专题7 三角函数的图像与性质（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题7 三角函数的图像与性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数的图像与性质 三角函数图像的平移变换 2026 单选 3 正弦函数的值域 2025 单选 3 三角函数的周期 2025 单选 3 正弦型函数图像的变换 2024 填空 3 正弦函数的值域 2023 单选 3 正弦函数的奇偶性 2022 单选 3 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题。 （2）内容及分值：三角函数图像的平移变换、伸缩变换，三角函数的周期性、奇偶性、值域、正弦型函数的图像与性质；分值为3-6分。 【考点1：三角函数图像的变换】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）由函数的图像变换得到函数的图像，则下列变换方式正确的是（   ） A．把函数图像上的每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度 B．把函数图像上的每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度 C．把函数图像上的每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度 D．把函数图像上的每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图像变换规律求解. 【详解】将函数的横坐标变为原来的得， 再向左平移个单位，得， 所以由函数的图像变换得到函数的图像，选项D正确，其它选项错误. 故选：D. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意求出，利用二倍角公式化简，再根据图像平移的性质和函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意知 ， 又将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象， 所以， 又定义域为，满足，， 所以为偶函数，不是奇函数. 故选：B. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则______. 【答案】 【分析】由函数的周期确定的值，再根据余弦型函数图像的变化规律即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为， 即，解得， 所以原函数的函数解析式为， 将函数图像向左平移个单位长度为 ， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 则解析式为， 所以. 故答案为：. 1. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径: 1．要得到函数的图像，可以将的图像（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 3．把函数的图像经过（   ）的操作可以得到的图像（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 C．横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的倍 （纵坐标不变），再向左平移个单位长度 5．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线上的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（   ） A． B． C． D． 6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 7．将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．C 【分析】依据三角函数图像的平移规律求解. 【详解】因为， 所以将的图像向右平移个单位长度可得的图像， 故选：C. 2．C 【分析】根据正弦函数二倍角公式和三角函数平移规则，即可解得. 【详解】因为函数， 将函数向右平移个单位得到的图象， 所以只需要将函数的图象向右平移个单位， 即可得到函数的图象，故C正确； 经检验，其他选项错误. 故选：C. 3．B 【分析】由三角函数的图像变化即可得解. 【详解】因为， 所以函数的图像向左平移个单位长度可以得到的图像. 故选：B. 4．B 【分析】根据诱导公式及三角函数图象在进行伸缩和平移变换时的规律求解. 【详解】根据诱导公式可得， 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 故选：B. 5．B 【分析】根据题意结合三角函数图像平移规则即可得解. 【详解】图像上所有点的横坐标变为的2倍后为， 再向右平移个单位长度得， 故选：B． 6．D 【分析】利用三角函数图像平移的方法即可求解. 【详解】因为， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象． 故选：D. 7．B 【分析】根据三角函数图像的变换规律，求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位， 即， 所以函数， 故选：B. 8．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦型函数的图象和性质，分别求出的值，即可求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦型函数图象的变换规律，先求出函数的解析式，结合的取值范围，求得函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由图可知，，∴，， ∴，， ∵，∴，，∴， ∴. （2）将函数的图象向左平移个单位得到， 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数， 当时，，则， ∴，， ∴在区间上的值域为． 【考点2：三角函数的性质】 1．（25-26高三下·山东德州·三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C． D．的图像关于对称 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的最值，周期以及对称性求解即可. 【详解】因为，所以的最大值为2，A选项错误； 的最小正周期为，B选项错误； ，C选项正确； 因为，不是最值，故D选项错误. 故选：C. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数的图像过点，则函数的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用降幂公式及辅助角公式将函数化为正弦型函数，由求出，再根据正弦函数的性质可得结果. 【详解】 , 因为图像过点， 所以，解得， 所以， 所以当，. 故选：A 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）函数的最小值是________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合二次函数的性质，即可求出函数的最小值. 【详解】， 令，由正弦函数值域得，. 该二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值. 故答案为：. 4．（25-26高三下·山东德州·三模）已知正弦型函数，其最高点为，相邻的最低点为.求： (1)函数的解析式； (2)函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合已知条件求出，进而得出函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求出其单调递增区间即可. 【详解】（1）正弦型函数， 其最高点为，相邻的最低点为 可得， 所以，所以， 所以， 将点代入上式，得 则，解得 又因为，所以， 故 （2）函数的单调递增区间满足 解得 故函数的单调递增区间为. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)将该函数的图像向右平移个单位得到函数，当，时，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，结合正弦函数的单调性即可求解. （2）根据函数平移的法则，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）因为. 令，解得. 所以该函数的单调递增区间是. （2）由题意得，， 又因为，所以，则， 所以或， 解得或. 又因为，所以或. 1. 正弦函数的图像与性质 (1)周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． (2) “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． (3)正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 1．正弦函数在区间上的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D． 2．函数的最小正周期为（   ） A． B．2 C． D．1 3．已知函数是奇函数，当时的值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的一个对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．函数是（   ） A．周期为的的奇函数 B．周期为的的偶函数 C．周期为的的奇函数 D．周期为的的偶函数 6．对于的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．函数的简图为（ ） A． B． C． D． 8．函数的最大值为______． 9．已知，函数在上单调递减，则的最大值为___________. 10．已知函数，则函数的单调递减区间是___________. 11．已知函数，则 _____（用“>、<、=”填空） 12．已知函数，求： (1)函数的最小正周期和函数图像的对称轴； (2)的单调增区间； (3)函数在区间上的值域. 13．已知函数． (1)求的值； (2)将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．已知函数，，，，的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为． (1)求的最小正周期及的值； (2)若点的坐标为，求A的值． 15．已知函数的最大值是7，最小值是； (1)求a，b的值； (2)求当x取何值时函数取得最大值7． 16．设函数，（为常数且的部分图象如图所示，求的值.    1.【答案】C 【分析】根据正弦函数的单调性即可得解. 【详解】正弦函数在区间上的单调递增区间是和， 故选：. 2.【答案】D 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】函数的最小正周期为， 故选：D. 3.【答案】B 【分析】由奇函数的性质得到，结合正弦型函数的性质，列式求解即可. 【详解】∵函数是奇函数， ∴，即， ，即 又∵， ∴时，.选项A正确， 经检验，其它选项不正确. 故选：B. 4.【答案】D 【分析】根据正弦函数的对称中心进行求解即可 【详解】令，，， 令，， 所以函数的一个对称中心的坐标是，故D正确； 经检验，其他选项都不正确. 故选：D. 5.【答案】C 【分析】将函数进行化简，再根据正弦函数的奇偶性和周期即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的周期为， 又因为函数的定义域为，对于任意，都有， 且，函数为奇函数， 所以函数是周期为的的奇函数. 故选：C. 6.【答案】A 【分析】利用换元法将转化为二次函数即可求解. 【详解】令，因为，所以 所以，，其中，， 所以对称轴，且函数开口向上 所以当时，函数取得最小值 最小值为. 故选： 7.【答案】A 【分析】根据正弦函数的图像即可得解. 【详解】函数，故错误，正确. 故选：. 8.【答案】7 【分析】根据正弦函数的最值确定该函数的最值即可. 【详解】已知函数， 当时，， 即函数的最大值为， 故答案为：. 9.【答案】10 【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递减，建立不等式关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又在上单调递减， 设，则在上单调递减， 所以，解得， 又，，所以， 当时，；当时，， 又，故的最大值为10. 故答案为：10. 10.【答案】 【分析】由正弦函数的单调区间求解即可. 【详解】因为的减区间是， 令， 得出， 所以的递减区间是. 故答案为：. 11.【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】，， 正弦函数在第一象限为增函数，， 则； 故答案为：. 12.【答案】 (1)， (2) (3) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式结合倍角公式化简，再由正弦函数的周期公式和对称轴公式求值即可. （2）运用整体法，令求解即可. （3）根据正弦函数的单调性求最值即可. 【详解】（1）已知函数 ， 所以函数的最小正周期， 令，即， 解得， 所以该函数图象的对称轴为. （2）由（1）可得，， 令， 即， 解得， 所以的单调增区间为. （3）当时，， 则当，时，单调递增， 当，时，单调递减， 所以为最大值， 且，， 所以为最小值， 所以函数在区间上的值域为. 13.【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再代入求值即可； （2）先利用三角函数的图像变换得到，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1） ， . （2）， 当时，， ，即， 又恒成立， ，解得， 实数的取值范围为. 14.【答案】(1)6, (2) 【分析】（1）根据周期公式确定周期，再将点代入解析式求值即可. （2）设点的坐标为，再由余弦定理求值即可. 【详解】（1）已知， 则周期． 因为在的图象上， 所以，则， 解得， 又因为，所以，． （2）设点的坐标为， 则， 即， 结合图象可知， ， 解得，即， 连接，在中，， 点的坐标为，则， ，， 则， 即，整理得， 又，所以. 15.【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦函数的值域求参数即可； （2）利用正弦函数的最值求所对应的值. 【详解】（1）因为，由题可知， 当时，， 当时，， 解得，. （2）由（1）知，当时，函数取最大值， 则，解得， 则当时函数取得最大值7. 16.【答案】 【分析】根据正弦型函数图像确定最小值和周期，求得和的值，再将点代入即可求出，即可求解. 【详解】由图可知，函数最小值为，所以， 又， 即，,解得， 所以， 将点代入，得， 即，由于，则. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $