题，核心为等比数列的归纳与累加法求通项. （1）观察表格数据，边数、新增三角形个数、新增单个三角形面积均为等比数列，归纳写出第项表达式； （2）正三角形面积公式；是原三角形加上 3 个小正三角形； （3）递推累加，每次新增小三角形面积构成等比数列；求极限判断面积能否超过. 【详解】（1）补全表格： ① 边数：，首项，公比的等比数列，第项：； ② 从开始，新增三角形个数：，首项，公比的等比数列，第项（）： ； ③ 新增每个小三角形面积：，首项，公比的等比数列，第项（）：； （2）原正三角形边长，； 图②，每条边向外增加一个边长为 1 的小正三角形，一共增加 3 个： ； 图形比新增总面积 = 新增三角形个数 × 单个新增三角形面积，代入上述归纳的表达式进行化简推导： （3）累加可得数列的通项公式： ； 判断是否存在图形面积超过图①面积2倍： 图①面积的2倍：， 若存在图形面积超过图①面积2倍的图形，列不等式： 移项，得，两边同时除以，整理不等式： 由于指数函数恒成立，因此无实数解， 所以不存在面积超过图①2倍的图形. 【考点2：等差数列】 1.（2020·湖北·真题）在等差数列中，，求的通项公式及前项和. 【考点】等差数列的通项公式及前项和 【答案】通项：；前项和： 【解析】设等差数列首项为，公差为，通项公式为. 根据等差数列通项公式展开已知条件： ，化简得：， ， 联立二元一次方程组：，两式相减得：，解得. 将代入，得. 将首项和公差代入通项公式：. 等差数列前项和公式： 代入得： . 2. （2019·湖北·真题）是等差数列的前项和，已知，且，求该数列的通项公式. 【考点】等差数列前和性质、数列基本量求解 【答案】 【解析】根据数列前项和核心性质：， 由得，即. 设数列首项为，公差为，则，等差数列前3项和. 代入条件得：，化简得. 联立方程组：，两式相减得，解得，代入得. 代入等差数列通项公式：. 1.等差数列的定义： 从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个常数叫公差. （为常数）. 2.等差数列的公式： 通项公式：；推广通项：. 前项和公式：，. 3.等差数列的核心性质： （1）若，则； （2）成等差数列，则仍成等差数列； （3）等差中项：成等差数列 ； 1. 是正整数，项数不要算错；通项是，不是. 2. 公差可以是正数、负数、0；为常数列. 3. 是前项和，不是第项；区分与. 4. 使用性质，必须下标和相等，不能写成. 【预测一：基本量计算（已知中 3 个量，求剩余量）】 1. 已知数列为等差数列，若，则其公差为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【预测二：利用等差数列性质求值】 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列为等差数列，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【预测三：等差中项问题】 7. 若是与的等差中项，则（ ） A. B.或 C.或 D.或 【预测四：等差数列的判断】 8. 下列数列不是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【预测五：等差数列实际应用题】 9. 在实数和（）之间插入 4 个不同的数，这 6 个数恰好构成公差为 的等差数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为 “三角垛”.“三角垛” 的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球. A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式，代入已知条件联立方程组，即可求解公差. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由等差数列通项公式可得： ，解得，本题选D. 2.【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式展开已知条件，联立求出首项和公差，再代入通项公式计算. 【详解】由等差数列通项公式得：，解得 由通项公式得：，本题选C. 3.【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式，联立求出首项和公差，再计算. 【详解】由等差数列前项和公式可得：，解得. 由通项公式得：，本题选B. 4.【答案】A 【分析】利用等差数列性质：相邻两项和的差值为固定公差倍数，先求出公差，再推导所求式子的值. 【详解】在等差数列中，任意相邻两项差值为定值. ，代入已知数据：，解得. 同理可得：，代入数值计算：，本题选A. 5.【答案】C 【分析】利用等差数列性质：若，则，结合前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，，故. 代入前11项和公式：，本题选C. 6.【答案】B 【分析】结合韦达定理求出两根之和，再利用等差数列中项性质求解中间项. 【详解】已知是方程的两根，由韦达定理得：. 在等差数列中，，故. 代入得：，解得，本题选B. 7.【答案】A 【分析】根据等差中项公式：若为的等差中项，则，列方程求解即可. 【详解】由等差中项定义可得：. 整理方程得：，即. 解得：，本题选A. 8.【答案】D 【分析】等差数列定义：数列中任意相邻两项的差值为固定常数，据此逐一验证. 【详解】A选项：常数列，相邻两项差值为，公差，是等差数列； B选项：数列公差，是等差数列；C选项：数列公差，是等差数列； D选项：数列前三项为，，，差值不相等，不满足等差数列定义. 综上，本题选D. 9.【答案】A 【分析】明确6个数构成的等差数列的首项、末项与项数，利用通项公式求解差值. 【详解】由题意可知，6个数构成等差数列，共6项. 首项，末项，公差. 由通项公式：，即. 整理得：，本题选A. 10.【答案】B 【分析】观察数列前几项规律，推导通项公式，代入项数求解. 【详解】由题意得数列前几项： 可得数列通项公式： 当时，，本题选B. 【考点3：等比数列】 1.（2023·湖北·真题）如图所示，某种生物的细胞分裂时，第 1 次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，……. 按照这样的规律，1 个细胞第 6 次分裂得到的细胞个数为______. 【考点】等比数列的应用（细胞分裂） 【答案】 【解析】由细胞分裂规律可得，第次分裂后细胞个数的通项公式为. 将代入通项，得. 1. 等比数列的定义： 从第 2 项起，每一项与它前一项的比为同一个常数，这个常数叫公比，数列各项. . 2. 等比数列的公式： 通项公式：，推广： 前项和公式：（1）：； （2）：（常数列）. 3. 等比数列的常用性质： （1）若，则； （2）连续片段和性质： 仍成等比数列（）； （3）奇数项同号，偶数项同号；各项符号一致；正负交替. 1. 等比数列不能有 0 项，公比；看到直接判定不是等比数列. 2. 求前项和，务必讨论和两种情况，漏讨论极易丢分. 3. 由推等比数列，要额外验证各项不为 0. 4. 性质，只适用于下标和相等，不是项相加. 5. 解方程求公比时，会出现正负两个解，看清题干条件取舍. 【预测一：基本量计算（已知中 3 个量，求剩余量）】 1. 已知各项均为正数的等比数列，若，，则公比（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等比数列的前项和为，且，则数列的公比（ ） A． B． C． D． 【预测二：利用等比数列性质求值】 3. 在正项等比数列中，，，则公比为（ ） A． B． C． D． 4. 已知正项等比数列，若，则（ ） A． B． C． D． 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【预测三：等比中项问题】 6. 已知实数成等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【预测四：等比数列的判断】 7. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ） A． B． C． D． 【预测五：等比数列实际应用题】 8. 如图，为半圆的直径，为圆心，且.若以为直径作半圆记为，取中点，以为直径作半圆记为，再取中点，以为直径作半圆记为，这样的过程连续4次，求阴影部分的面积. 【答案、分析、详解】 1.【答案】 【分析】由等比数列通项公式：，把全部用首项和公比表示，得到方程组，消去求解；注意条件：数列各项均为正数，因此，舍去负根. 【详解】根据等比数列通项公式，将题干条件转化为关于和的方程组： 利用平方差公式因式分解可得， 由于数列各项均为正数，故， 则，将两式相除消去： 约去公共因式并化简分数，可得： 等式交叉相乘去分母：，整理为标准一元二次方程形式： 对一元二次方程进行因式分解：，解得： 或 . 分情况检验： 若，代入，得，符合各项为正； 若，代入，得，与 “各项均为正数” 矛盾，舍去. 所以公比，选. 2.【答案】C 【分析】等比求和公式，代入比例式求解. 【详解】由等比数列前项和公式：，已知，代入得： 约去，化简得：，交叉相乘计算：，即. 因数列为正项等比数列，，故. 3.【答案】A 【分析】利用等比数列性质，结合正项数列求出，再用列方程求. 【详解】是正项等比数列，由等比数列性质可得：. 因数列为正项数列，各项均大于0，故. 又，且，代入得：，整理得：. 正项等比数列公比，故. 4.【答案】B 【分析】等比数列性质：，. 【详解】由等比数列性质：若，则. 故，数列为正项数列，因此. 同理. 代入计算得：. 5.【答案】A 【分析】等比数列片段和性质：成等比数列. 【详解】根据等比数列片段和性质：等比数列中，仍成等比数列. 因此成等比数列. 已知，则. 由等比中项公式得：，代入数值： 计算得：，解得. 故. 6.【答案】D 【分析】等比中项性质：若成等比，则. 【详解】由等比中项性质可知，若成等比数列，则： 解得：. 7.【答案】C 【分析】非零常数列，既是等差（公差 0），又是等比（公比 1）. 【详解】A选项：，相邻项差值不固定、比值固定，不是等差数列； B选项：，是等差数列，但相邻项比值不固定，不是等比数列； C选项：常数列，满足（等差，公差为0），（等比，公比为1），既是等差数列也是等比数列； D选项：，相邻项差值、比值均不固定，既不是等差数列也不是等比数列. 8.【答案】 【分析】阴影面积为大半圆面积减去所作小半圆面积；小半圆半径构成等比数列，小半圆面积构成等比数列，利用等比数列求和公式计算总面积，进而求出阴影面积. 【详解】已知大圆直径，半径，大半圆面积：. 依次所作小半圆的半径为：，小半圆半径构成等比数列. 小半圆面积公式为，代入得各小半圆面积： ，，，， 小半圆面积构成首项，公比的等比数列. 由等比数列求和公式得所有小半圆总面积：. 因此阴影部分面积：. 【考点4：等差数列与等比数列的综合应用】 1.（2024·湖北·真题）已知数列为等比数列，且，. （1）求的通项公式及其前项和； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列. （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，在数列中是否存在项成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列通项与求和、等差数列公差证明、等比中项存在性分析 【答案】(1) ，； (2)(ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 不存在满足条件的三项. 【解析】(1) 设等比数列公比为， ，通项：. 等比求和：. (2)(ⅰ) ， 与间插个数，共项等差数列，首项，末项，项数. 等差数列末项公式：，， ，，得证. (ⅱ) 假设成等比，则，且. 代入：，化简：， 由，，约去得：. 故. 联立，即是方程两根，，， 与 “3 项” 含义（互不相同三项）矛盾，故不存在. 2.（2023·湖北·真题）已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为. 从①②两个条件中选取一个作为已知条件，判断是否存在正整数，使得，且. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ①；②.（若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【考点】等比数列通项、等差数列前项和单调性 【答案】(1) ；（2）选①：存在，；选②：不存在. 【解析】(1) 设公比， ，两式相除：， ，通项. . (2) 条件①：；. 等差：，作差：，， . ；. ，解得， 存在正整数，使得，且. 条件②：，， ，，. ；， ，此不等式组无解. 故，不存在正整数，使得，且. 3.（2022·湖北·真题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列求和、等差中项、不等式求最小正整数 【答案】(1) ；(2) 存在，最小值为. 【解析】(1) 设公比，等差. ，，， ，约去，得 ，，所以. ， 代入：， 通项公式为. (2) 求和. 要求. 只有奇数时，不等式变为. ，故最小正整数. 1. 等差数列 通项：；变形 前项和： 性质：若，则；仍等差 2. 等比数列 通项：；变形 前项和：时，；时， 性质：若，则；仍等比（） 3. 综合题型核心思路 已知 2 个条件，列方程组求首项、公差（公比），再求通项 / 前项和 分清：项的关系用通项；求和用公式 实际应用题：先判断等差（增量固定）还是等比（倍率固定） 1. 等比单独讨论，直接套分式求和公式会出错；，数列各项不能为 0 2. 下标是正整数，；不要把当成实数计算 3. 等差性质是加，等比性质是乘，不要记混 4. 是前项和，只适用于，要单独验证 5. 解方程求时，常得到正负两个解，看清题意取舍 6. 应用题单位、年份 / 次数不要数错，分清是第项还是前项总和 1. 已知为等差数列，为等比数列，，，，则（ ） A．4 B．7 C．8 D．15 2. 在等比数列中，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 3. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若构成等比数列，，则（ ） A． B． C． D． 4. 已知等差数列的公差，前项和为. （1）若成等比数列，求； （2）在（1）的条件下，若，求. 5. 已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，求的前项和. 6. 如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图①是一个边长为 1 的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到第个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 … 1 3 27 … 1 … （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 【答案、分析、详解】 1.【答案】B 【分析】设等差数列公差为，等比数列公比为，根据已知条件列方程组，求出，再求. 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为. 由数列通项公式可得：. 根据题意列方程组：，化简得：，解得 因此等差数列第四项：. 2.【答案】C 【分析】等差数列性质，全部用代换，解；化简目标式子. 【详解】已知成等差数列，由等差数列性质得： 等式两边同时除以2，化简得：. 由等比数列通项公式，，代入上式： ，两边约去得：. 因式分解得：，解得或. 化简所求式子： 当时：；当时：. 3.【答案】C 【分析】等差数列求出；利用等比中项列方程求公差. 【详解】由等差数列前项和性质：. 已知，故，解得. 设等差数列公差为，则： 因成等比数列，由等比中项得：. 代入列式：，展开两边： 整理化简：，因，故. 因此：. 4.【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）写出，利用等比中项列方程；（2）取，代入等差数列求和公式. 【详解】(1) 已知，则. 因成等比数列，由等比中项得：，代入得： 整理方程：，因式分解：，解得：或. (2) 由，得. 代入等差数列前项和公式：. 5.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求公差，写通项；（2）求出得到公比，套等比求和公式. 【详解】(1) 已知，由等差数列通项公式得： ，解得公差. 故数列通项公式：. (2) 由(1)得，故，， 则等比数列公比. 代入等比数列前项和公式得：. 6.【答案】（1）表格：，；通项公式：，. （2）(i) 证明见详解；(ii) . 【分析】本题为谢尔宾斯基三角形背景下的数列综合题，考查等比数列通项、等比数列求和、不等式放缩证明. 第 (1) 问：观察图形，实心三角形个数每一轮变为原来 3 倍，边长每一轮变为原来，得到两个等比数列； 第 (2) 问：单个正三角形周长，总周长，求出也是等比数列； (i) 求出表达式，代入验证不等式；(ii) 使用等比数列前项和公式求和. 【详解】(1) 补全表格，求通项 观察图形：：，；：，；：，； ：，. 表格填入：，. 是首项，公比的等比数列：； 是首项，公比的等比数列：. (2) 求 由题意，第个图形中共有个实心小正三角形，每个小三角形的边长为，故总周长之和： (i) 证明：当时， 当时，代入得： 是首项，公比的递增等比数列，当时，.得证. (ii) 求前项和 是以为首项、为公比的等比数列.由等比数列前项和公式： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $