第四单元 平面向量（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四单元 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 2．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 3．设，是任一非零向量，则在下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 正确结论的序号是（   ） A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤ 4．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 5．在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 6．在中，，，若点满足，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D．或 9．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 10．已知三点共线，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 12．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 13．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 14．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 15．已知向量，且，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量不共线，且，则实数___________. 17．平面向量，，则_________ 18．已知向量，，，若与共线，则________. 19．已知向量，，，若，则_______． 20．已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．化简： (1)； (2). 22．已知，，求： (1) (2). 23．已知平面向量且 (1)若，求的值; (2)若与共线，求实数的值. 24．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四单元 平面向量 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．下列命题正确的是（ ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的相关概念逐项判断即可得解. 【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误， 对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误， 对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误； 对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确. 故选：D. 2．如图所示，在平行四边形中，已知，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】由题意，，， 故. 故选：B. 3．设，是任一非零向量，则在下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 正确结论的序号是（   ） A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可求出，结合零向量的定义和性质分析即可. 【详解】， 又因为是任一非零向量， 所以，，， 所以①③⑤正确. 故选：D. 4．如图所示，在平行四边形中，设向量，则向量（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】在平行四边形中，向量， 所以，解得． 故选：C. 5．在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由向量的减法法则及相等向量即可得解. 【详解】因为，则，即， 可知，两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 6．在中，，，若点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ， . 所以   7．如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则， 因此，. 8．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 9．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出，再根据向量相等的坐标表示列出方程，即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 10．已知三点共线，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量共线原理列式求解即可； 【详解】因为 因为三点共线， 所以与共线， 所以，解得. 故选：D 11．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，可建立适当的直角坐标系，表示出向量的坐标，结合向量线性运算和向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】    由题意，以向量在正方形网格中的起点为原点建立直角坐标系（如图所示）， 则，所以， 所以. 故选：B. 12．已知向量，共线，且，，则的最大值（   ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】A 【分析】根据向量共线，以及向量的模求解即可. 【详解】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为. 故选：A. 13．已知，的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意，， 故选：A. 14．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量内积公式求出两向量夹角的余弦值，再根据夹角的取值范围确定夹角的大小. 【详解】设向量与的夹角为，已知， 由，可得，解得， 因为，所以， 故选：C. 15．已知向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量不共线，且，则实数___________. 【答案】 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 因为， 则存在实数，使得： 整理得： 因为不共线，根据平面向量基本定理， 得方程组： ， 解得，代入得. 17．平面向量，，则_________ 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】平面向量，， 则，所以， 故答案为：. 18．已知向量，，，若与共线，则________. 【答案】1 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求解. 【详解】已知向量，， 则，， 若与共线，且， 则，解得， 故答案为：1． 19．已知向量，，，若，则_______． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示直接求解即可. 【详解】根据题意，， 又因为，则， 解得. 故答案为： 20．已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量加减法运算法则计算即可. （1）原式 . （2） . 22．已知，，求： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 23．已知平面向量且 (1)若，求的值; (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则先求出，由此能求出的值． （2）求出，由与共线，由此能求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为 所以， 因为与共线，所以，解得. 24．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. （1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $