复习课件（平面向量）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高二上学期 期中复习讲义 平面向量 数学拓展模块一（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 平面向量的有关概念 理解和掌握向量的概念、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量 常在选择题中考查向量的有关概念 平面向量的线性运算 掌握向量的加法、减法、数乘运算 选择、填空题中常会考查向量的线性运算 平面向量基本定理及坐标运算 理解平面向量基本定理的概念，掌握平面向量和、差、数乘的坐标运算 常在选择、填空题中考查，解答题中也会考 平面向量的内积 理解平面向量夹角的概念，掌握平面向量内积公式及几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示及运算；能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题． 选择、填空、解答题中都会考查 知识总结｜平面向量的概念（一） 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）． 零向量：长度为 的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作 ． 单位向量：长度等于 个单位的向量． 3 知识总结｜平面向量的概念（二） 平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定： 与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量． 4 知识总结｜向量的线性运算（一）加法 加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法． 三角形法则：首尾相接，指向终点；平行四边形法则：起点重合，指向对角顶点． 运算律：(1) 交换律 ；(2) 结合律 ． 5 知识总结｜向量的线性运算（二）减法与数乘 减法：向量 加上向量 的相反向量叫做 与 的差，即 ．三角形法则：起点重合，指向被减向量． 数乘：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ．(1) 模：；(2) 方向：当 时， 与 的方向相同，当 时， 与 的方向相反，当 时，． 运算律：设 ， 是实数，则 (1) ；(2) ；(3) ． 6 知识总结｜共线向量定理 共线向量定理：向量 与非零向量 共线，则存在唯一一个实数 ，使 ． 注意：定理的运用过程中要特别注意 ；特别地，若 ，实数 仍存在，但不唯一． 7 典例先行｜平面向量·典例1 下列说法正确的是（　　） A．向量的模都是正实数　　 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关　　 D．向量能比较大小 【答案】C 【解析】对每个选项所涉及的向量基本概念进行分析即可． 选项 A：零向量的模为 ， 不是正实数，故 A 选项错误； 选项 B：单位向量是指模等于 的向量，不同方向的单位向量是不同的，所以单位向量有无数个，而不是只有一个，故 B 选项错误； 选项 C：向量的大小即向量的模，它只与向量的长度有关，与向量的方向无关，故 C 选项正确； 选项 D：向量既有大小又有方向，则向量不能比较大小，故 D 选项错误．故选 C． 8 典例先行｜平面向量·典例2 下列说法不正确的是（　　） A．零向量和任何向量平行　 B．平面上任意三点 ，一定有 C．若 （），则 　　D． 【答案】D 【解析】根据向量的相关关系求解． A 选项，根据向量平行的关系，零向量和任何向量平行，故正确； B 选项，由向量加法的三角形法则可知，平面上任意三点 ，一定有 ，故正确； C 选项，根据向量平行的定义，若 （），则 ，故正确； D 选项，根据向量减法，，故 D 错误．故选 D． 10 典例先行｜平面向量·典例3 （　　）． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据平面向量的线性运算法则即可得解． ，故选 C． 12 典例先行｜平面向量·典例4 在平行四边形 中，，设 ，，则 （　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解． 因为 ，，，所以 ， 因为 ，所以 ， ，故选 A． 13 解题技巧｜平面向量（一）向量的概念 1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1) ，有 与 方向相同或相反两种情形． (2) 向量的模与数的绝对值有所不同，如 ． (3) 零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行． 14 解题技巧｜平面向量（二）向量的概念 (4) 对于任意非零向量 ， 是与 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法． (5) 向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上． (6) 只要不改变向量 的大小和方向，可以自由平移 ，平移后的向量与 相等．所以线段共线与向量共线是有区别的：当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线；向量的共线与向量的平行是一致的． 15 解题技巧｜平面向量（三）线性运算 2．加法法则口诀：三角形法则——“首尾相接，指向终点”；平行四边形法则——“起点重合，指向对角顶点”． 减法法则口诀：起点重合，指向被减向量． 运算结果的类型：平面向量的三种线性运算的结果仍为向量．在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算． 16 解题技巧｜平面向量（四）共线向量定理 3．定理内容： 与 共线 存在唯一实数 使得 ． (1) 当 时， 与任一向量 都是共线的． (2) 当 且 时， 是不成立的，但 与 共线． 结论：为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求 ．如果不加条件 ，“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得 ”的必要不充分条件． 17 即时训练｜平面向量·训练1 如果两个向量大小相等方向相反，则这两个向量是（　　） A．相等向量　 B．相反向量 C．零向量　　 D．无法判断 【答案】B 【解析】根据相反向量的概念求解即可． 如果两个向量大小相等方向相反，则这两个向量是相反向量．故选 B． 18 即时训练｜平面向量·训练2 已知点 ，则与 同方向的单位向量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据题意求出 的坐标及模长，代入单位向量公式即可得解． 点 ，则 ，， 所以与 同方向的单位向量为 ．故选 A． 19 即时训练｜平面向量·训练3 如图所示， 是任意四边形 的一条对角线，则下面结论成立的是（　　）． A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】根据平面向量的运算法则逐项判断即可得解． 由题意可知，，故 A 正确； ，故 B 错误； 20 即时训练｜平面向量·训练3（续） ，故 C 错误； 【答案·续】A 当四边形 是平行四边形时，；四边形 是任意四边形，所以 不一定成立，则 不一定成立，故 D 错误．故选 A． 21 即时训练｜平面向量·训练4 在 中，， 分别为 ， 的中点，若 ，，则 （　　）． A．　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】利用三角形中位线的性质得到向量之间的关系，再通过向量的加减法法则进行计算． 由题可知， 如图： 已知 ，，则 ， 22 即时训练｜平面向量·训练4（续） 因为 ， 分别为 ， 的中点， 【答案·续】C 可知 且 ，所以 ．故选 C． 23 即时训练｜平面向量·训练5 化简 ． 【答案】 【解析】利用向量加减法的运算法则，逐步对式子进行化简即可． ．故答案为：． 24 即时训练｜平面向量·训练6 已知向量 ，，，若 ，， 三点共线，则实数 应满足的条件是 ． 【答案】 【解析】利用向量线性运算的坐标表示可得 和 ，再根据向量共线的坐标表示可得结果． 由题可得，， ， 由 ，， 三点共线，可得 ，所以 ，解得 ．故答案为：． 25 知识总结｜平面向量的基本定理与坐标表示 平面向量的基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，，使 ． 平面向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量 ， 作为基底，对任一向量 ，有唯一一对实数 ，，使得 ，此时 叫做向量 的直角坐标，记作 ． 特殊向量的坐标：，，． 26 知识总结｜平面向量的坐标运算 加减与数乘：设 ，，则 ，，，． ①起点在原点：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②两点间向量：设 ，，则 ，． 27 知识总结｜共线的坐标表示与中点坐标公式 向量共线的坐标表示：若 ，，则 ． 中点坐标公式：若 ， 的坐标分别是 ，，线段 的中点 的坐标为 ，则 ，，此公式为线段 的中点坐标公式． 28 典例先行｜平面向量·典例1 已知向量 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据向量的运算和向量的模长公式即可求解． 因为向量 ， 所以 ， 所以 ．故选 A． 29 典例先行｜平面向量·典例2 已知向量 ，，若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可． 已知向量 ，， 由 ，得 ， 解得 ．故选 A． 30 典例先行｜平面向量·典例3 已知向量 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】先根据向量的线性运算求出 与 的坐标，再根据向量内积的坐标运算公式计算． 已知 ，，可得 ， 可得 ，， 所以 ．故选 B． 31 典例先行｜平面向量·典例4 已知向量 ， 与 方向相同，且 ，则 的坐标为 ． 【答案】 【解析】先根据向量 与 方向相同设出 的坐标表达式，再利用向量模的公式求出表达式中的参数． 因为 与 方向相同，所以可设 ，其中 ， 已知 ，则有 ，即 ， 因为 ，解得 ，可得 ． 32 解题技巧｜平面向量（一）基底与坐标表示 1．对基底的理解：若 ， 是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 ． 简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一．特别地，当 即 时，必有 ． 2．坐标运算的价值：向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同． 33 即时训练｜平面向量·训练1 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据向量平行的坐标运算求解即可． 向量 ，，由 得，，解得 ．故选 B． 34 即时训练｜平面向量·训练2 已知向量 ，若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可． 已知向量 ，则 ， 由 得，，整理得 ，解得 ．故选 D． 35 即时训练｜平面向量·训练3 在四边形 中，，， 为 的中点，则 （　　）． A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】利用向量的加减法法则以及中点的性质，将 用 和 表示出来． 因为 为 的中点，可知 ， 已知 ，，那么 ， 36 即时训练｜平面向量·训练3（续） 所以 ， 【答案·续】A 故 ．故选 A． 37 即时训练｜平面向量·训练4 已知向量 ，（），，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】先根据模长公式求出 ，进而求解． 已知 ，， 或 （舍）， 则 ， 38 即时训练｜平面向量·训练4（续） 根据向量的加法法则 ， 【答案·续】D 则 ， 所以 ．故选 D． 39 即时训练｜平面向量·训练5 已知平面向量 ，，求 及其模的大小． 【答案】，． 【解析】根据向量线性运算的坐标表示和模的计算公式求值即可． 已知平面向量 ，， 则 ， 所以 ． 40 即时训练｜平面向量·训练6 已知 ，， 是 直线上一点，且 ，求点 的坐标． 【答案】 【解析】根据题意利用平面向量运算的坐标表示列出方程组即可得解． 设 ，由 ，则 ， 即 ， 所以 ，解得 ，所以 ． 41 知识总结｜向量的夹角与内积的定义 向量的夹角：两个非零向量 与 ，过 点作 ，，则 叫做向量 与 的夹角；范围是 ． 特殊情况： 与 的夹角为 时，则 与 垂直，记作 ． 内积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与 的内积，记作 ，即 ．规定零向量与任一向量的内积为 ，即 ． 42 知识总结｜内积的几何意义与性质（一） 几何意义：内积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积． 设向量 ，， 为向量 ， 的夹角． ①内积：． ②模：． 43 知识总结｜内积的几何意义与性质（二） ③两点间的距离：设 ，，则 ， 两点间的距离 ． ④夹角：． ⑤垂直：已知两非零向量 与 ，． 44 典例先行｜平面向量·典例1 设向量 ，，则 （　　）． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据平面向量内积的坐标表示即可得解． 向量 ，， 则 ．故选 C． 45 典例先行｜平面向量·典例2 若向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据内积的定义可得结果． 由已知可得，．故选 D． 46 典例先行｜平面向量·典例3 在 中，，，，则 ． 【答案】 【解析】根据平面向量的内积公式即可得解． 中，，，， 与 的夹角为角 的补角为 ， 则 ． 47 典例先行｜平面向量·典例4 已知向量 ，． (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 证明：． 【答案】(1) 　(2) 　(3) 证明见解析 【解析】(1) 根据向量内积的坐标表示运算即可；(2) 根据向量线性运算的坐标表示运算即可；(3) 根据向量垂直的条件证明即可． (1) 已知向量 ，则 ． (2) ． (3) 因为 ，，由 ，可得 ． 48 解题技巧｜平面向量（一）内积的定义与夹角 1．由数量积的定义入手： 由向量数量积的定义 （ 为 ， 的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一． 平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数． 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 49 解题技巧｜平面向量（二）模与数量积的性质 2．求向量模的常用方法： 利用公式 即 将模的运算转化为向量的数量积．在数的乘法中，若 ，则 ， 中至少有一个为 ． 3．数量积与实数乘法的两点区别： (1) 在向量的数量积中，由 不能推得 或 ，因为当两个非零向量 ， 垂直时，也有 ； (2) 平面向量的数量积不满足结合律，即 不一定成立． 50 即时训练｜平面向量·训练1 已知向量 ，，若 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】根据向量垂直的坐标表示求解即可． 因为向量 ，，且 ， 所以 ，所以 ．故选 D． 51 即时训练｜平面向量·训练2 已知向量 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据向量数量积的计算公式即可求解． 已知向量 ，，则 ．故选 A． 52 即时训练｜平面向量·训练3 若 ， 是两个非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据平面向量的运算法则将等式两边平方，结合平面向量垂直的性质即可得解． ， 为非零向量，当 时，有 ， 即 ，得 ，则有 ，充分性成立； 53 即时训练｜平面向量·训练3（续） 当 时，有 ，则 ，， 【答案·续】C 则 ，得 ，必要性成立． 所以 是 的充要条件．故选 C． 54 即时训练｜平面向量·训练4 已知平面向量 ，，若 与 垂直，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示即可求解． 因为平面向量 ，， 则 ，，因为 与 垂直，则 ， 可化为 ，解得 ．故选 B． 55 即时训练｜平面向量·训练5 已知向量 ，，． (1) 求 ； (2) 求 的值． 【答案】(1) 　(2) ． 【解析】(1) 根据平面向量数量积的定义即可得解；(2) 根据平面向量的运算法则即可得解． (1) 向量 ，，，则 ． (2) ． 57 即时训练｜平面向量·训练6 已知向量 、，，． (1) 求 ； (2) 求 ． 【答案】(1) 6　(2) 【解析】(1) 根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解；(2) 根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解． (1) 因为向量 ，，所以 ； (2) 因为向量 ，，所以 ，， 所以 ． 58 $