复习课件（圆锥曲线）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高二上学期 期中复习讲义 圆锥曲线 数学拓展模块一（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 椭圆 理解椭圆的定义，熟练掌握椭圆的标准方程和性质，并会运用 选择、填空、解答题中都会考查 双曲线 理解双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程和性质，并会运用 选择、填空、解答题中都会考查 抛物线 理解抛物线的定义，熟练掌握抛物线的标准方程和性质，并会运用 选择、填空、解答题中都会考查 直线与圆锥曲线的位置关系 能够判断直线与圆锥曲线的位置关系，会求弦长、直线方程、圆锥曲线方程． 主要在解答题中考查 知识总结｜椭圆的定义 椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注：若集合 ，（，），则有如下结论： (1) 若 ，则集合 为椭圆； (2) 若 ，则集合 为线段 ； (3) 若 ，则集合 为空集． 3 知识总结｜椭圆的标准方程与几何性质（焦点在 x 轴） ① 标准方程：（） ② 焦点与焦距：，，； ③ 范围与顶点：，；，，， ④ 轴长、对称性与离心率：长轴长 ，短轴长 ；对称轴为 轴、 轴，对称中心为原点； 4 知识总结｜椭圆的标准方程与几何性质（焦点在 y 轴） ① 标准方程：（） ② 焦点与焦距：，，； ③ 范围与顶点：，；，，， ④ 轴长、对称性与离心率：长轴长 ，短轴长 ；对称轴为 轴、 轴，对称中心为原点； 5 知识总结｜直线与椭圆的位置关系及弦长 ① 判断方法：由 消去 （或 ）得到一个一元二次方程． ② 位置关系：相交——两解，；相切——一解，；相离——无解，． ③ 弦长公式：设直线斜率为 ，与椭圆交于 ，，则 ． ④ 其中 ，用根与系数关系求解． 6 典例先行｜椭圆·典例1 中心在坐标原点，焦点在 轴上，且长轴长为 ，短轴长为 的椭圆标准方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据题意求出 的值即可得解．椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ， 则 ，， 中心在坐标原点，焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为 ，故选：． 7 典例先行｜椭圆·典例2 已知 轴上两点 ，，则平面内到这两点距离之和为 的动点的轨迹方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程． 已知 ，，则 ， 又因为动点到 两点距离之和为 ，且 ，所以动点的轨迹是以 为焦点的椭圆． 因为焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 （）， 则 ，解得 ，椭圆的半焦距 ， 可得 ，所以动点的轨迹方程为 ．故选：D． 8 典例先行｜椭圆·典例3 椭圆方程 的离心率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据椭圆方程确定 的值，再由离心率公式求值即可．已知椭圆方程 ，得 ， 所以 ，离心率 ，故选：B． 9 典例先行｜椭圆·典例4 若椭圆 的离心率 ，且焦点在 轴，则 的值是（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． 【答案】D 【解析】根据椭圆焦点的位置，确定 ， 及 的范围，进而求出 ，再利用离心率公式列方程可求解．因为椭圆 的焦点在 轴，则 ，即 ， 此时 ，，所以 ， 所以 ，解得 ．故选：D． 10 解题技巧｜椭圆（一）定义与方程 1．（1）在运用椭圆的定义时，要注意这个条件，若 ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段（包括端点）；若 ，则轨迹不存在． （2）求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 这一条件． （3）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解． 11 解题技巧｜椭圆（二）标准方程的形式 2．（1）椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为 （，，且 ），具体是哪种形式，由 与 的大小而定． （2）求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于 的两个方程，求参数 的值；由椭圆的定义及几何性质直接求出参数 的值． 12 即时训练｜椭圆·训练1 下列关于曲线方程 的说法，正确的是（　　） A．表示焦点在 轴上的双曲线　　B．表示焦点在 轴上的椭圆 C．表示焦点在 轴上的双曲线　　D．表示焦点在 轴上的椭圆 【答案】D 【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式进行分析判断．对于给定的方程 ，其中 ， 所以曲线方程 表示焦点在 轴上的椭圆，故选：D． 13 即时训练｜椭圆·训练2 椭圆 中 ， 分别是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据椭圆的标准方程即可求解． 由椭圆 得焦点在 轴上，则 ，解得 ．故选：D． 14 即时训练｜椭圆·训练3 ， 分别是椭圆 的两个焦点，过 的直线与该椭圆交于 ， 两点，则 的周长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据椭圆方程求出 ，利用椭圆的定义即可得解．椭圆 ，则 ， 由椭圆的定义可知，，， 则 的周长为 ，故选：D． 15 即时训练｜椭圆·训练4 若方程 表示椭圆，则 的取值范围是（　　） A．　　 B． 或 　　 C．　　 D． 且 【答案】D 【解析】根据椭圆标准方程的性质求解．若方程 表示椭圆，则： 解得： 且 ．故选：D． 16 即时训练｜椭圆·训练5 过椭圆 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 ， 两点，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的基本性质，将直线方程和椭圆方程联立求交点的纵坐标即可；，，， 则直线 为 ，代入椭圆方程得：，所以： ，，则 ．故选：C． 17 即时训练｜椭圆·训练6 已知一椭圆中心在原点，焦点在 轴上，半长轴长为 ，且经过点 ． (1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若直线 与该椭圆有交点，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． (1) 【解析】设椭圆的标准方程是 （），由题得 ， 则 ，解得 ，所以椭圆的标准方程是 ． (2) 由题意得 ，化简得 ， 因为直线与椭圆有交点，所以 ，则 ，解得 ． 18 知识总结｜双曲线的定义 ① 定义：一般地，我们把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． ② 集合语言表达式：双曲线就是下列点的集合：． ③ 说明：若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点 的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于 与 的大小． (1) 若 ，则 ，点 的轨迹是靠近定点 的那一支；(2) 若 ，则 ，点 的轨迹是靠近定点 的那一支． 19 知识总结｜双曲线的标准方程与几何性质（焦点在 x 轴） ① 标准方程：（，） ② 焦点与焦距：，，； ③ 范围与顶点： 或 ；， ④ 渐近线、离心率与对称性：；；对称轴为坐标轴，对称中心为原点 20 知识总结｜双曲线的标准方程与几何性质（焦点在 y 轴） ① 标准方程：（，） ② 焦点与焦距：，，； ③ 范围与顶点： 或 ；， ④ 渐近线、离心率与对称性：；；对称轴为坐标轴，对称中心为原点 21 典例先行｜双曲线·典例1 方程 表示的是（　　） A．焦点在 轴上的椭圆　　 B．焦点在 轴上的椭圆 C．焦点在 轴上的双曲线　　 D．焦点在 轴上的双曲线 【答案】C 【解析】根据双曲线方程的特点即可得解．方程 表示的是焦点在 轴上的双曲线，故选：． 22 典例先行｜双曲线·典例2 已知方程 所表示的曲线是双曲线，那么 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 【答案】D 【解析】根据方程表示双曲线列不等式求解即可．已知方程 所表示的曲线是双曲线，则 ，即 ， 解得 或 ，所以 的取值范围是 或 ，故选：D． 23 典例先行｜双曲线·典例3 已知双曲线 （，）的左、右焦点分别是 ，，且双曲线过点 ．则双曲线的渐近线方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据双曲线方程的系数关系，结合渐近线方程公式即可求解．因为双曲线的左、右焦点分别是 ，，所以 ，， 因为双曲线过点 ，所以 ，解得 ，所以 ， 则双曲线的渐近线方程是 ．故选：A． 24 典例先行｜双曲线·典例4 直线 （）与双曲线 的位置关系是（　　） A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．无法判断 【答案】A 【解析】根据题意，联立方程组，判断交点个数，结合双曲线渐近线与直线的位置关系，即可求解．由题意，联立方程组得 ，消元化简整理得 ， 又 ，所以 ，只有唯一的实数解，所以直线与双曲线只有一个交点， 又双曲线 中，焦点在 轴上，且 ，所以渐近线方程为 ， 所以直线 与一条渐近线平行，故直线与双曲线相交．故选：A． 25 解题技巧｜双曲线（一）定义与 a,b,c 1．（1）在双曲线的定义中，当 时，动点 的轨迹是双曲线的一支，当 时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”． （2）定义中 这个条件不可忽视，若 ，则轨迹是以 为端点的两条射线，若 ，则轨迹不存在． 2．在椭圆中， 满足 ，即 最大；在双曲线中， 满足 ，即 最大． 26 解题技巧｜双曲线（二）方程与渐近线 （3）在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，， 谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，， 谁的系数为正（右边的常数总为正），则焦点就在哪个轴上． 3．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1) 掌握方程；(2) 掌握其倾斜角、斜率的求法；(3) 会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数． 4．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程 就是双曲线 （，）的两条渐近线方程． 27 即时训练｜双曲线·训练1 双曲线 的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据双曲线的离心率公式求解即可．双曲线 中 ，则 ， 解得 ，进而离心率 ．故选：A． 28 即时训练｜双曲线·训练2 双曲线 的实轴长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据双曲线的标准方程即可求解． 由双曲线 可得 ，解得 ，所以实轴长 ．故选：C． 29 即时训练｜双曲线·训练3 双曲线 的渐近线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据题意，结合双曲线的标准方程，确定焦点的位置，并求出 和 的值，继而求解．因为双曲线 ， 所以焦点在 轴上，且 ，所以 ，所以渐近线方程为 ．故选：C． 30 即时训练｜双曲线·训练4 设 ，若 是焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据题意利用焦点在 轴上的双曲线方程的特点，列出不等式组，结合象限角的三角函数值的符号即可得解． 是焦点在 轴上的双曲线， 则 ，因为 ，则 ，故选：． 31 即时训练｜双曲线·训练5 与双曲线 共渐近线且过点 的双曲线方程为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】设与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为 ，代入点的坐标即可求得． 将点 代入，得 ，解得 ， 所以所求双曲线方程为 ，即 ，故选：A． 32 即时训练｜双曲线·训练6 已知直线过点 ，交双曲线 于 两点，且 为线段 的中点，求直线的方程． 【答案】 【解析】根据题意，结合双曲线方程，及中点坐标公式，利用点差法，即可求得直线的斜率，继而求解．设交点 ，， ∵ 在双曲线上，∴ ， ② − ① 得 ，即 ③， 33 即时训练｜双曲线·训练6（续） 又 ∵ 为 中点，∴ ，，代入③得：， ∴ ， 【答案·续】 ∴ 直线方程为 ，即 ． 34 知识总结｜抛物线的定义 ① 定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线． ② 数学表达式：（ 为点 到准线 的距离）． 注意：“定点 不在定直线 上”是定义成立的前提条件． 35 知识总结｜抛物线的标准方程（四种形式） （），开口向右 （），开口向左 （），开口向上 （），开口向下 注：抛物线的开口方向由一次项决定——一次项为 时开口向左或向右，一次项为 时开口向上或向下； 表示焦点到准线的距离，． 36 知识总结｜抛物线的几何性质 ① 范围与对称轴： 中 或 ，，对称轴为 轴； 中 或 ，，对称轴为 轴． ② 焦点坐标：、、、 的焦点依次为 、、、． ③ 准线方程：依次为 、、、． ④ 顶点与离心率：四种情形的顶点都是原点 ，离心率都是 ． 37 典例先行｜抛物线·典例1 抛物线 的焦点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标即可得解．抛物线 的焦点在 轴负半轴上， 且 ，则 ，所以焦点坐标为 ，故选：． 38 典例先行｜抛物线·典例2 顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点 的抛物线方程是（　　） A． 或 　　B． C． 或 　　D． 【答案】C 【解析】根据抛物线的定义，将已知条件代入求解．当焦点在 轴，设抛物线方程为：， 点 代入得：，解得 ，所以 ， 当焦点在 轴，设抛物线方程为：，代入点得，，解得 ，所以 ； 所以抛物线方程为 或 ，故选：C． 39 典例先行｜抛物线·典例3 已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，则点 的横坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】求出抛物线的准线，根据条件建立方程求解．在抛物线 中，，则 ，所以准线方程为 ， 设点 的横坐标为 ，，已知点 到准线的距离为 ，可得 ，解得 ， 故点 的横坐标为 ．故选：A． 40 典例先行｜抛物线·典例4 已知过点 且倾斜角 的直线与抛物线 交于 、 两点．求： (1) ； (2) 线段 的中点 的坐标． 【答案】(1) ；(2) ． (1) 【解析】根据倾斜角与斜率的关系，设出直线的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解．设交点 ，，由题得直线方程为 ，即 ， 联立方程 ， 所以 ，． (2) 设线段 的中点 的坐标为 ，，将 代入 中，，故中点 的坐标为 ． 41 解题技巧｜抛物线（一）定义与标准方程 1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握． 2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为 或 （，）． 若 ，开口向右；若 ，开口向左． 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对 与 ，有类似的讨论． 42 解题技巧｜抛物线（二）焦半径与弦长 3．抛物线的离心率 ，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线（看到准线想焦点），优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化． 4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 43 即时训练｜抛物线·训练1 抛物线 的准线方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据抛物线方程求出准线方程即可得解．抛物线 ，焦点在 轴负半轴，且 ， 所以准线方程为 ，故选：． 44 即时训练｜抛物线·训练2 抛物线 的焦点坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标即可得解．抛物线 ，焦点在 轴正半轴上， 且 ，所以焦点坐标为 ，故选：． 45 即时训练｜抛物线·训练3 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则点 的横坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】由抛物线的定义即可得解．设点 ， 因为抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，所以 ，且 ，故 ， 故点 的横坐标为 ．故选：B． 46 即时训练｜抛物线·训练4 若直线 过抛物线 的焦点，与抛物线相交于 ， 两点，且 ，则线段 的中点 到 轴的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据抛物线的定义以及中点坐标公式求解即可．抛物线方程为 ，可得 ，即 ，焦点 ，准线方程为 ． 设 ，，则 ，， 因此弦长：，代入已知 ，得 ． 线段 中点 的横坐标为 ，点到 轴的距离等于横坐标的绝对值，因此距离为 ．故选：A． 47 即时训练｜抛物线·训练5 若抛物线 上的一点 到坐标原点 的距离为 ，则点 到该抛物线焦点的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据抛物线的方程结合两点间距离公式即可求解．抛物线 上的一点 ，设点 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 （舍去），所以 ， 因为点 到抛物线 的准线 的距离 ，又因为点 到抛物线焦点距离等于到准线的距离，所以点 到抛物线焦点的距离为 ．故选：C． 48 即时训练｜抛物线·训练6 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点 ，求抛物线的标准方程． 【答案】答案见解析． 【解析】由题知抛物线的焦点在 负半轴或 正半轴上，分两种情况讨论． 当抛物线的焦点在 负半轴上时，设抛物线的标准方程为 ，则 ，解得 ，所以抛物线的标准方程是 ； 当抛物线的焦点在 正半轴上时，设抛物线的标准方程为 ，则 ，解得 ，所以抛物线的标准方程是 ． 49 $