第五单元 圆锥曲线（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五单元 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．动点到的距离和为，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的标准方程即可. 【详解】因为两个定点与之间的距离为8， 且动点到的距离和为， 所以这个动点的轨迹是椭圆，其中焦点为与，在x轴上， 则，由到两个定点与的距离之和等于10， 可知，所以，则， 所以这个动点的轨迹方程是. 故选：A. 2．平面内一点到，的距离和为，则点的轨迹的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，然后求出椭圆的参数、，进而得到椭圆的标准方程. 【详解】已知平面内一点到，的距离和为，且， 因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 已知点到，的距离和为，所以，则； 又因为，，所以， 可得，则， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 3．若椭圆的两个焦点在轴上，且半焦距，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆中的关系求解． 【详解】椭圆的两个焦点在轴上，于是，且， 由，得，解得. 故选：C. 4．椭圆的焦距与短轴长分别为（　　） A．焦距为，短轴长为 B．焦距为，短轴长为 C．焦距为，短轴长为 D．焦距为，短轴长为 【答案】C 【分析】先根据椭圆的标准方程求解的值，再由的关系求解的值，由此求解即可. 【详解】椭圆中， 则，即 所以， 则，即， 故椭圆的焦距为，短轴长为 故选：C. 5．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上与长轴两个顶点不重合的点，则 的最大面积为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】椭圆中焦距固定，高就是点P纵坐标的绝对值，据此即可求解. 【详解】椭圆中， ， 椭圆中焦距固定，高就是点P纵坐标的绝对值， 当点P与短轴的顶点重合时，三角形面积最大， 此时，的最大面积为：， 故选：A 6．设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用焦点在轴上的双曲线方程的特点，列出不等式组，结合象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是焦点在轴上的双曲线， 则，因为，则， 故选：. 7．方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：C. 8．双曲线上一点P到左焦点的距离是18，则点P到右焦点的距离是（   ） A．2 B．34 C．8 D．2或34 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】∵双曲线为，其中，则，即， 由双曲线的定义可知，， ∵双曲线上一点P到左焦点的距离是18， ∴，即， 解得或. 故选：D. 9．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定焦点，再由双曲线的焦点列方程求解即可. 【详解】已知椭圆， 则，其焦点为， 所以双曲线的焦点为， 则，则，解得， 因为为正实数，所以， 故选：D. 10．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标即可求得. 【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 将点代入，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即， 故选：A. 11．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程求出参数的值，进而确定抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，且准线方程为， 则抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 已知准线方程为，则可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 12．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切的性质、抛物线的定义及标准方程求解. 【详解】因为动圆M经过定点，且和直线相切， 所以点M到点的距离等于它到直线的距离， 又点不在直线上， 所以M的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线． 设抛物线方程为，则，解得， 故点M的轨迹方程为， 故选：B． 13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解. 【详解】    设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，， 由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为， 故选：. 14．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 15．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到直线的距离为. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 【答案】5 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的焦点位置，进而求出的值. 【详解】因为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 易知，，即，， 所以. 故答案为：5. 17．已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义判断出动点P的轨迹，结合题意求出的值即可求解. 【详解】由题意得， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线， 因为焦点在轴上，设双曲线方程为， 又，所以， 又能构成三角形，所以不能在轴上，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 18．已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 【答案】2 【分析】根据焦距求出值，利用渐近线方程得到，代入即可求解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上， 焦距为，即，解得， 一条渐近线的方程为，即， 则，解得， 故答案为：. 19．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 【答案】6 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，则其准线方程为， 设，因为线段中点的横坐标为2， 所以，则， 所以. 故答案为：6. 20．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再根据两平行直线之间的距离计算即可求解. 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 联立，消y可得，， 由相切可得，解得， ∴与直线平行且与抛物线相切的直线为， 即两直线化为一般式为，以及 ∴两平行直线之间的距离为， ∴到直线距离的最小值为． 故答案为：.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦距； (2)求椭圆的离心率. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为 (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距的定义求解； （2）根据椭圆的离心率公式求解. 【详解】（1）已知椭圆方程，设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距， 因为，所以该椭圆的焦点在轴上，且，， 所以，，从而， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦距为. （2）因为，，， 所以椭圆的离心率为. 22．已知椭圆C的两焦点分别为、，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点且斜率为1的直线交椭圆C于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆的性质求出的值即可得解. （）根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组，代入弦长公式即可得解. 【详解】（1）由、，长轴长为6，得：，， 则，所以， 椭圆方程为. （2）过点且斜率为1的直线方程为，则， 联立方程组， 设， ，， 又 ． 23．已知双曲线的焦点在x轴上，两顶点的距离为6，一条渐近线经过点 (1)求此双曲线方程； (2)设双曲线的焦点分别为，点M是双曲线上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长为结合渐近线公式求出的值即可. （2）设，再由余弦定理列方程求解，并由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由两顶点的距离为6得， ，一条渐近线经过点， 即，则，因为， 所以， 故双曲线方程为. （2）双曲线中，， 设，则， ①， 在中，由余弦定理得， 即②， 由②－①得， 故的面积. 24．已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，再将点代入方程求解即可. （2）根据抛物线的定义确定点A的纵坐标，再将其代入抛物线方程求解即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 将点代入得，， 解得，则抛物线的标准方程为. （2）由此抛物线上一点A到焦点的距离为， 可得， 因为抛物线开口向下，所以， 代入，得 解得， 故点A的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五单元 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．动点到的距离和为，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 2．平面内一点到，的距离和为，则点的轨迹的标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．若椭圆的两个焦点在轴上，且半焦距，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆的焦距与短轴长分别为（　　） A．焦距为，短轴长为 B．焦距为，短轴长为 C．焦距为，短轴长为 D．焦距为，短轴长为 5．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上与长轴两个顶点不重合的点，则 的最大面积为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 6．设，若是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 7．方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．双曲线上一点P到左焦点的距离是18，则点P到右焦点的距离是（   ） A．2 B．34 C．8 D．2或34 9．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数m为（    ） A． B． C． D．1 10．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 12．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 14．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 15．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 17．已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 18．已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 19．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 20．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦距； (2)求椭圆的离心率. 22．已知椭圆C的两焦点分别为、，长轴长为6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点且斜率为1的直线交椭圆C于两点，求线段的长． 23．已知双曲线的焦点在x轴上，两顶点的距离为6，一条渐近线经过点 (1)求此双曲线方程； (2)设双曲线的焦点分别为，点M是双曲线上一点，且，求的面积. 24．已知某抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点. (1)求此抛物线的标准方程； (2)若此抛物线上一点A到焦点的距离为，求点A的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $