专题5 指数函数与对数函数（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 对数函数与指数函数 指数函数的值域 2026 解答 7 对数的运算 2026 填空 3 指数函数的图像 2025 单选 3 对数函数的值域 2024 解答 7 对数的运算 2023 单选 3 指数函数的单调性 2022 单选 3 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题均有涉及。 （2）内容及分值：对数函数的定义，指、对数的运算，指数函数与对数函数的图像与性质（）单调性、值域等），分值3-10分。 【考点1：指、对数的运算】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量求解即可. 【详解】因为函数， 所以，即. 故选：B. 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，，则等于（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， ，故． 故选：D. 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，则的值是（   ） A．8 B．11 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据对数的定义及指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，， 故选：. 4．（25-26高三上·山东·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数方程的解法及根式的运算求出和的值，再代入进行计算. 【详解】已知，所以，可得， 所以，解得， 已知，且，可得， 所以. 故选：D. 5．（25-26高三上·山东青岛·一模）定义新运算“*”：对于任意正实数，都有，则的值为（    ） A．16 B．64 C．67 D．259 【答案】C 【分析】根据题意结合对数的定义及指数幂的运算即可得解. 【详解】对于任意正实数，都有， 则. 故选：. 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 1．等于（    ） A． B． C． D．2 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．对任意的正实数及，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算：（     ） A．6 B．7 C．8 D． 5．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．计算：等于（ ） A．3 B． C．1 D． 8．计算（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．设，且，则（    ） A． B．10 C．20 D．100 10．已知，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】 1．B 【分析】根据根式的化简以及指数幂的运算求解即可. 【详解】.故选：B. 2．D 【分析】根据指数幂、对数以及根式的运算性质求解. 【详解】选项A，，故选项A错误， 选项B，，故选项B错误， 选项C，，故选项C错误， 选项D，，故选项D正确，故选：D. 3．D 【分析】根据实数指数幂的运算法则可判断结果. 【详解】由题意，根据实数指数幂的运算法则可得： ，，. 故选：D 4．B 【分析】根据题意结合指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 5．A 【分析】根据题意，结合指数幂的运算和对数的运算，即可求解. 【详解】因为任何数（0除外）的0次幂都是1，故，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C错误； 因为，故选项D错误； 故选：A. 6．D 【分析】根据指数式与对数式的转化公式即可解答. 【详解】已知， 则， 故选：D. 7．D 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，.故选：D. 8．A 【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【详解】. 故选：A. 9．A 【分析】由指数式和对数式的互化求解a和b，再由换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得，故选：A. 10．D 【分析】根据韦达定理结合对数的运算性质，换底公式即可求解. 【详解】由题意得，为方程的两个实数根，所以. 则. 故选：D. 【考点2：指数函数与对数函数的图像与性质】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】对A、B：当时，指数函数单调递增， 一次函数中，则斜率为负数、截距为正且大于1， 则一次函数的图像向左倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的上方，故A、B项错误； 对C、D：当时，指数函数单调递减， 一次函数中，则斜率为正数、截距为正且小于1， 则一次函数的图像向右倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的下方，故D项错误，C项正确. 故选：C. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和对数函数的图象对进行分类讨论即可. 【详解】函数与， 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标在之间， 只有A选项符合题意，但不满足函数在上单调递减，故不成立； 直线的y轴截距小于 0，即a<0，对数底数不能小于 0，B 错。 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标大于，CD选项符合题意， 且函数在上单调递增，过定点， 故只有选项C，符合时两函数的图象. 故选：C. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合指数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为函数，底数，所以定义域内为减函数， 则， 因为函数，底数，所以定义域内为增函数， 则， 综上所述，. 故选：. 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于零，结合二次根式的性质列出不等式组，利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】函数， 对于函数，底数，即在上为增函数， 则，解得， 所以函数定义域为，故选：. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，则函数在上为增函数， 则，即， 故选：. 1．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 2．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 1．在同一直角坐标系中，与的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   2．函数（且）的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则其图象为（   ） A．   B．   C．   D．   4．若，，，则a，b，c之间的大小关系为    （    ） A． B． C． D． 5．若函数 在 上的最小值为 ，则 的值等于（    ） A． B． C． 或 D． 或 6．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上的值域为，则____________. 9．已知函数若存在，使，则的取值范围是___________． 10．函数，的最大值为 ___________. 11．若，则使的为______. 12．若二次函数是偶函数，则实数_____. 13．已知函数且的图像经过点 (1)求函数的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 14．已知指数函数（，且）的图象经过点． (1)试求的解析式，并求； (2)若，求实数的值． 【答案】 1．B 【分析】根据指数函数的底数与函数单调性的关系，以及特殊点的坐标，即可得解. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 函数与函数都过点，故ACD错误，B正确， 故选：B. 2．C 【分析】先找出对数函数恒过定点，再推出原函数恒过定点即可. 【详解】因为函数（且）的图像过定点， 即当时，，所以当时，， 即函数（且）的图像恒过定点. 故选：C. 3．D 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】函数的定义域为，值域为R，故A、B项错误， 又函数图像过定点，在上为增函数，故C项错误，D项正确. 故选：D. 4．D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】对数函数在上为单调递增函数，且， 故，即， 指数函数在R上为单调递减函数，且， 故，即， 所以. 故选：D. 5．A 【分析】根据指数函数的单调性以及最值求解即可. 【详解】函数 在 时为减函数，最小值在区间端点 处取得： ，解得 或（舍）. 故选：A. 6．C 【分析】根据对数中真数大于0和分母不等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数 有意义， 必须有，解得且 所以该函数的定义域是， 故选：C. 7．D 【分析】根据题意利用指数函数的性质解方程即可得解. 【详解】，所以，解得， 故选：. 8． 【分析】根据对数函数的单调递增性质，求出值域端点对应的自变量取值，即可计算的值. 【详解】函数的底数为，因此是定义域上的单调递增函数， 已知在区间上的值域为， 令，即，得，因此； 令，即，得，因此， 故. 故答案为：1. 9． 【分析】作出函数的图像，由题意及二次函数的对称性可知，结合指数函数的单调性再分类讨论即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示， 由题意，，且，则， 所以，所以， 当时，，此时； 当时，有，， ， 此时； 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 10． 【分析】根据指数函数的单调性求最值即可. 【详解】已知在上为减函数， 所以当时， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 11． 【分析】根据代入函数解析式，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】由题意得，，则，解得. 故答案为：. 12．4 【分析】根据题意结合偶函数的定义及二次函数对称轴公式即可得解. 【详解】因为二次函数是偶函数，所以该函数的对称轴为轴， 即对称轴为，则，解得， 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）代入已知点坐标求出参数即可得到函数解析式. （2）利用指数函数单调性解不等式求出取值范围即可. 【详解】（1）函数且的图像经过点， 将，代入式子， 得到，即， 结合条件且，得到， 函数解析式为. （2）由，可得，整理得， 在上单调递增，可得， 解得，即的取值范围为. 14．(1)， (2)或 【分析】（）利用待定系数法求出值即可得解. （）根据题意结合函数的单调性得出，解一元二次方程即可得解. 【详解】（1）由题可知，，且， 所以解得，则， . （2）因为，则， 又在上单调递增， 所以，解得或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $