第12卷 直线与圆锥曲线 - 2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 直线与圆锥曲线 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 2．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，结合一元二次方程根的判别式，即可求解. 【详解】因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以，消元化简得， 所以，解得， 即斜率k的取值范围是. 故选：C. 3．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据直线垂直于轴，以及交抛物线的弦长，得到交点坐标和直线方程，结合抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴，交抛物线于两点，且， 所以， 代入抛物线，即，故直线为， 抛物线的焦点为，准线为， 即抛物线的焦点到直线的距离是， 故选：D 4．已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论. 【详解】解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，化为， ，解得， 点P到直线x-2y+10=0的距离最小，故时，， 解得，， . 故选：C. 5．双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，若，则双曲线C的实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，先由抛物线方程求得其准线，再利用双曲线的方程求得参数，从而得解. 【详解】 由题意，抛物线的准线， 所以将代入双曲线方程得：， 因为，所以， 故双曲线的实轴长， 故选：C 6．与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行设切线方程，联立切线与抛物线方程即可求解. 【详解】解：由题意得，设切线方程为 ． 联立消去可得， ． 因为直线与抛物线相切， 所以， 解得. 所以切线方程为. 故选 ：C 7．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的值. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则， 将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得， 则，解得. 故选：C. 8．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 9．已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，直线方程为， 联立，消去，得，所以， 所以， 因为、中点横坐标为3，所以， 故，又，所以的取值范围为． 故选：A． 10．椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，，再根据条件列式求解. 【详解】由题意可知，，，且点是线段的中点， 所以，则，解得：， 所以椭圆方程为. 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知椭圆有两个顶点在直线上，则该椭圆的焦点坐标是___________． 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴交点，利用椭圆的关系求焦点即可. 【详解】，当时，，当时，， 则直线与轴交点，与轴交点， 则，， 则该椭圆的焦点坐标是. 故答案为：. 12．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为______． 【答案】/1.8 【分析】利用双曲线的定义及性质计算点纵坐标即可. 【详解】由题意不妨令，设， 由，得，即在以为直径的圆上，可知：， 联立，所以. 故答案为： 13．抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________ ; 弦AB的长为_________ ． 【答案】 4 【分析】先根据准线过（-2，2），可求，然后联立直线和抛物线方程，结合韦达定理可求弦长. 【详解】因为抛物线：的准线过（-2，2），所以，即. 由题意得直线，联立得， 设，则. 弦长. 故答案为： 4     . 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦长可由公式求得，侧重考查数学运算的核心素养. 14．过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线有________条． 【答案】4 【分析】设直线，与双曲线方程联立，根据交点只有一个求参数的取值，判断直线的个数. 【详解】设直线与双曲线方程联立 即 ， 当时，即时，此时方程只有一解，满足条件； 当时， 解得：， 当不存在时，不满足条件； 综上可知，满足条件的有或，共4条直线. 故答案为：4 【点睛】本题考查已知直线与双曲线的交点个数，判断满足条件的直线条数，意在考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题型. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点坐标，得到，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，联立直线方程和椭圆方程，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得， 即椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，联立直线方程与椭圆方程， 消得：， 根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，可化为， 解得. 16．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据双曲线上的点求出，再代入已知离心率，根据双曲线之间的关系即可解得. （2）设出交点坐标，根据中点坐标列出等式再代入双曲线方程，结合直线的点斜式方程即可解得. 【详解】（1）双曲线经过点，，且焦点在x轴， ， 双曲线的标准方程为. （2）设，点为的中点， ， 两点在双曲线上，， 两式相减整理得， ，即直线的斜率为2， 由点斜式方程可得， 即直线的方程为. 17．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质即可求解. （2）根据倾斜角与斜率的关系，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】（1）因为抛物线方程为， 所以，其准线方程为，焦点. 设，， 由抛物线的定义可知，， 因为， 所以， 将其代入，解得， 所以点A的坐标为或. （2）因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为1. 因为直线l经过抛物线的焦点， 所以直线l的方程为. 将其与抛物线方程联立，得， 整理得， 由韦达定理可知，， 由抛物线的定义可知，. 所以线段AB的长是8. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 直线与圆锥曲线 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 2．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 5．双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，若，则双曲线C的实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（        ） A． B． C． D． 7．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．已知椭圆有两个顶点在直线上，则该椭圆的焦点坐标是___________． 12．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为______． 13．抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________ ; 弦AB的长为_________ ． 14．过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线有________条． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 16．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 17．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $