专题6 数列（B卷·能力提升）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题6 数列 （B卷·能力提升） 一、单选题 1. 根据数列，该数列的第 9 项是（ ） A.　 B.　　 C.　　 D. 以上均不对 2. 已知数列的前项和，则（ ） A.　　 B.　 C.　　 D. 3. 已知等差数列的前项和为，，且，则取得最小值时的值为（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 4. 设等差数列的前项和为，公差为，若为的等比中项，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 6. 已知递增的等比数列满足，则的公比（ ） A.　 　B.　　 C.　　 D. 7. 已知数列都是等差数列，且，则数列的前 20 项的和为（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 8. 设公差不为 0 的等差数列的前项和为，，若成等比数列，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 9. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A.　　 B.　 　C.　　 D. 10. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个. ①连续操作五次后，共有 64 个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到 15 个正方形，设，则这 15 个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A.　　 　B.　　　 C.　　　 D. 二、多选题 11. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是 12. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A． B． C． D． 13. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为 14. 已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项积，且，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 15. 已知等差数列的前项和为，公差，，则当______，取得最大值，且最大值为__________. 16. 若数列满足，，则数列的通项公式________，设为数列的前项和，那么当_____时的值最小. 17. 已知各项均为正数的等比数列，，则__________；前项积的最小值为__________. 18. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列按照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为； ，记第次得到的新数列为，且.①当时，_______，②________.（用数值作答） 四、解答题 19. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照图示规律排列图形. （1）若从第一组开始依次排列，排列组，每组无人机的架数构成数列，写出前四组无人机的架数；并求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，若有架无人机，则可以同时排出多少组？ 20. 如图，第 1 个图形需要 4 根火柴，第 2 个图形需要 7 根火柴，…，设第个图形需要根火柴. （1）试写出，并求； （2）记前个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前项和. 21. 如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.用上述方法操作第1次得到图1，操作第2次得到图2，操作第3次得到图3……，依此类推得到n个图形. 设第次操作后白色三角形个数为，第次操作后白色三角形个数为，第次操作后白色三角形个数为，……. （1）求出； （2）求第次操作后白色三角形个数； （3）求n个图形中白色三角形的总个数. 22. 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第个图的樱花数是. （1）试写出樱花数所成数列的递推公式，并求出数列的通项公式； （2）求的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题6 数列 （B卷·能力提升） 一、单选题 1. 根据数列，该数列的第 9 项是（ ） A.　 B.　　 C.　　 D. 以上均不对 【答案】B 【分析】通过观察数列前几项的分子、分母规律，推导数列通项公式，将代入通项公式求解对应项. 【详解】观察数列：可得：第项的分子为项数，分母为，因此数列通项公式为：，将代入通项公式：. 综上，答案选B. 2. 已知数列的前项和，则（ ） A.　　 B.　 C.　　 D. 【答案】A 【分析】利用数列前项和与通项的关系：，代入，通过求解. 【详解】已知，分别计算和时的前项和： ；. 由得：. 综上，答案选A. 3. 