第六单元 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六单元 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知空间中三条直线a，b，c与平面分别交于不同的三点A，B，C，则“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】    如图所述，空间中三条直线分别于平面交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面，故充分性不成立； 若共面，设该平面为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面的交线上，所以三点共线，故必要性成立， 所以“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的必要不充分条件， 故选：. 2．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】连接，根据正方体的特点以及点E、F、G、H是棱的中点，证明是梯形，即可得到直线与相交. 【详解】    连接， ∵是正方体， ∴且，即是矩形， 则， 依题意，是的中点，是的中点， 所以，. 又因为是的中点，是的中点， 所以在中，且. 得到. 因此是梯形，故直线与相交. 故选：B. 3．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，根据，证得，即可求解. 如图所示，取的中点，连接， 因为，且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以， 又由，所以，所以， 即，所以异面直线与所成的角为. 故选：D. 4．正四棱锥的所有棱长相等，均为1，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，利用正四棱锥的性质找到异面直线所成角，结合等边三角形的性质即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 正四棱锥的所有棱长相等，均为1， 则，所以异面直线与所成角即为与所成角， 因为为等边三角形，E为的中点，所以， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：. 5．设a和b是两条不相交的直线，则过b且与a平行的平面 （    ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．至多有1个 D．至少有1个    . 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系分析即可. 【详解】已知a和b是两条不相交的直线，可得a和b的位置关系是平行或异面， 当a和b平行时，过b且与a平行的平面有无数个， 当a和b异面时，过b且与a平行的平面有且仅有1个， 故选：D. 6．如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定即可判断选项. 【详解】已知分别是的中点，取中点，连接， 根据三角形中位线性质可得，，，   选项A.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项B.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项C.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项D.由，得到，即位于同一平面， ，所以与平面相交，不存在平行关系，错误. 故选：D. 7．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 8．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 9．下列命题中，正确的是（    ） A．一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 【答案】B 【分析】依据两个平面平行的判定定理逐一分析每个选项. 【详解】选项A：一个平面内三条直线都平行于另一个平面，这三条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，所以选项A错误， 选项B：如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，则这两个平面没有公共点， 根据两个平面平行的定义可知，这两个平面平行，所以选项B正确， 选项C：平行于同一直线的两个平面，它们的位置关系可能是平行，也可能是相交，所以选项C错误， 选项D：一个平面内有几条直线都平行于另一平面，这几条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，选项D错误， 故选：B. 10．如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（     ）    ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据面平面的判定定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对①，在三棱锥中，因为， 又平面，所以平面，故①正确. 对②，点分别是所在棱的中点，， 又平面平面， 所以平面平面，故②正确. 对③，因为是中点，所以， 则是直线与直线所成的角，故③正确. 对④，因为平面，所以平面，垂足， 则是在平面的投影，所以是与平面所成的角，故④错误. 即正确的个数有个. 故选：C. 11．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的定义可得为二面角的平面角，利用等面积法即可求解. 【详解】在正四棱锥中，侧面为等腰三角形 ， 因为的中点为，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 又底面边长为2，则，在中， ，则， 又， 在中，设与的距离为， 则，即，解得. 故选：B.    12．在三棱锥中，和都是边长为1的正三角形，若.则二面角所成角的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角，再结合边的关系求解角度即可. 【详解】取中点记作O，连接，，如图所示，    ∵和都是边长为1的正三角形， ∴，， ∴即为二面角所成角的平面角， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴二面角所成角的大小等于. 13．已知正四棱锥，底面边长为4，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图像，连接辅助线，结合正四棱锥的性质找到二面角的平面角即可得解. 【详解】 取底面中心O，的中点E，连接，，，则底面， 在正四棱锥中，，所以， 在正方形中，， 因为侧面，底面，且侧面底面， ∴为侧面与底面所成二面角的平面角， 在中，，，∴， 在中，，， 故选：B. 14．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理及线面的位置关系即可得解. 【详解】对A：若，，则直线m与直线n可能平行，也可能异面，故A项错误； 对B：若，，则或，故B项错误； 对C：若，，根据面面垂直的判定定理可知，故C项正确； 对D：若，，，只有当时才有，若时不一定成立，故D项错误. 故选：C. 15．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理及性质，面面垂直的判定定理逐项判断即可得解. 【详解】    在正四面体中，取点为中点，连接， 可知，，，平面， 则平面，平面，所以，则与所成的角为，故选项A错误；    如图所示，令交于点，连接，在正四面体中，平面， 则与平面所成的角为， 设正四面体的棱长为， 则，， 所以直线与平面所成的角不是，故选项错误； 因为，直线不垂直于，直线不垂直于，则选项C错误；    因为平面，平面，所以平面平面，故选项正确， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在空间中，若点平面，直线，则点P与直线l确定的平面与平面的位置关系是____________________（填“平行”或“相交”）. 【答案】相交 【分析】根据平面的基本性质即可得出正确答案. 【详解】点P与直线l确定一个平面，设为， 因为且 ， 所以直线 l 是平面与的公共直线， 又因为点平面，且， 说明平面上存在一个点不在平面上，同时两个平面有公共直线， 根据平面相交的定义：两个平面有公共直线时，它们相交. 故答案为：相交 17．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    【答案】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，再根据三角形求解即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以. 则直线与所成角为. 因为正四棱锥的棱长都为，所以为等边三角形，因此. 故答案为：.    18．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质和棱锥的表面积公式可求解. 【详解】    如图，在三棱锥中，是高，即平面，平面， 所以，同理. 在和中，，， 所以，. 在中，， 所以，. 在中，，， 所以边上的高， 所以， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 20．如题图所示，长方体中，，，与平面所成的角为，则二面角的平面角的正切值为__________．    【答案】 【分析】根据线面角以及二面角的定义以及长方体的性质求解即可. 【详解】长方体中，平面， 因为与平面所成的角为，所以，且， 所以是等腰三角形，即，且， 则， 因为， 所以二面角的平面角为，， 即二面角平面角的正切值为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．设在空间中有三条直线，，，其中与相交于点 O，直线 与相交于点 A，与相交于点B，且点 A 和 B与点 O不重合.求证：直线，，共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用两条相交直线确定一个平面，再根据公理一证明第三条直线也在该平面内，从而证明三条直线共面. 【详解】如图，      因为 与相交于点 O，所以有且仅有一个平面，使得 ， . 又, 所以，，所以，，则. 又，所以， 所以直线，，共面. 22．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. （1）由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 23．在四棱锥中，底面是正方形，平面，是的中点.    (1)求三棱锥的体积. (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式求解即可. （2）根据线面平行判定定理即可证明. 【详解】（1）因为四棱锥中，平面， 所以三棱锥的高为， 又底面是正方形，所以，， 即三棱锥的体积为. （2）连接，交于点，连接，    底面是正方形，即为的中点， 又是的中点，所以在中，， 又平面，平面， 所以平面. 24．如图，是直角斜边上的高，，把绕旋转到的位置，使二面角为.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质得到，利用二面角的定义可知，通过解三角形得到，再利用平面与平面垂直的判定定理即可得解. （）根据题意找到二面角的平面角即可得解. 【详解】（1）证明：是直角斜边上的高， 则 ，则，，平面， 则平面，平面，， ，二面角为， 则，，所以，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）由（1）知平面， 平面，则，平面，则， 平面，平面， 二面角的平面角为， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六单元 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知空间中三条直线a，b，c与平面分别交于不同的三点A，B，C，则“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 3．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（ ） A． B． C． D． 4．正四棱锥的所有棱长相等，均为1，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．设a和b是两条不相交的直线，则过b且与a平行的平面 （    ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．至多有1个 D．至少有1个  6．如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 7．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．下列命题中，正确的是（    ） A．一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 10．如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（     ）    ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A．1 B．2 C．3 D．4 11．在正四棱锥中，二面角为，底面的边长为2，若的中点为，点为底面的中心，则与的距离为（     ） A． B． C． D．   12．在三棱锥中，和都是边长为1的正三角形，若.则二面角所成角的大小等于（    ） A． B． C． D． 13．已知正四棱锥，底面边长为4，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 14．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 15．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在空间中，若点平面，直线，则点P与直线l确定的平面与平面的位置关系是____________________（填“平行”或“相交”）. 17．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．      18．在三棱锥中，是高，，，．则三棱锥的表面积为______； 19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 20．如题图所示，长方体中，，，与平面所成的角为，则二面角的平面角的正切值为__________．    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．设在空间中有三条直线，，，其中与相交于点 O，直线 与相交于点 A，与相交于点B，且点 A 和 B与点 O不重合.求证：直线，，共面. 22．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 23．在四棱锥中，底面是正方形，平面，是的中点.    (1)求三棱锥的体积. (2)证明：平面. 24．如图，是直角斜边上的高，，把绕旋转到的位置，使二面角为.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $