专题6 任意角的三角函数及恒等变换（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题6 任意角的三角函数及恒等变换 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义 2026 单选 3 三角函数间的关系 2026 填空 3 诱导公式 2025 单选 3 三角函数的符号 2024 单选 3 三角函数的符号 2023 单选 3 任意角的三角函数的定义 2023 填空 3 诱导公式 2022 单选 3 三角恒等变换 两角和与差的正、余弦公式 2025 解答 7 两角和与差的正切公式 2024 单选 3 辅助角公式 2024 填空 3 必要不充分条件（涉及立体几何） 2023 单选 3 命题真假的判断 2023 单选 3 两角和与差的正、余弦公式 2022 单选 3 二倍角公式 2022 解答 7 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值：任意角三角函数的定义、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角恒等变换、同角三角函数间的关系、三角函数在各个象限的符号分布等；分值为9-13分。 【考点1：任意角的三角函数】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简已知条件，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】， ， 所以角所在的象限是第二象限， 故选：. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用任意角三角函数的定义求出和的值，再结合诱导公式、二倍角正弦公式计算所求表达式的值. 【详解】因为角终边过点， 所以， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，且是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的商数关系分析计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为是第四象限角，所以， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的顶点与直角坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角终边上一点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将所求式子进行化简，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】由题意，角终边上一点为， 则，， 故， 故选：. 5．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意应用齐次式求出，结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为，则，解得， 故， 故答案为：. 1．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 2．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 3．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 1．已知角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合，若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知角终边上一点，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 4．已知角的终边上一点，求、和的值. 5．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 6．确定下列各式的符号： (1)； (2). 7．已知，化简并求的值. 8．已知角，且，求： (1)； (2)； 9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_____. 10．若，则___________． 11．已知，，则_____. 12．___________． 【答案】 1．B 【分析】利用任意角三角函数的定义，结合终边上点的坐标求解. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合， 若角终边上一点，则， 所以， 故选：. 2．D 【分析】由正切函数的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3．A 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解． 【详解】角终边上一点，由题意， 则，解得， 故选：A． 4． 【分析】根据任意角的三角函数的定义逐个求值即可. 【详解】已知角的终边上一点， 得，，则， 则， . . 5．(1)3 (2) 【分析】（1）利用齐次式法，分子分母同时除以化为求值即可. （2）利用齐次式法，分子分母同时除以化为求值即可. 【详解】（1）因为， 所以 . （2） . 6．(1) (2) 【分析】判断角所在的象限，根据三角函数符号和角的象限之间的关系进行判断即可. 解：（1）因为 ，所以； （2）因为 ， 所以. 7．答案见解析 【分析】利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】 . 已知，可得， 即， 所以，可得， 则， 则， 当时，与两式相加可得， 则； 当时，与两式相加可得， 则. 8．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的平方关系和商数关系，即可求解； （2）根据题意，结合余弦的二倍角公式，即可代入求解. 【详解】（1）因为角，且， 所以， 所以； （2）因为角，且， 所以. 9． 【分析】根据题意结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 则，， 故答案为：. 10．/ 【分析】先根据三角函数诱导公式得到，再根据同角三角函数的平方关系，即可解得. 【详解】因为， 所以， 又， 所以. 故答案为： 11．/ 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系和商数关系，及三角函数在各象限的符号，即可求解. 【详解】，，， 又，， ， 又，. 故答案为：. 12． 【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】， ， 则， 故答案为：. 【考点2：三角恒等变换】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简已知条件，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】， ， 所以角所在的象限是第二象限， 故选：. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用任意角三角函数的定义求出和的值，再结合诱导公式、二倍角正弦公式计算所求表达式的值. 【详解】因为角终边过点， 所以， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，且是第四象限角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的商数关系分析计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为是第四象限角，所以， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的顶点与直角坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角终边上一点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将所求式子进行化简，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】由题意，角终边上一点为， 则，， 故， 故选：. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据同角三角函数的平方关系结合的取值范围求出的值，再利用两角差的正弦公式展开计算即可得到结果. 【详解】已知，故， 所以， 则. 故选：A. 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，且是第四象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式求出的值，代入二倍角的正切公式即可得解. 【详解】已知，且是第四象限角， 则，， 则， 故选：. 7．（25-26高三下·山东青岛·二模）已知角的终边过点，则等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的定义，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点，所以， 则. 故选：D. 8．（25-26高三上·山东青岛·一模）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的定义求出和的值，再利用两角和的余弦公式计算. 【详解】已知角的终边经过点，则， 则，， 则. 故选：B. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，且，则________． 【答案】 【分析】根据诱导公式得到，利用二倍角公式求出的值，代入两角差的正弦公式即可得解. 【详解】，则， 因为，则， 所以，， ， 故答案为：. 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 2．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 1．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 4．公式的逆用、变形等. （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 1．已知是方程的两个根，且，则（    ） A． B．－ C．或－ D．－或 2．若，，，，则角的值为（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，，且，，求：的值. 6．（为第一象限角）求的值 (1); (2). 8．计算下列各式的值. (1); (2). 9．已知，，则的值为__________. 10．若将写成的形式，其中，则_____. 11．已知，且，则___________． 12．计算：___________．（用数字作答） 【答案】 1．B 【分析】根据韦达定理及两角和的正切公式求出的值，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是方程的两个根， 由韦达定理可知，，， 则， 因为，，所以， 因为，所以，， 所以， 故选：. 2．B 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式求出及的值，结合差的正弦与余弦公式即可得解. 【详解】，均为锐角，，， 因为，得， 因为，， 若， 则， 与矛盾，故舍去； 故，则， 又，. 故选：. 3．C 【分析】根据二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 4．B 【分析】逆用两角差的余弦公式进行化简，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B. 5．， 【分析】根据已知三角函数值结合同角三角函数间的关系及和差角的正弦公式即可解得. 【详解】因为，则， 因为，所以， ， 又，所以， ，则， . 6． 【分析】根据同角三角函数的平方关系和两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，为第一象限角，所以， 因为，则， 若，正弦函数在此区间单调递增， 由得到，不满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以. 7．(1) (2) 【分析】（1）根据差角的正切公式展开表示出部分值，再将部分值代入原式即可解得. （2）根据二倍角公式依次合并结合诱导公式即可解得. 【详解】（1）， ， 原式 （2）原式 8．(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式及正弦二倍角公式可求； （2）利用诱导公式及和角的正弦公式可求. 【详解】（1）； （2）， ， 则. 9．/ 【分析】根据两角差的余弦公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 10． 【分析】根据题意结合辅助角公式即可得解. 【详解】将写成的形式，其中， 因为， 所以. 故答案为：. 11．/ 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系、三角函数在各象限的符号，及两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】因为，故， 因为，所以， 所以，， 故 . 故答案为：. 12．/0.5 【分析】根据题意，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $