专题3 函数及其性质（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题3 函数及其性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的图像 由一次函数图像确定参数的取值范围 2026 单选 3 指数函数与一次函数 2025 单选 3 一次函数图像的应用 2024 单选 3 函数图像的实际应用 2023 单选 3 函数图像的实际应用 2022 单选 3 函数的概念及其性质 函数的奇偶性 2026 单选 3 函数的定义域 2026 单选 3 函数的奇偶性 2025 单选 3 函数的概念 2025 单选 3 函数的单调性 2024 单选 3 函数的单调性 2023 单选 3 函数的奇偶性、周期性 2023 填空 3 函数的定义域 2023 单选 3 函数的奇偶性 2022 单选 3 函数的单调性 2022 填空 3 命题轨迹透视： 函数及其性质是山东春季高考考试考查的重点，在选择题、填空题、解答题中均有涉，在客观题中有2-4题，内容覆盖函数的概念、定义域、奇偶性、单调性、周期性以及函数的图像等。分值6-12分（客观题）。 【考点1：函数的图像及其应用】 1．（24-25高三下·山东青岛·一模）某家庭乘坐汽车出行，到达目的地后游玩了一段时间，之后原路返回．假设途中汽车匀速行驶，则距离出发点的路程关于时间的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某家庭驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升. 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为水平线段. 之后原路返回，随着时间增长路程也持续下降，故图像下降. 故选：B. 2．（24-25高三下·山东淄博·一模）在同一平面直角坐标系中，直线和图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】两条直线的方程中的范围必须一致，采用逐项排除法解答该题． 【详解】选项A中，直线，直线的符号不一致， 选项B中，直线，直线的符号一致， 选项C中，直线，直线的符号不一致， 选项D中，直线，直线的符号不一致. 故选:B． 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据，判断指数函数与一次函数在同一坐标系下的图象即可. 【详解】因为，所以指数函数为减函数， 图象从左至右呈下降趋势，所以A,C错误； 因为一次函数的，所以一次函数为增函数， 图象从左至右呈上升趋势，所以B正确，D错误. 故选:B. 1. 函数的图象与性质 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 2. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 1．函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   2．函数，的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．该函数在上单调递减 B．该函数在区间上的最大值为3，最小值为 C．该函数在上有最大值2，有最小值 D．当时，直线与函数的图像有交点 3．向高为h的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度y与注水时间x的函数关系的图像如图所示，则该容器的形状可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．已知奇函数的定义域为，且，当时，其图像如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 5．已知函数，则关于的方程的根个数不可能是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．某同学骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回，想起“不到长城非好汉”，便又朝着长城的方向继续前进，则该同学离起点的距离s与骑行时间t的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】 1．A 【分析】求出函数的定义域和奇偶性，结合函数图像即可得解. 【详解】函数，则，解得， 所以函数定义域为，故错误； ，符合偶函数的定义，故正确，错误， 故选：A． 2．D 【分析】根据单调性的定义可判断A错误；由函数的值域可知B、C错误；利用函数的值域及数形结合可判断D正确. 【详解】对A选项，函数在上先减后增，即在单调递减，在单调递增，故错误； 对B选项，函数在区间的值域为，无最大值，也无最小值，故错误； 对C选项，函数在的值域为，且当时，取得最小值，当时，取得最大值，故错误； 对D选项，由图可知，函数在定义域的值域为，所以当时，直线与函数的图像有交点，故正确. 故选：D 3．C 【分析】由容器内水面的高度y与注水时间x的函数关系的图像即可得解. 【详解】由图象可知，高度上升先慢后快， 说明下面容器底面积大于上面容器底面积， 故该容器为   故选：C. 4．D 【分析】根据奇函数的性质补全函数图像，根据图像即可得到的解集. 【详解】因为是奇函数，所以其图像关于原点对称，在上的图像如图，    由图像可知，当或时，函数图像在轴下方，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 5．C 【分析】作出函数的图象，原问题转化为函数与直线的交点个数即可判断. 【详解】当时，， 这是一个二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 当时，，这是一个指数函数向下平移一个单位得到的， 函数恒过定点， 如图，作出函数的图象，    由图象可知，函数与直线的交点个数可能为个或个或个， 即关于的方程的根个数不可能是个. 故选：C. 6．C 【分析】根据题意识别图像. 【详解】第一段时间，骑车前往，随着时间的增加，距离不断增加，函数单调递增； 第二段时间，休息，随着时间的增加，距离不变； 第三段时间，原路返回，随着时间的增加，距离减小，函数单调递减； 第四段时间，朝着长城方向继续前进，随着时间的增加，距离逐渐增加； 综上所述，图像C合适. 故选：C. 【考点2：函数的概念及其性质】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零和偶次方根的被开方数大于或等于零求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需满足： ，所以， 所以函数的定义域是. 故选：B. 2．（25-26高三下·山东淄博·二模）设是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据求出，再根据奇函数性质求出即可. 【详解】当时，，则， 又是上的奇函数，所以． 故选：A. 3．（25-26高三下·山东·三模）下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的概念及要素，即可判断求解. 【详解】对A：的定义域为， 的定义域为R，故A项错误； 对B：的定义域为， 的定义域为，故B项错误； 对C：的定义域为， 的定义域为R，故C项错误； 对D：的定义域为， 的定义域为，又函数的对应法则相同，故D项正确． 故选：D． 4．（24-25高三下·山东·一模）已知函数在定义域上是增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域以及函数的单调性建立不等式即可求解. 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高三下·山东青岛·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意，函数是定义在R上的奇函数， 则，， 故. 故选：C. 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】分别把和代入函数，然后求出的值，即可得出结果. 【详解】因为， ， 则， 又，所以. 故选：B. 7．（25-26高三下·山东·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据函数的单调性得到，再结合奇偶性即可求解. 【详解】因为在区间上单调递增，所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 即， 所以，即， 故选：A. 8．（25-26高三下·山东济南·二模）若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 故，， 故. 故答案为：. 一、 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 二、函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 三、函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 四、函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 五、函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 1．已知函数是偶函数，且时，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数对任意实数x都满足，当，时，总有，若，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知奇函数的定义域为，当时，，则下列坐标表示的点在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 5．已知偶函数在区间上是减函数，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．{或} 6．设函数（为常数）为定义在上的奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 7．已知奇函数满足，且在上的解析式为，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．已知定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 9．已知函数 为偶函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数 的图像关于原点对称 B．函数 的图像关于 轴对称 C． D． 10．已知奇函数的定义域为，且，则（   ） A．5 B． C． D．3 11．已知函数对于任意实数，都有，若当时，，则__________. 12．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是__________.（结果用区间表示） 13．已知是上的奇函数，当时，，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是______． 14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 15．定义域在上的函数满足，且的图象关于直线对称，当时，，则_________. 16．直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是_____________. 17．定义在R的奇函数，且当时，，__________. 18．已知偶函数在上单调递减，.若，则x的取值范围为___________. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．D 【分析】先判断时函数的单调性，再利用偶函数的性质，得到时的单调性，即可确定单调递增区间. 【详解】当时，，该一次函数的一次项系数， 所以在上单调递减；又因为是偶函数， 所以其图象关于轴对称，且在关于原点对称的区间上单调性相反， 所以在对称区间上单调递增， 综上，的单调递增区间是. 故选：D. 2．B 【分析】根据题意结合单调性的定义及偶函数的性质即可得解. 【详解】当，时，总有， 所以时，或时，， 所以在上函数为增函数， 函数对任意实数x都满足，则函数为偶函数， 所以函数在上为减函数， 因为， 在上时，，则，解得； 在上时，，则，解得， 实数m的取值范围是. 故选：. 3．C 【分析】根据题意求出，结合奇函数的性质求出即可得解. 【详解】奇函数的定义域为，当时，， 当时，，函数过点，故错误； 因为该函数是奇函数，所以，则函数过点，故正确，错误， 故选：C. 4．B 【分析】由函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为， 所以， 由知，， 所以， 又因为函数是上的增函数， 所以，所以. 故选：B. 5．D 【分析】利用偶函数的对称性，结合已知区间的单调性，确定函数在定义域上的单调性，进而求解不等式. 【详解】偶函数在上是减函数，且， 所以在上是增函数，且， 所以，当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以的解集为{或}. 故选：D. 6．B 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 故选：B. 7．A 【分析】根据函数的周期性以及奇偶性求解即可. 【详解】由得的周期， 所以，， 又因为为奇函数，所以， 由题意得在上的解析式为， 所以，故． 故选：A． 8．B 【分析】根据奇函数，周期函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为函数关于直线对称，所以， 则， ， 所以是周期为的周期函数， 则， 所以 ， 则. 故选：B. 9．B 【分析】根据偶函数的定义逐项分析即可. 【详解】因为 为偶函数， 所以 的图像关于 轴对称，故A错误，B正确， 且 ，故C错误， 不一定有，故D错误， 故选：B. 10．C 【分析】先根据奇函数的性质求解b的值，再代入求解即可. 【详解】因为奇函数的定义域为， 所以，即，解得， 所以，故． 故选：C. 11． 【分析】由已知求出，进而得，据此由内到外计算可求解. 【详解】因为当时，， 所以. 又，所以， 所以. 故答案为：. 12． 【分析】利用偶函数的性质以及函数单调性确定实数的取值范围. 【详解】由偶函数在上单调递减，可得函数在上单调递增， 所以等价于， 可得或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【分析】根据奇函数的定义写出解析式再结合函数图象即可解得. 【详解】当时，，∵为奇函数， ∴当时，， 由，解得，，解得， 据此结合奇函数画出的部分图象如下： 结合图象知． 故答案为：． 14．2 【分析】首先根据函数的奇偶性的定义确定该函数的奇偶性，再由奇偶函数的图像对称性求值即可. 【详解】已知函数 ， 令， 其定义域为，关于原点对称， ， 所以在为奇函数， 所以， 由在区间上的最大值为，最小值为， 所以， 可得， 所以， 故答案为：2. 15． 【分析】由函数的周期性与对称性的定义与判断及其应用，即可求出. 【详解】，， 是周期为的周期函数， 的图象关于直线对称， ， ， 当时，，. 故答案为：. 16． 【分析】换出函数图像，转化为直线与曲线的交点问题，由图像即可解得. 【详解】由题直线与有四个交点， 即有四个交点， 绘制函数图像如下： 可知当，即时， 直线与曲线有四个交点， 故答案为： 17． 【分析】根据函数的奇偶性的定义求值即可. 【详解】已知为定义在R的奇函数， 所以有，所以， ， 且当时，， 所以，. 所以. 故答案为：. 18． 【分析】利用函数的奇偶性与单调性的得到，从而得解. 【详解】由，可得为， 因为为偶函数，则等价为， 在上单调递减，所以，解得. 所以x的取值范围为. 故答案为：. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $