专题5 三角函数的概念及运算（讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 专题5 三角函数的概念及运算 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数的概念及运算 弧度制与几何计算 2026-24 填空 5 三角恒等变换 2026-7 判断 3 三角恒等变换 2025-3 判断 3 三角函数诱导公式 2024-1 判断 3 三角函数定义域 2024-17 单选 5 三角恒等变换 2024-19 填空 5 三角函数诱导公式 2023-12 单选 5 三角恒等变换 2023-22 填空 5 命题轨迹透视： 三角函数的概念及运算为江西三校生对口升学高频考点。诱导公式化简大角、特殊角求值多以选择题出现；三角恒等变换考查和差角、二倍角公式化简计算；三角函数定义域结合根式考查三角不等式；弧度制常结合古代数学情景，考查弧长、弦长综合填空，单题分值均为3- 5分。 1.（2026·江西·真题T07）若 ，则………...............……........………………（A B） 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为：A. 2.（2026·江西·真题T24）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及余弦定理求解即可. 【详解】由已知得，所求的弧田的周长是弧 和弦 的和， 弧 长为， 由余弦定理得， 因此所求弧田的周长为. 故答案为：. 3．（2025·江西·真题T03）.…………………………………………（A B） 【答案】B 【分析】由两角差的余弦公式即可得解. 【详解】. 故答案为：B. 4．（2024·江西·真题T01）……………………………………………………………（A B） 【答案】B 【解析】cos690°=cos(2×360°-30°)=cos30°=.故选B. 5．（2024·江西·真题T17）函数的定义域为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】2sinx-1≥0，sinx≥，根据正弦函数图像易得2kπ+≤x≤2kx+，(k∈Z).故选A. 6.（2024·江西·真题T19）sin75°=________________； 【答案】 【解析】sin75°= sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30°==. 7.（2023·江西·真题T12）tan390°=……………………………………………………………………（ ） A. B. C. D.- 【答案】B 【解析】tan390°=tan(360°+30°)=tan30°=.故选B. 8.（2023·江西·真题T22）若函数，则____________. 【答案】 【解析】因为f(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x， 所以f()=cos(2×)= cos =. 考点 1：三角函数诱导公式 知识点 1 终边相同角 1. sin (α+2kπ)=sinα (k 属于整数 Z) 2. cos (α+2kπ)=cosα (k 属于整数 Z) 3. tan (α+kπ)=tanα  (k 属于整数 Z) 知识点 2 负角诱导公式 1. sin(-α)= -sinα 2. cos(-α)= cosα 3. tan(-α)= -tanα 知识点 3 π±α 诱导公式 1. sin(π+α)=‑sinα， sin(π‑α)=sinα 2. cos(π+α)=‑cosα，cos(π‑α)=‑cosα 3. tan(π+α)=tanα， tan(π‑α)=‑tanα 知识点 4 π/2 ±α 诱导公式 1. sin(π/2+α)=cosα， sin(π/2‑α)=cosα 2. cos(π/2+α)=‑sinα， cos(π/2‑α)=sinα 1. 使用 “奇变偶不变，符号看象限” 时，始终把 α 看作锐角判断符号，不是看 α 真实角度。 2. tan 周期是 π（180°），不是 2π；tan90° 无意义，不能参与计算。 3. 角度制、弧度制不能混用，代入公式计算单位要统一。 知识点 5 特殊角三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosα 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tanα 0 √3/3 1 √3 不存在 1. 容易混淆 sin60° 与 cos60° 数值，记清：sin30°=1/2，cos60°=1/2。 2. 90° 正切不存在，做题遇到要排除该情况。 【考点 2：三角恒等变换】 知识点 1 和角、差角公式 1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 2. sin(α‑β)=sinαcosβ‑cosαsinβ 3. cos(α+β)=cosαcosβ‑sinαsinβ 4. cos(α‑β)=cosαcosβ+sinαsinβ 5. tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1‑tanαtanβ) 6. tan(α‑β)=(tanα‑tanβ)÷(1+tanαtanβ) 知识点 2 二倍角公式 1. sin2α = 2sinαcosα 2. cos2α = cos²α‑sin²α 3. cos2α = 1‑2sin²α 4. cos2α = 2cos²α‑1 5. tan2α = 2tanα÷(1‑tan²α) 知识点 3 同角三角函数基本关系 1. sin²α + cos²α = 1 1. sin (α+β) ≠ sinα+sinβ，三角函数括号不能直接拆开。 2. cos2α 有 3 种形式，根据题目已知条件灵活选用；已知 sinα 优先用 1‑2sin²α。 3. tan 和角、二倍角公式分母不能为 0，做题留意隐含限制条件。 4. cos⁴x‑sin⁴x 因式分解，第一步要用平方差，不要直接四次方展开。 【考点 3：三角函数定义域】 简单三角不等式求解 1. 根式形式定义域：被开方数大于等于 0，列出 sinx≥a 的三角不等式。 2. 结合正弦函数图像写出解集，解集格式：2kπ+… ≤ x ≤ 2kπ+…，k 属于整数 Z。 1. 解集必须带上 k∈Z（k 属于整数），漏掉直接整题失分。 2. 解 sinx≥1/2 这类不等式，不要写成角度制，题干用弧度，解集统一写弧度。 【考点 4：弧度制与几何计算】 弧长与弦长计算 1. 弧长公式：l = α・r（α 为圆心角，单位弧度，r 为半径） 2. 余弦定理求弦长：AB² = r²+r²‑2・r・r・cosα 3. 弧田周长 = 弧长 + 弦长 1. 弧长公式中圆心角必须是弧度，如果题目给角度，先化成弧度再计算。 2. 弧田周长容易只算弧长，忘记加上弦 AB 的长度。 3. 余弦定理开方得到弦长，不要直接保留平方结果。 一、是非选择题 1．（25-26高二下·江西·期中）.......………………（A B） 2．（25-26高一上·江西·期末）.......………………（A B） 3．（25-26高一上·江西·期末）若角是锐角，且，则.......………………（A B） 4．（25-26高三·江西·模拟预测）的值为.......………………（A B） 5．（22-23高三·江西·模拟预测）已知角是第四象限角，，则.......…………（A B） 6．（2025高三·江西·专题练习）已知，且为锐角，则.......…………（A B） 二、单选题 7．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知角，则角位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（24-25高二下·江西抚州·期中）下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·江西·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江西抚州·期中）（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高三·江西·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·江西·期中）已知，是第三象限角，则（    ）. A． B． C． D． 14．（25-26高三下·江西·二模）如图1是第19届亚运会（在我国杭州举办）的会徽“潮涌”，图2是会徽的简化扇形图，若圆心角为，，.则图2中阴影部分的面积等于（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·江西·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（25-26高三上·江西赣州·期末）求值：____________． 17．（25-26高二上·江西赣州·期中）若，且为第二象限角，______ 18．（25-26高二下·江西·期中）已知，且，则__________. 19．（2025高三·江西·专题练习）已知，，则的值为___________. 四、解答题 20．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知一个扇形的圆心角为，半径为，求这个扇形的弧长和面积. 21． （25-26高二上·江西赣州·期中）若，且为第三象限角，求和. 22． （2025高三·江西·专题练习）写出在之间与的角终边相同的角． 23．（25-26高二下·江西·期中）已知，，并且和都是第一象限角，求，的值； 参考答案： 1．B 【分析】根据两角和的正弦公式判断即可. 【详解】 . 故答案为：B. 2．A 【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值可确定答案． 【详解】 . 故答案为：A. 3．A 【分析】根据同角三角函数公式及三角函数值符号性质确定答案． 【详解】若角是锐角，， 则. 故答案为：A. 4．A 【分析】根据诱导公式及两角和正弦易得答案. 【详解】 ， 故答案为：A. 5．A 【分析】利用同角三角函数基本关系式求解. 【详解】根据同角三角函数基本关系式，有，解得， 因为角是第四象限角，，所以. 故答案为：A. 6．B 【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：B. 7．C 【分析】根据象限角的概念与范围即可解答. 【详解】已知角， 所以角与终边相同， 因为， 所以角位于第三象限， 故选：C. 8．D 【分析】根据两角差的余弦公式、两角差的正弦公式可求解. 【详解】由两角差的余弦公式 可得选项A、B不正确； 由两角差的正弦公式 可得选项C不正确，选项D正确. 故选：D. 9．A 【分析】根据两角和的正弦公式求解. 【详解】， 故选：A. 10．D 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：D. 11．B 【分析】由诱导公式即可得解. 【详解】. 故选:. 12．D 【分析】根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】已知是第二象限角，， 则， 故选：D. 13．C 【分析】根据同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】已知，是第三象限角，则. 则. 故选：C. 14．D 【分析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； 又∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； ∴阴影部分的面积为. 故选：D. 15．B 【分析】根据偶次方根的被开方数大于或等于零，再结合正切函数的图像及性质求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则需满足，解得：， 所以函数的定义域为 . 故选：B. 16． 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】 ， 故答案为：. 17．/ 【分析】根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】已知，且为第二象限角， 则， 故答案为：. 18． 【分析】根据三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】，所以. 已知，则. 因此. 故答案为：. 19．0 【分析】根据两角和与差的余弦公式易得答案. 【详解】①， ②， 由①+②得：， ， 故答案为：. 20．弧长为，面积为. 【分析】根据题意结合弧长公式及面积公式即可得解. 【详解】一个扇形的圆心角为，半径为， 则扇形的弧长为；面积为， 21． 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以， . 22． 【分析】根据终边相同的角的概念及表示，即可求解. 【详解】由题意，与的角终边相同的角的集合为， 又， 所以时，. 即在之间与的角终边相同的角是． 23． 【分析】根据两角差的正弦公式与两角和的余弦公式求值即可. 【详解】因为，，并且和都是第一象限角， 所以，. 因此. . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $