专题4 指数函数与对数函数 （讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数函数与对数函数的概念及性质 对数函数求定义域（结合一元二次不等式） 2025T20 填空 5 对数的运算化简 2023T01 判断 3 指数函数图像辨析（含平移型） 2023T17 单选 5 指数、对数数值比较大小 2022T02 判断 3 同底指数、对数函数图像匹配判断 2022T16 单选 5 指数函数与对数函数的综合应用 结合奇函数性质求参数，利用指数单调性解不等式 2026T27 解答 8 代入点求参数，指数复合二次函数求值域 2025T26 解答 8 函数求值，利用单调性脱去 f 符号解抽象不等式 2024T26 解答 8 代入点求底数参数，利用单调性解抽象不等式 2023T27 解答 8 求对数函数解析式，利用单调性求解参数范围 2022T27 解答 8 专题4 指数函数与对数函数 命题轨迹透视： 本专题属于必考重点模块。 1、 指数函数与对数函数的概念及性质以选择、填空题考查；主要考点包含对数定义域求解、对数运算、函数图像辨析、指数对数比较大小。 2、 指数函数与对数函数的综合应用每年设置一道解答大题，题型套路固定，第一小问代入点或者结合函数性质求解参数、解析式；第二小问利用函数单调性解抽象不等式，或者复合函数求解值域； 3、 大题常与奇函数、二次函数相结合，解题时必须优先考虑函数定义域。 【考点1：指数函数与对数函数的概念及性质】 1.（2025·江西·真题T20）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数的定义域为. 故答案为：. 2.（2023·江西·真题T01）……………………………………………………（A B） 【答案】B 【解析】log38-log36=log3=log3 .故选B. 3.（2023·江西·真题T17）已知函数，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当a>1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递增，且过定点(0,1-a)，此时1-a<0，图象与y轴交点在y轴下方，B选项符合；当0<a<1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递减，且过定点(0,1-a)，此时0<1-a<1，图象与y轴交点在y轴上方且在0到1之间，无选项符合.故选B. 4.（2022·江西·真题T02）已知，，则……………………………………（A B） 【答案】A 【解析】∵a=20.1>20=1，∴a>1，又∵b=log20.1<log21=0，∴b<0，所以a>b.故选A. 5.（2022·江西·真题T16）函数（且）与在同一个坐标系的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在函数y=logax(a>0且a≠1)与y=ax中，当a>1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递增， 函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递增，倾斜角大于45°，D选项不符，C选项符合. 当0<a<1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递减，函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递减， 倾斜角小于45°，A、B选项均不符.故选C. 知识点 1 指数幂运算 掌握实数指数幂运算法则，a>0，进行有理数指数幂运算。 知识点 2 指数函数 1、定义：y = a^x （a>0，a≠1），函数图像过定点 (0,1)。 2、当 a>1 时，函数在 R 上单调递增；当 0<a<1 时，函数在 R 上单调递减。 知识点 3 对数相关概念与运算 1、log (a) u，必须满足真数 u>0，这是求解对数函数定义域的核心条件。 常用对数：lg x = log (10) x 自然对数：ln x = log (e) x 2、对数减法运算法则：log (a) M － log (a) N = log (a)(M/N) 知识点 4 对数函数 1、定义：y = log (a) x （a>0，a≠1），函数图像过定点 (1,0)。 2、当 a>1，函数在 (0,+∞) 上单调递增；当 0<a<1，函数在 (0,+∞) 上单调递减。 3、底数 a 相同时，指数函数与对数函数增减性保持一致。 知识点 5 比较大小 通常选取 0、1 作为中间量分组判断：大于 1、0 到 1 之间、小于 0。 1、求对数函数定义域，务必保证真数大于 0，不要遗漏约束条件。 2、图像判断题，同一道题目里面底数 a 必须统一，指数、对数函数同增或者同减。 一、是非选择题 1．（2025高三·江西·专题练习）已知，则…………（A B） 2．（2025高三·江西·专题练习） …………（A B） 3．（25-26高一下·江西·期中）…………（A B） 4．（25-26高三下·江西·三模）函数在区间上的最大值是…………（A B） 二、单选题 5．（23-24高一下·江西赣州·期末）函数（且）的图像必经过点（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江西九江）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江西·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·江西·专题练习）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   9．（2025高三·江西·专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一下·江西赣州·阶段检测）______． 11．函数的定义域为______． 12．（2025高三·江西·专题练习）函数的定义域为_____________. 13．（23-24高三上·江西赣州·开学考试）不等式的解集是___________． 参考答案： 1．A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求解. 【详解】因为，即， 又因为，所以， 故答案为：A. 2．B 【分析】根据对数函数的运算法则可得答案. 【详解】， 故答案为：B. 3．B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以在上单调递减， 因为，所以， 故答案为：B. 4．B 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为在定义域上为减函数， 所以函数在区间的最大值为. 故答案为：B. 5．D 【分析】应用零指数幂公式，令即可确定图像过的定点. 【详解】已知函数， 令，即时，， 所以函数（且）的图像必经过点. 故选：D． 6．A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】选项A中，，故正确； 选项B中，，故错误； 选项C中，，故错误； 选项D中，，故错误. 故选：. 7．B 【分析】根据函数的解析式，分段求每部分的值域，再求并集即可. 【详解】当时，； 当时，，所以. 综上所述，函数的值域为. 故选：B 8．B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 9．B 【分析】根据题意，结合对数式、分式、根式有意义需满足的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 10．1 【分析】利用对数运算的方法，即可求解. 【详解】. 故答案为：1. 11． 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数的定义域为. 故答案为：. 12． 【分析】根据对数真数满足的条件易得答案. 【详解】由题意，即，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 13． 【分析】根据指数函数的单调性得到一元二次不等式易得答案. 【详解】因为， 因为在定义域上是减函数， 所以， 解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【考点2：指数函数与对数函数的综合应用】 1.（2026·江西·真题T27）已知函数在上为奇函数， （1）求 的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质分析求解即可. （2）根据指数函数的单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为函数在上为奇函数， 所以，即， 即有，得， 即，因为，所以解得： . 【小问2详解】 由 得，所以不等式为，化为，解得 ， 所求不等式的解集为. 2.（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. （2）令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 3.（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 【答案】(1)19；(2)(log32，+∞). 【解析】(1)f(8)=2×8+log28=16+3=19； (2)因为f(x)=2x+log2x为(0，+∞)上的增函数，由f(3x+2)<f(9x)得3x+2<9x，令3x=t(t>0)， 有t+2<t2，解得t>2或<-1(舍去)，即3x>2，x>log32，故不等式f(3x+2)<f(9x)的解集为(log32，+∞). 4.（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）a=2；（2）(-2,1). 【解析】（1）由f(2)=8，得a2+2a=8，解得a=2或a=-4（舍去），∴a=2； （2）由（1）知f(x)=2x+2x，易知f(x)为定义在R上的增函数，所以当f(x2)<f(2-x)时， x2<2-x，解得-2<x<1，所以f(x2)<f(2-x)的解集为(-2,1). 5.（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)=log2x+1；（2）(1,3). 【解析】（1）依题意有，解得，所以f(x)=log2x+1； （2）由f(m-1)<f(2)，得log2(m-1)+1<log22+1，即log2(m-1)<log22，所以0<m-1<2，得1<m<3， 所以m的取值范围是(1,3). 知识点 1 求参数、求解析式 1、函数图像经过某点，直接把点坐标代入函数表达式，列方程求解参数。 2、奇函数性质：如果 x=0 在定义域内，则 f (0)=0，利用该式求参数；解出参数后必须检验底数条件 a>0，a≠1，舍去不符合条件的解。 知识点 2 利用单调性解抽象不等式 1、若函数在定义域内单调递增：f (x1) < f (x2) 可以推出 x1 < x2。 2、进行转化的时候，x1、x2 都必须满足函数自身的定义域要求。 知识点 3 复合函数求值域（外层为指数或对数函数，内层为二次函数） 1、先计算内层二次函数在给定区间上的取值范围。 2、把内层结果作为外层函数的自变量，结合外层指数、对数函数单调性求出最终值域；计算顺序不能颠倒。 1、解抽象不等式脱掉 f ( ) 外壳，很容易忽略定义域，造成解集范围扩大。 2、复合函数求值域，计算顺序必须由内向外，先算内层，再算外层。 3、求解底数参数之后，要舍去 a<=0 以及 a=1 的无效解。 一、单选题 1．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数且恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三上·江西赣州·期中）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一下·江西赣州·阶段检测）指数函数的图像过，则的值为（   ） A．4 B．8 C．1 D． 4．（22-23高一下·江西·期末）函数的值域是（      ）. A． B． C． D． 5．（23-24高三下·江西·模拟预测）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·江西·模拟预测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数，则______．（用“”“”或“”填空） 8．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段检测）方程的解为______． 9．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）若，则的取值范围是________． 三、解答题 10．（24-25高一下·江西·期末）若函数且经过点，. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 11．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 12．（23-24高三下·江西·模拟预测）已知函数且，且． (1)求的值； (2)解不等式：． 13．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，函数在上的最小值为，求实数的值. 14．已知指数函数的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围． 15．（2025高三·江西·专题练习）知函数． (1)求的定义域； (2)若，求的取值范围. 16．已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)解不等式. 17．已知函数的图像经过点. (1)求的值； (2)设函数，求不等式的解集. 18．（24-25高三上·江西·模拟预测）已知且. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)已知，若时，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 1．D 【分析】根据对数的性质且即可确定定点. 【详解】已知函数且， 当，时， ， 所以函数且恒过定点. 故选：D. 2．A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 3．D 【分析】设指数函数，由条件求出，得的解析式，然后代入求值即可. 【详解】由题意，设指数函数（且）， ∵的图像过， ∴，解得，从而， ∴. 故选：D. 4．C 【分析】根据指数函数的性质求解值域即可. 【详解】函数为指数函数，因为恒成立， 所以函数的值域为， 故选：C. 5．D 【分析】根据对数函数的单调性和一次函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】已知函数在上为减函数， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 6．D 【分析】根据分段函数各段函数的性质及定义域求出其值域即可. 【详解】当时，， 因为是指数函数，在定义域内为增函数， 当时，，故，即， 当时，为二次函数，开口向上，对称轴为， 最小值为，故， 综述，的值域为. 故选：D. 7． 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】∵函数在上单调递减，且， ∴. 故答案为：. 8． 【分析】根据对数式与指数式的互化，解方程即可得解. 【详解】方程，整理得，解得， 故答案为：. 9． 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】已知在上为增函数， 由， 得，即， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10．(1) (2) 【分析】（1）将点，代入函数中，列方程求解即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）已知函数且， 由函数经过点，，得， 解得， 所以. （2）由（1）可知，， 由，得， 所以，即， 因为在上为增函数， 所以，即的取值范围为. 11．(1) (2) 【分析】（1）将点代入直线方程求实数的值； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）因为直线经过点， 将点代入直线方程中， 可得，即， 解得． （2）由（1）知， 则可化为． 因为对数函数在上单调递增， 当时， 有，解得． 综上可知，不等式的解集为． 12．(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式联立解方程组即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数且， 且， 则 解得或（舍）， 所以． （2）由（1）得， 则函数在R上单调递增， 又，则， 即，令， 则，即， 解得，则， 因为为增函数，且， 所以， 故不等式的解集为． 13．(1)1 (2). 【分析】（1）直接运用对数的运算性质可得所求值； （2）先分析得为内函数的增区间，进而得到，从而解方程即可得解. 【详解】（1）当时，. （2）因为，函数在上的最小值为， 令，可得的对称轴为， 所以区间为函数的增区间， 即函数在上是增函数， 所以， 故，则. 14．(1). (2). 【分析】（）设出指数函数解析式，将点代入解析式中即可得解. （）根据指数函数的单调性列出不等式即可得解. 【详解】（1）设指数函数的解析式为且， 因为指数函数的图像经过点， 所以，解得， 所以. （2）因为，底数， 所以函数在上为减函数， 因为，所以， 解得， 所以x的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义域求解即可. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1），，解得， 因此，函数的定义域为； （2），且函数在上单调递增， 所以，解得，因此，的取值范围是． 16．(1). (2). 【分析】（）根据题意结合指数函数的单调性列出不等式即可得解. （）根据题意结合对数函数的性质列出不等式组即可得解. 【详解】（1）∵，∴， 因为函数，底数，所以函数在上为减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由（1）知，所以函数在定义域上为增函数， 不等式，解得， ∴解集为. 17．(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）∵函数的图像经过点， ∴，解得； （2）由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 18．(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，计算得到； （2）由对数函数性质和确定单调性，再根据恒成立列出式子，计算得到的取值范围. 【详解】（1）函数的图像经过点， 可得，故， 即， 因此解为或（舍去）. （2）因为，则在定义域内单调递增， 时，恒成立，可得 ， 即， 结合，解得 故实数的取值范围为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $