专题4 二次函数（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和 最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习 体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题4 二次函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 二次函数 二次函数的值域 2026 解答 7 二次函数的奇偶性 2024 单选 3 二次函数的值域 2024 解答 7 二次函数的综合应用 2023 解答 7 二次函数的图像与性质 2022 单选 3 命题轨迹透视： （1）题型：单选题、解答题 （2）内容及分值：二次函数的值域、单调性、奇偶性以及二次函数的图像与性质；分值3-10分。 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数的图像与轴交于点和，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数中，， 所以函数图像开口向上， 又函数的图像与轴交于点和， 所以函数图像的对称轴为， 所以函数在区间上单调递减. 故选：A. 2．（25-26高三下·山东·二模）已知二次函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据推导与的关系，再结合判断二次函数开口方向，即可确定的符号. 【详解】已知， 则对称轴为，即， 因为，且， 所以当时，函数单调递减，则该函数开口向上，， 故选：A. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴与单调性的关系求解. 【详解】函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在上是减函数， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·山东·二模）已知函数的最小值为2，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若，判断函数的奇偶性，并给出证明． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见详解 【分析】（1）由可知，对称轴为，求出，再将函数配方，根据最小值求出； （2）先求的解析式，再根据函数奇偶性的定义可判断结果. 【详解】（1）因为函数满足， 所以函数的对称轴为，解得， 此时， 又因为函数的最小值为2，所以，解得， 所以函数的解析式为； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，， 由于的定义域为，且， 所以函数为偶函数. 5．（23-24高三·山东菏泽·一模）已知二次函数满足,且． (1)求函数的解析式. (2)若函数,求不等式的解集． 【答案】(1). (2)． 【分析】（）由二次函数对称轴及待定系数法求解析式即可得解. （）解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）设二次函数的解析式为. 因为. 所以函数图像的对称轴为即. 又因为， 所以. 解得 所以函数的解析式为． （2）因为. 可化为即. 解得. 所以不等式的解集为. 1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 一、单选题 1．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知正数，，成等比数列，则二次函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 3．已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数对任意实数，都有，则实数（    ） A．6 B． C．3 D． 5．已知二次函数与轴没有交点，则函数和函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   6．二次函数的图象如图所示，则点在（   ）    A． 第一象限 B．第二象限 B． C．第三象限 D．第四象限 7．已知二次函数，若，，则其图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知二次函数的图像的对称轴为直线，则的解集是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上单调，则实数的取值范围为：（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图像关于轴对称，则的解集是（   ） A． B． C． D． 11．二次函数的对称轴是，且图象与的两交点坐标是，，则等于（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 12．已知为偶函数，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 二、填空题 13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ 14．函数在上的最小值为__________. 15．若函数在为增函数，则的取值范围为__________． 16．用长为300m的篱笆材料围成一个“日”字型的菜地，则围成的菜地的最大面积为________m2. 17．函数 的单调递增区间是_____ 18．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 三、解答题 19．已知二次函数满足条件，且最小值为，求函数的解析式. 20．已知二次函数的图象C与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，C的对称轴方程为，且有最小值，求二次函数的解析式. 21．已知. (1)若，求x的值. (2)若函数，取一个x的值，使函数的值在. 22．已知函数在上是增函数. (1)求实数a的取值范围； (2)试比较与的大小. 23．已知函数与x轴有交点，求实数a的取值范围. 24．已知函数，在为单调减函数， (1)求解析式 (2)求函数在上的值域 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．B 【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】当时，二次函数的图象开口向上，直线的斜率为负数， 图象经过第一、二、四象限，排除A选项，B选项正确； 当时，二次函数的图象开口向下， 直线的斜率为正数，图象经过第一、二、三象限，排除C，D选项； 故选：B. 2．C 【分析】根据等比中项以及二次函数的最值求解即可. 【详解】因为正数，，成等比数列，所以， 二次函数， 因为，所以函数的最小值为. 故选：C. 3．A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，二次函数，所以对称轴为， 又，所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 4．A 【分析】根据题意得出函数关于对称，代入对称轴公式即可得解. 【详解】函数对任意实数，都有， 则函数图像关于对称， 则，解得， 故选：. 5．C 【分析】在二次函数中，由可得，再根据反比例函数和一次函数的图像和性质可判断结果. 【详解】因为二次函数与轴没有交点， 所以，解得. 所以反比例函数的图像是位于二、四象限的双曲线； 在一次函数中，，，所以其图像是单调递减的直线，且与y轴的正半轴相交. 因此只有C选项符合要求. 故选：C 6．D 【分析】根据二次函数的图象确定的符号，再确定点的象限即可. 【详解】已知二次函数， 由图象开口向下可知，， 由对称轴的位置可知，则， 由图象与轴的交点位于轴的正半轴可知，， 所以，所以点在第四象限， 故选：D. 7．B 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知二次函数，，， 所以二次函数的图像开口向下， 对称轴， 与y轴的交点在负半轴上， 若，函数图像如下图所示， 若，函数图像如下图所示， 所以二次函数，其图像一定不经过第二象限. 故选：B. 8．B 【分析】由二次函数的对称轴公式求出的值，再由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知二次函数， 其图像的对称轴为直线，得，解得， 则，若， 得，即， 解得， 所以的解集是， 故选：B. 9．D 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为的图像开口向下，对称轴为， 又函数在区间上单调， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 10．D 【分析】根据二次函数对称性列出等式求出参数，再由一元二次不等式求解即可解得. 【详解】由题，二次函数关于轴对称， 则二次函数对称轴为，解得， 则二次函数，则， 即，解得或， 故所求不等式解集为. 故选：D 11．A 【分析】利用二次函数对称性即可解得 【详解】由题直线平行于轴， 且两交点纵坐标都为，二次函数对称轴为 则, 解得， 故选：A 12．C 【分析】根据函数是偶函数，进而确定对称轴，再由开口方向，确定单独区间，进而判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以对称轴为轴. 又因为函数图像开口向上，所以函数在上是增函数. 因为，所以. 故选：C. 13． 【分析】根据题意结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在上是减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 14．4 【分析】根据二次函数的最值求解即可. 【详解】函数的对称轴是，且开口向上， 所以当时函数值最小，最小为. 故答案为：4. 15． 【分析】根据二次函数的单调性即可解答. 【详解】因为函数的图像开口向上， 对称轴为，所以在上为增函数， 要使函数在上也为增函数， 则，故取值范围是． 故答案为：. 16． 【分析】设矩形菜地的宽为自变量，根据篱笆材料总长，计算矩形菜地的长，即得到面积函数，即可求解函数最值. 【详解】设“日”字型菜地中间小矩形的宽为m,则长为m. 则围成的菜地的最大面积为. 当时，最大，. 故答案为：. 17． 【分析】由二次函数的图象和性质判断其单调性即可. 【详解】函数是开口向下的抛物线， 对称轴为直线 ， 在对称轴左边单调递增， 在对称轴右边单调递减， 所以函数的单调递增区间为 . 故答案为：. 18． 【分析】将方程根的个数转化为不同函数图像的交点问题，再由函数的单调性和值域即可确得答案. 【详解】已知函数， 且方程，即， 该方程有三个不同的实数根，则函数与有3个交点 因为为增函数，则当时，为增函数， 且， 此时函数与最多只有一个交点， 当时。若函数与相交，则，， 当时，为二次函数， 对称轴为，二次项系数为， 图像开口向下，有最大值为， 即，当时，要使函数与有2个交点， 则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19． 【分析】结合已知条件，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】∵， ∴该二次函数图像的对称轴方程是， 又∵函数的最小值是， ∴，该二次函数图像开口向上，顶点坐标为， 即， 又，∴， ∴. ∴. 20． 【分析】由题意确定二次函数图象与x轴交点的横坐标，设函数解析式，代入最值即可得解. 【详解】因为二次函数的图象C与x轴的两个交点距离为6，且对称轴方程为， 所以该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，即， 所以可设，又函数的最小值为， 所以且，解得， 所以即. 21．(1)1 (2)0（答案不唯一） 【分析】（1）根据的新定义，化简求值即可. （2）化简函数，转化为二次函数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以x的值为1. （2）因为， 所以， 令，则有. 22．(1) (2) 【分析】（1）先分析函数的对称轴，结合函数的单调性，构成不等式，进而求解； （2）求出的表达式，结合（1）中的结论，判断式子的符号，进而求解. 【详解】（1）由题意得：函数的图象开口向上， 对称轴为， 因为函数在上是增函数，则， 即，解得，故； （2），， 所以， 当时，恒成立， 故. 23． 【分析】由抛物线与x轴有交点可得，进而求解. 【详解】由题知 ∴， ∴a的取值范围为 24．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，函数的对称轴为. 在为单调减函数，. 解得.又. （2）由（1）得，函数的对称轴为. 因为在上单调递增，在上单调递减. 所以当时， ，当时，. 当时. 综上时，有最小值，时，有最大值. ∴值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $