复习课件（函数）-2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高一上学期 期中复习讲义 函数 数学基础模块（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 函数的三要素：定义域、值域、对应法则 理解函数三要素的概念，掌握求定义域、值域、解析式的方法 定义域常在选择题中考查、值域常在填空题中考查，解析式选择、填空、解答题中都会考查 相同函数 掌握判断相同函数的方法：定义域和解析式一样就是相同函数 常在选择、填空中考查，通过化简判断是否是相同函数 分段函数、复合函数 理解分段函数、复合函数的概念、会通过所给的解析式求函数值 多在选择、填空题中考查，用来求函数值 函数的单调性 理解函数单调性的概念，掌握用定义法证明函数的单调性，会通过函数的单调性求题中的参数问题 选择、填空、解答题中都会考查，一般和常见的函数综合在一起来考查 函数的奇偶性 理解函数奇偶性的概念，掌握证明函数奇偶性的方法，会通过函数的奇偶性求题中的参数问题及图像问题 选择、填空、解答题中都会考查，一般和常见的函数综合在一起来考查 知识总结｜函数的有关概念 函数的定义：设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数． 函数的记法：，． 定义域： 叫做自变量， 的取值范围 的集合叫做函数的定义域． 值域：函数值 的集合 叫做函数的值域． 3 知识总结｜相同函数与求定义域的方法 相同函数：函数的三要素是定义域、对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 求定义域的方法：当函数以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合． 具体考虑以下几方面：① 分母不为零；② 偶次根号的被开方数、式大于或等于零；③ 零次幂的底数不为零；④ 对数函数的真数要大于零，以及后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． 4 知识总结｜求函数值域的方法 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题．注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 求函数值域的常用方法：① 单调性法；② 配方法；③ 分离常数法；④ 数形结合法；⑤ 换元法；⑥ 不等式法；⑦ 图象法等． 5 典例先行｜函数·典例1 函数 的定义域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据二次根式的性质列出不等式即可得解． 函数 ，则 ，解得 ， 所以定义域为 ．故选 C． 6 典例先行｜函数·典例2 下列各组函数是同一个函数的是（　　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　 D． 与 【答案】D 【解析】根据相同函数的定义逐项判断即可得解． 定义域为 ， 定义域为 ，定义域不同，所以不是同一函数，故 A 错误； ，，对应法则不同，所以不是同一函数，故 B 错误； 7 典例先行｜函数·典例2（续） 定义域为 ， 定义域为 ，定义域不同，所以不是同一函数，故 C 错误； 【答案·续】D ，定义域为 ， 定义域为 ，两个函数定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故 D 正确．故选 D． 8 典例先行｜函数·典例3 函数 的值域是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】根据一次函数的单调性确定值域． 当 时，一次函数 单调递增， 则 ，即 ，即 ， 所以 的值域为 ．故选 C． 9 典例先行｜函数·典例4 下列函数中，定义域为 的是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】由偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，可得各选项的定义域． 在 中，由 可得，函数的定义域为 ，故 A 错误； 在 中，由 可得，函数的定义域为 ，故 B 错误； 10 典例先行｜函数·典例4（续） 由二次函数可知， 的定义域为 ，故 C 正确； 【答案·续】C 在 中，由 ，解得 ，所以函数的定义域为 ，故 D 错误．故选 C． 11 解题技巧｜函数（一）求定义域的原则 1．求函数定义域的原则： 用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数 用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数 的集合，一般通过列不等式（组）求其解集． 常见的限制条件：分式的分母不等于 ，对数的真数大于 ，偶次根式下的被开方数大于或等于 等．若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 解出． 12 解题技巧｜函数（二）求值域的常用方法 2．求函数值域的常用方法： ① 单调性法；② 配方法；③ 分离常数法； ④ 数形结合法；⑤ 换元法；⑥ 判别式法； ⑦ 不等式法．求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域． 重点掌握：求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大．而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域，是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 13 解题技巧｜函数（三）判断同一函数 3．两个函数相等的充要条件： 它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时，应注意定义域是否发生改变（即是否是等价变形）；对于含绝对值的函数式，可以展开为分段函数后再判断． 14 即时训练｜函数·训练1 函数 的定义域是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】D 【解析】根据函数中零次幂和分式、根式的要求，列出不等式求解． 函数 有意义，需满足 ，即 ，解得 且 ， 所以函数 的定义域为 ．故选 D． 15 即时训练｜函数·训练2 下列每组表示同一个函数的是（　　） A．；　　 B．； C．；　　 D．； 【答案】B 【解析】根据两个函数的定义域与对应法则判断选项即可． A 选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一函数； B 选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，对应法则也相同，是同一函数； 16 即时训练｜函数·训练2（续） C 选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一函数； 【答案·续】B D 选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，但 ，对应法则不相同，不是同一函数．故选 B． 17 即时训练｜函数·训练3 函数 中，当 时， 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】将 代入解析式求值即可． 将 代入 ，得 ．故选 A． 18 即时训练｜函数·训练4 已知函数 的定义域为 ，则函数 的值域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据二次函数的单调性以及最值求解即可． 因为函数 的对称轴方程为 ，且二次项系数 ， 则函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 且 ，，，故函数 的值域为 ．故选 B． 19 即时训练｜函数·训练5 已知二次函数 的对称轴为 ，则当 时， 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】先根据二次函数对称轴公式求出参数 的值，再计算 时 的值． 二次函数 的对称轴为 ，可得 ，解得 ， 则函数表达式为 ，则当 时，．故选 A． 20 即时训练｜函数·训练6 求函数 的定义域． 【答案】 【解析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列出不等式，解一元二次不等式可求解． 要使函数 有意义，则 ，即 ， 解得 或 ， 所以函数 的定义域为 ． 21 知识总结｜函数的三种表示法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 小结：函数的表示法有解析法、图象法、列表法三种． 22 知识总结｜分段函数 定义： 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 定义域与值域： 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 图象作法：作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 23 知识总结｜复合函数 定义： 一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ． 内层与外层：其中 叫做复合函数 的外层函数， 叫做 的内层函数． 24 典例先行｜函数·典例1 已知函数 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据函数解析式即可得解． 函数 ，则 ．故选 A． 25 典例先行｜函数·典例2 设 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】将 替换成 代入解析式中化简即可． 已知 ，则 ．故选 B． 26 典例先行｜函数·典例3 已知函数 ，则 的值是（　　）． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解． 函数 ， ，．故选 B． 27 典例先行｜函数·典例4 已知 ，则 ． 【答案】 【解析】代入已知函数解析式化简即可． 已知 ，则 ．故答案为：． 28 解题技巧｜函数（一）分段函数求值 1．求分段函数的函数值： 应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． 提醒：分段函数是一个函数而不是几个函数；写解析式时要写全各段的取值范围，各段定义域的交集为空集，并集为整个定义域． 29 解题技巧｜函数（二）求解析式的方法 2．由复合函数求解析式： 由 的解析式求 的解析式，应根据条件采取不同的方法： ① 若函数 的类型已知，则用待定系数法； ② 已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围； ③ 函数方程法（即解方程组法），将 作为一个“未知数”，建立方程（组），消去另外的“未知数”，便得到 的解析式． 3．求解析式的常用方法：① 待定系数法；② 换元法；③ 方程（组）法等． 30 即时训练｜函数·训练1 已知函数 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解． 函数 ，则 ，，所以 ．故选 B． 31 即时训练｜函数·训练2 已知一次函数 满足 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】将已知条件代入函数表达式，得到关于 和 的方程组，然后求解 的值． 已知一次函数 ，且 ，， 可得方程组：，解得 ，．故选 B． 32 即时训练｜函数·训练3 已知函数 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据分段函数的解析式求解即可． 因为函数 ，则 ，进而 ．故选 C． 33 即时训练｜函数·训练4 若函数 满足关系式 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】将 替换为 代入关系式中，联立方程组消去 求出 ，再将 代入求值即可． 已知 ①， 将 替换为 得 ②， 34 即时训练｜函数·训练4（续） ②×2 得 ③，③−① 得 ， 【答案·续】D 则 ，所以 ．故选 D． 35 即时训练｜函数·训练5 已知函数 ，则 ． 【答案】 【解析】根据函数的解析式，求解复合函数的解析式即可． 已知 ，则 ．故答案为：． 36 即时训练｜函数·训练6 已知函数 ，若 ，求实数 的值． 【答案】 或 【解析】分类讨论 和 的情况，结合 即可得解．函数 ，， 当 ，，解得 或 （舍）； 当 ，，解得 ，所以 或 ． 37 知识总结｜增函数 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ： ① 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增．特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． 38 知识总结｜减函数与单调区间 ② 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减．特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 函数的单调区间：若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间． 39 知识总结｜证明函数单调性的步骤 第一步（取值）：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个自变量，且 ． 第二步（变形）：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形． 第三步（定号）：判断差的正负或商与 的大小关系． 第四步（结论）：根据定义得出结论． 40 知识总结｜常见函数的单调性 一次函数 （）：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减． 反比例函数 （）：当 时， 在 和 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递增． 二次函数 （），对称轴为 ：当 时，在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，在 上单调递增，在 上单调递减． 41 典例先行｜函数·典例1 下列函数中，在区间 上为增函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】由基本初等函数的单调性即可得解． 是一次函数，，故在定义域 上是减函数，故 A 不合题意； 是二次函数，开口向下，对称轴为 轴，故在 上是减函数，故 B 不合题意； 42 典例先行｜函数·典例1（续） 是反比例函数，，故在 上是减函数，故 C 不合题意； 【答案·续】D 是二次函数，开口向上，对称轴为 轴，故在 上是增函数，故 D 符合题意．故选 D． 43 典例先行｜函数·典例2 若一次函数 在 上是减函数，则有（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据一次函数的单调性即可求解． 由题意得，一次函数 在 上是减函数，则 ．故选 A． 44 典例先行｜函数·典例3 已知函数 在 上是增函数，则 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】利用函数单调性求解不等式． 因为函数 在 上是增函数，且 ， 所以 ，解得 ，即不等式的解集为 ．故选 A． 45 典例先行｜函数·典例4 证明函数 在 上是增函数． 【答案】证明过程见解析． 【解析】根据题意结合函数的单调性的定义即可得解．任取 ，且 ， ， 因为 ，则 ，，所以 ， 即 ，所以函数 在 上是增函数． 46 解题技巧｜函数（三）单调性的判断方法 1．判断单调性与求单调区间的方法一致： (1) 复合函数法： 的单调性遵循“同增异减”的原则； (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解； (3) 图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集． 2．转化为熟知函数：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性．因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短判断过程． 47 即时训练｜函数·训练1 下列函数既是偶函数又在区间 上单调递增的是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】根据偶函数的定义以及常见函数的单调性分别判断每个选项中的函数． 选项 A： 的定义域为 ，关于原点对称，，所以 是偶函数；当 时，，根据一次函数的性质，其在 上单调递增，故 A 正确； 选项 B： 的定义域为 ，关于原点对称，，所以 不是偶函数，故 B 错误； 48 即时训练｜函数·训练1（续） 选项 C： 的定义域为 ，关于原点对称，，所以 不是偶函数，故 C 错误； 【答案·续】A 选项 D： 的图象开口向下，对称轴为 ，所以函数 在 上单调递减，故 D 错误．故选 A． 49 即时训练｜函数·训练2 若函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据一次函数的性质即可求解． 因为函数 是 上的减函数，所以 ， 解得 ，即 的取值范围是 ．故选 C． 50 即时训练｜函数·训练3 已知函数 的图象的对称轴为直线 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【解析】根据二次函数的图象的对称性和单调性比较大小即可． 已知函数 的图象的对称轴为直线 ，所以 ， 且二次项系数 ，图象开口向上，所以该函数在 上单调递增， 因为 ，所以 ，即 ．故选 B． 51 即时训练｜函数·训练4 已知奇函数 在区间 上单调递减，且满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据奇函数的性质，可得函数 在区间 单调递减，将不等式化为 ，利用单调性可求解． 因为 是奇函数，所以原不等式可化为：． 因为奇函数 在区间 上单调递减，所以在 上也单调递减，即函数 在区间 上单调递减． 所以 ，解得 ，即 的取值范围是 ．故选 B． 52 即时训练｜函数·训练5 已知定义在 上的减函数 满足 ，则 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据函数的单调性列不等式求解即可． 已知 为定义在 上的减函数，由 ，得 ， 即 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ．故答案为：． 53 即时训练｜函数·训练6 已知函数 经过点 ． (1) 求函数 的解析式； (2) 试证明：函数 在区间 上为增函数． 【答案】(1) 　(2) 证明见解析 【解析】(1) 根据题意，将已知点代入函数解析式，求得参数 的值，继而求解；(2) 根据题意，结合函数单调性的定义，即可证明结论成立． (1) 因为函数 经过点 ， 将点 代入函数解析式得 ，解得 ， 所以函数 的解析式为 ． 54 即时训练｜函数·训练6（续） (2) 任取 ，且 ， 【答案·续】证明见解析 ， 因为 ，且 ，所以 ，， 所以 ，即 ，所以函数 在区间 上为增函数． 55 已知函数 经过点 ． (1) 求函数 的解析式； (2) 试证明：函数 在区间 上为增函数． 知识总结｜函数奇偶性的概念 偶函数： 若对于定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 称为偶函数． 奇函数： 若对于定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 称为奇函数． 56 知识总结｜奇偶函数的图象与性质 偶函数： 函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称； 偶函数 必满足 ； 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反． 奇函数：函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称； 若奇函数 在 处有意义，则有 ； 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． 57 知识总结｜用定义判断奇偶性的步骤 第一步： 求函数 的定义域，判断定义域是否关于原点对称． 若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数； 若关于原点对称，则进行下一步． 第二步：求 ．若 ，则 是奇函数； 若 ，则 是偶函数； 若 ，则 既不是奇函数，也不是偶函数； 若 且 ，则 既是奇函数，又是偶函数． 58 典例先行｜函数·典例1 已知函数 ，则 在 上为（　　） A．奇函数　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数　　 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【解析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解． 因为函数 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，故该函数为偶函数．故选 B． 59 典例先行｜函数·典例2 若二次函数 是偶函数，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据二次函数的性质以及偶函数的性质求解即可． 是二次函数，所以 ，解得 ， 因为函数是偶函数，所以 ，即 ， 则有 ，即 ，解得 ．故选 A． 60 典例先行｜函数·典例3 若 ， 是偶函数，则点 的坐标为 ． 【答案】 【解析】根据偶函数的性质求解 与 的值，即可得到坐标． 因为 ， 是偶函数，所以 ，即 ， 因为 ，可得 ，解得 ， 所以 ，则点 的坐标为 ．故答案为：． 61 典例先行｜函数·典例4 已知 为 上的偶函数， 为 上的奇函数，且 ，． (1) 求 的值； (2) 若 ，试判定 的奇偶性． 【答案】(1) 3　(2) 奇函数 【解析】(1) 根据函数奇偶性的性质求解即可；(2) 根据奇函数的定义判断即可． (1) 因为 是偶函数，所以 ，则 ；因为 是奇函数，所以 ，则 ，故 ； (2) 是奇函数，理由如下：因为 的定义域为 ，关于原点对称， 所以 ，所以 是奇函数． 62 解题技巧｜函数（四）奇偶性的判断与运用 1．判断函数奇偶性的步骤：① 求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；② 验证 是否等于 ，或验证其等价形式 或 是否成立．对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断；对于含有 的对数式或指数式的函数，通常用“”来判断． 2．区间的转换：已知奇（偶）函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若 ，则 ；若 ，则 等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间（对奇（偶）函数而言）或某一周期内（对周期函数而言）考虑，然后推广到整个定义域上． 63 即时训练｜函数·训练1 函数 （，，）的奇偶性为（　　） A．奇函数　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数　　 D．无法判断 【答案】A 【解析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可求解． 因为 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以函数 是奇函数．故选 A． 64 即时训练｜函数·训练2 设点 为偶函数 图像上的一点，则下列点也在该函数图像上的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据偶函数的性质即可得解． 函数 为偶函数，图像关于 轴对称， 因为点 在图像上，则点 也在图像上．故选 C． 65 即时训练｜函数·训练3 已知函数 ，则下列函数为奇函数的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】根据奇函数的定义判断即可．已知 ， 则 ，定义域为 不关于原点对称，不是奇函数，故 A 错误； 则 ，定义域为 不关于原点对称，不是奇函数，故 B 错误； 66 即时训练｜函数·训练3（续） 则 ，定义域为 关于原点对称；令 ，则 ，不是奇函数，故 C 错误； 【答案·续】D 则 ，定义域为 关于原点对称；令 ，则 ，是奇函数，故 D 正确．故选 D． 67 即时训练｜函数·训练4 已知函数 ，且 ，则 ． 【答案】10 【解析】根据 为定值可求解． 因为函数 ，所以 ． 又 ，所以 ．故答案为：． 68 即时训练｜函数·训练5 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，．求函数 在 上的解析式． 【答案】 【解析】首先令 ，则 ，将 代入解析式中化简，再由奇函数的定义得出 时的解析式即可．已知当 时，， 当 时，则 ，， 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ， 所以当 时，，， 69 即时训练｜函数·训练5（续） 此时 ，所以 时，， 【答案·续】 所以函数 在 上的解析式为 ． 70 即时训练｜函数·训练6 已知定义在 上的函数 是增函数． (1) 若 ，求 的取值范围； (2) 若函数 是奇函数，且 ，解不等式 ． 【答案】(1) 　(2) 【解析】(1) 利用增函数的性质来建立关于 的不等式；(2) 先根据奇函数的性质求出 的值，再利用函数的单调性来解不等式． (1) 因为函数 是定义在 上的增函数，且 ，所以 ，解得 ． (2) 因为 是奇函数，且 ，所以 ， 不等式 可变形为 ，所以 ，由于 是 上的增函数，可得 ，解得 ，故不等式 的解集为 ． 71 $