已知等差数列的前项和为，，且，则取得最小值时的值为（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式展开已知等式，推导首项与公差的关系，结合公差正负判断数列单调性，找到正负项分界点，确定前项和最小值对应的. 【详解】设等差数列的公差为，通项公式为 由，得，即，数列单调递增. 将，代入： 展开整理：，化简得，即 数列通项可化为：，令，解得 因为且数列单调递增，故时，；时，. 因此数列前6项均为负数，从第7项开始为正数，前6项和最小. 综上，答案选B. 4. 设等差数列的前项和为，公差为，若为的等比中项，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】B 【分析】根据等比中项性质列出等式，结合等差数列前项和公式、通项公式展开化简，求解的值. 【详解】由等比中项性质得： 等差数列中，，， 代入等式得：，展开左右两边： 移项化简：，提取公因式得 已知，故，即. 综上，答案选B. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【分析】利用等差数列性质：若，则，以及前项和性质，求解中间项，进而算出公差，最终求出. 【详解】由等差数列性质得：，解得 由等差数列前和性质：，解得 数列公差，由等差数列通项推论： 代入数据：. 综上，答案选C. 6. 已知递增的等比数列满足，则的公比（ ） A.　 　B.　　 C.　　 D. 【答案】B 【分析】利用等比数列性质：若，则，结合数列递增的条件，联立方程求出，再通过等比数列通项公式求公比. 【详解】由等比数列性质得： 联立已知条件得方程组：，因为数列递增，故公比， 解得：，由等比数列通项公式：，代入数据： 结合，得. 综上，答案选B. 7. 已知数列都是等差数列，且，则数列的前 20 项的和为（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】B 【分析】两个等差数列的和数列仍为等差数列，利用等差数列前项和公式，代入首项、第20项求解总和. 【详解】令，因为等差数列，故为等差数列. 数列首项：，数列第20项： 由等差数列求和公式得前20项和：. 综上，答案选B. 8. 设公差不为 0 的等差数列的前项和为，，若成等比数列，则（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和性质求出，结合等比中项性质列方程求解公差，最终代入通项公式求. 【详解】由等差数列前和性质：，解得 设数列公差为，则：， 因成等比数列，由等比中项性质得： 代入数据：，展开化简，整理得 提取公因式：，因，故 因此. 综上，答案选A. 9. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A.　　 B.　 　C.　　 D. 【答案】B 【分析】利用等比数列片段和性质：等比数列中，仍成等比数列，据此求解目标片段和. 【详解】由等比数列片段和性质可知：成等比数列. 已知，，则，该新等比数列首项为4，公比 依次计算片段和：， 而. 综上，答案选B. 10. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个. ①连续操作五次后，共有 64 个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到 15 个正方形，设，则这 15 个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A.　　 　B.　　　 C.　　　 D. 【答案】B 【分析】分别推导正方形个数、边长、周长、面积的递推规律，逐一验证四个结论的正确性，统计正确结论数量. 【详解】初始状态（0次操作）：1个正方形 每次操作：1个正方形拆分新增2个正方形，第次操作新增正方形的个数为. 结论①：操作5次，正方形总数为，结论错误. 结论②：每次操作后新正方形边长为原边长的，第次操作后正方形的边长为. 四次操作后边长为：，结论错误. 结论③：15个正方形对应操作3次（）， 初始周长：，第次操作新增正方形的周长为 第1次新增周长和：； 第2次新增周长和：； 第3次新增周长和：. 总周长：，结论正确. 结论④：初始面积，由勾股定理，每次操作后新增的两个正方形面积和等于原正方形面积，即每次新增面积恒为2. 故，数列为非零常数列，公比为1，属于等比数列，结论正确. 综上，③④正确，共2个正确结论，答案选B. 二、多选题 11. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是 【答案】AC 【分析】利用等差数列下标性质判断项的正负、数列单调性，分析前n项和最值. 【详解】由下标性质：，又，故. A选项：，数列递减，正确； B选项：，错误； C选项：，故为最大值，正确； D选项：，故使得时的最大值是14，错误. 12. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入等比通项求公比，推导通项、前n项和，验证不等式. 【详解】由得：，化简得. 因数列是正项等比数列，，解得. 通项，. ，，故. 综上，ABD正确，C错误. 13. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为 【答案】ABD 【分析】推导原数列通项，分析插入项后的新数列公差，逐项验证选项. 【详解】A选项：，正确； B选项：当时，相邻两项间插入2个数，，， 新公差，，正确； C选项：当时，，令得，是数列的第7项，错误； D选项：时，，是数列中的第2项，正确. 14. 已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项积，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用等差、等比数列中项性质和核心公式验证选项. 【详解】A选项：，，只有相等时才有，否则就不相等，错误. B选项：由等差中项：；由等比中项：， 所以，故B正确. C选项：，C正确； D选项：，D正确. 二、填空题 15. 已知等差数列的前项和为，公差，，则当______，取得最大值，且最大值为__________. 【答案】； 【分析】求出通项公式，找到最后一个非负项，计算最大前n项和. 【详解】通项. 令得，故时最大. . 16. 若数列满足，，则数列的通项公式________，设为数列的前项和，那么当_____时的值最小. 【答案】； 【分析】判定数列为等差数列，求首项与通项，根据项的正负判断求和最值. 【详解】由题意，数列是公差的等差数列，，得. 通项. 令得， 即数列的前6项均为负数，从第7项开始均为正数，故时，最小. 17. 已知各项均为正数的等比数列，，则__________；前项积的最小值为__________. 【答案】； 【分析】利用等比中项求项，推导前n项积表达式，结合指数最值求解. 【详解】由等比中项，得. ，，，. ， 当或时，指数最小为，. 18. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列按照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为； ，记第次得到的新数列为，且.①当时，_______，②________.（用数值作答） 【答案】；. 【分析】观察每次构造后新增项的个数规律，得出关于的表达式；利用等差中项性质，求出的通项公式，再结合等比数列求和公式进行求和计算. 【详解】由题意：第 1 次构造：数列为，中间项个数 ； 第 2 次构造：数列为，中间项个数 ； 第 3 次构造：数列为，中间项个数 ； 归纳可得：第次构造后，中间项的项数 ①当时，； 再分析：是除去首尾之后所有中间项的和. 由等差中项性质，，， ，……， ∴ . 四、解答题 19. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照图示规律排列图形. （1）若从第一组开始依次排列，排列组，每组无人机的架数构成数列，写出前四组无人机的架数；并求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，若有架无人机，则可以同时排出多少组？ 【答案】（1）；数列通项公式： （2）；210架无人机可完整排出12组. 【分析】（1）根据图形规律读取前四组无人机数量，通过计算相邻两项差值，可判定该数列为等差数列，首项，公差，代入等差数列通项公式即可求解； （2）利用等差数列前项和通用公式，推导本题专属求和公式；再根据总无人机数量210列方程，求解正整数解，确定可排出的完整组数. 【详解】（1）由图形排列规律可得： 计算相邻项差值： 由此可知：数列是首项，公差的等差数列. 根据等差数列通项公式：，代入，得： ； （2）等差数列前n项和通用公式： 将、代入公式：； 令总无人机数量恰好排满n组，即，列方程： 整理得一元二次方程：，解得两个根： 由于组数为正整数，故舍去负根，得. 故210架无人机可完整排出12组. 20. 如图，第 1 个图形需要 4 根火柴，第 2 个图形需要 7 根火柴，…，设第个图形需要根火柴. （1）试写出，并求； （2）记前个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）观察图形火柴数量规律，确定数列为等差数列，求解指定项与通项公式；（2）先求前项和，化简，利用裂项相消法求数列前项和. 【详解】（1）由题意得：，数列公差，故 数列为首项，公差的等差数列. 通项公式：； （2）由等差数列求和公式得： 代入化简：，取倒数裂项： 求和： 消项化简得：. 21. 如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.用上述方法操作第1次得到图1，操作第2次得到图2，操作第3次得到图3……，依此类推得到n个图形. 设第次操作后白色三角形个数为，第次操作后白色三角形个数为，第次操作后白色三角形个数为，……. （1）求出； （2）求第次操作后白色三角形个数； （3）求n个图形中白色三角形的总个数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】先写出白色三角形个数数列的前几项，推导数列通项公式，再利用分组求和法计算数列前项和. 【详解】（1）由题意得：； （2）第次操作后新增白色三角形的个数为，得到递推关系： 叠加，得： （3）n个图形中白色三角形的总个数为 . 22. 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第个图的樱花数是. （1）试写出樱花数所成数列的递推公式，并求出数列的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1）递推公式：；通项公式： （2）. 【分析】（1）根据图形规律推导递推公式，叠加求解通项公式；（2）利用分组求和法，结合等比数列、常数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）由题意得： 数列的递推公式：，叠加，得数列的通项公式： ； （2）数列前项和： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $