第15卷 简单几何体 - 2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 简单几何体 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．正四棱柱的底面边长为，高为，则其体对角线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱的体对角线公式即可得解. 【详解】正四棱柱的底面边长为，高为， 则其体对角线长为， 故选：. 2．一个正方体的外接球半径为，则该正方体的体积为（     ） A．8 B．16 C．27 D．64 【答案】A 【分析】根据正方体外接球的性质、正方体体积求解即可. 【详解】设棱长为. 因为一个正方体的外接球半径为，则，解得. 则体积为. 故选：A. 3．根据三视图判断对应的几何体为（    ）.    A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球 【答案】B 【分析】根据三视图的概念，依次判断各选项的三视图可得结果. 【详解】对于选项A：圆柱的主、左视图为矩形，俯视图为圆形，与题中三视图不符，故选项错误； 对于选项B：圆锥的主、左视图为等腰三角形，俯视图为圆形，与题中三视图符合，故选项正确； 对于选项C：三棱柱有两个视图为矩形，一个视图为三角形，与题中三视图不符，故选项错误； 对于选项D：球体的三视图都是圆形，与题中三视图不符，故选项错误. 故选：B 4．下列条件中，能判定平面∥平面的是（    ） A．平面内有无数条直线与平面平行 B．平面内有两条平行直线与平面平行 C．平面与平面都垂直于同一条直线 D．平面与平面都平行于同一条直线 【答案】C 【分析】利用平面与平面平行的性质进行判断. 【详解】选项A，平面内有无数条直线与平面平行，则平面与平面可能垂直，错误； 选项B，平面内有两条平行直线与平面平行，则平面与平面可能垂直，错误； 选项C ，“两平面都垂直于同一条直线”，则两平面无公共点，即平行，正确； 选项D，平面与平面都平行于同一条直线，则平面与平面可能垂直，错误. 故选： C . 5．已知正方体，则异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质找到异面直线所成角即可得解. 【详解】如图所示，连接，    因为在正方体中，， 所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为在正方体中，， 所以为等边三角形，则， 所以异面直线与所成角为， 故选：. 6．下列说法不正确的是（    ）． A．平行于同一条直线的两直线平行 B．垂直于同一个平面的两直线平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【分析】根据平行公理判断A；根据直线与平面垂直的性质B；根据平面与平面平行的判定方法判断C；根据空间中两直线的位置关系判断D. 【详解】选项A：根据平行公理，在空间中，平行于同一条直线的两直线平行，所以该选项正确； 选项B：根据直线与平面垂直的性质可知，垂直于同一个平面的两直线平行，该选项正确； 选项C：根据平面与平面平行的判定可知，平行于同一个平面的两平面平行，该选项正确； 选项D：在空间中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、相交或异面，所以该选项错误， 故选：D. 7．点到平面的垂足为，，，.则与所成角为（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的定义计算即可. 【详解】根据题意如图： ，是在平面内投影， 则为与平面所成角. 中，，，则， 因为，则. 故选：. 8．如图，已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长这一性质，建立母线长与底面半径的等量关系求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为. 由题意可知，圆锥的底面半径. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的弧长为. 又因为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长， 所以. 将代入上式，得. 解得. 故圆锥的母线长为. 故选：D. 9．已知正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线所成的角可知为与所成角，根据三棱柱的结构特征以及余弦定理即可求解. 【详解】连接，如下图所示： 因为，所以为与所成角， 设，则， 所以， ， 所以. 故选：A. 10．已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的垂直与平行的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】选项A：若，，则直线与平面的位置关系可能为或，故A错误. 选项B：若，，则直线与平面的位置关系可能为、相交或，故B错误. 选项C：若，，则直线的位置为或，故C错误. 选项D：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，即若，，则，故D正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】因为两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形. 故答案为：锐角. 12．某图书馆有10根圆柱支撑着屋顶，每根圆柱的底面直径为0.8米，高为5米.现要对这些圆柱的侧面全部进行美化施工，已知每平方米施工费用为50元，则共需施工费用____________元.（取） 【答案】 6280 【分析】先根据圆柱侧面积公式计算单根圆柱的侧面积，再求10根圆柱的总侧面积，最后乘以每平方米施工费用得到总施工费用. 【详解】由题意，圆柱的底面直径为0.8米，则半径米，高为米. 故1根圆柱的侧面积. 则10根圆柱的总侧面积. 因为每平方米施工费用为50元，因此总费用为元. 故答案为：6280. 13．已知点分别是空间四边形中边上的中点，若对角线，则四边形 是_______. 【答案】正方形 【分析】根据中位线定理结合正方形的概念即可解得. 【详解】   为中点，在中，在中，； 则，且， 同理，且 ， 由得 ，且得， 因此是邻边相等且一角为直角的平行四边形，即为正方形. 故答案为：正方形 14．若斜线与平面所成角为，为斜足，，则到平面的距离为______. 【答案】6 【分析】根据直线与平面所成角的定义，运用三角函数求解点到平面的距离. 【详解】设点在平面上的射影为，连接， 则的长度是点到平面的距离，是斜线与平面所成的角，即， 在中，，， 可得：， 故答案为：6. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．一个几何体的三视图如图所示．    (1)请说明该几何体的组成部分； (2)求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)答案见详解 (2)该几何体的体积为 ，表面积为 【分析】（1）根据题意，结合几何体的三视图，及棱柱、棱锥的几何结构特征，即可求解； （2）根据题意，结合棱柱、棱锥的体积和表面积的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由三视图可知，该几何体由上部的正四棱锥（底面边长为4，高为2）和下部的正方体（棱长为4）组成，如下图所示：    （2）由三视图可知，正四棱锥的底面边长为4，高为2，正方体的棱长为4， 所以该几何体的体积； 正四棱锥的斜高， 所以该几何体的表面积. 16．如图所示，在四棱锥中，已知，，，，且平面，．    (1)求线段的长； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题意利用余弦定理即可得解. （）根据题意找到直线与平面所成角即可得解. （）根据题意利用直线与平面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）由题意可知，在中，，，， 则由余弦定理可知，， 所以. （2）因为平面，所以是在平面的射影， 则是直线与平面所成的角， 则. （3）因为平面，平面，则， 又因为，，平面， 所以平面， 平面，则， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则二面角的大小为. 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； （2）先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； （3）利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】（1） 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中， OD为中位线， 所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； （2）因为 是正三角形，D为AC中点， 所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （3）已知正三棱柱所有棱长均为2， 在正三角形中，， ， 平面， ， ， 设点A到面的距离为h， . 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 简单几何体 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．正四棱柱的底面边长为，高为，则其体对角线长为（     ） A． B． C． D． 2．一个正方体的外接球半径为，则该正方体的体积为（     ） A．8 B．16 C．27 D．64 3．根据三视图判断对应的几何体为（    ）.    A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球 4．下列条件中，能判定平面∥平面的是（    ） A．平面内有无数条直线与平面平行 B．平面内有两条平行直线与平面平行 C．平面与平面都垂直于同一条直线 D．平面与平面都平行于同一条直线 5．已知正方体，则异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法不正确的是（    ）． A．平行于同一条直线的两直线平行 B．垂直于同一个平面的两直线平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．垂直于同一条直线的两直线平行 7．点到平面的垂足为，，，.则与所成角为（　　）. A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 12．某图书馆有10根圆柱支撑着屋顶，每根圆柱的底面直径为0.8米，高为5米.现要对这些圆柱的侧面全部进行美化施工，已知每平方米施工费用为50元，则共需施工费用____________元.（取） 13．已知点分别是空间四边形中边上的中点，若对角线，则四边形 是_______. 14．若斜线与平面所成角为，为斜足，，则到平面的距离为______. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．一个几何体的三视图如图所示．    (1)请说明该几何体的组成部分； (2)求该几何体的体积和表面积． 16．如图所示，在四棱锥中，已知，，，，且平面，．    (1)求线段的长； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)若，求二面角的大小． 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $