复习课件（充要条件）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高二上学期 期中复习讲义 充要条件 数学拓展模块一（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 命题 理解命题的概念，能够正确判断所给命题是真命题还是假命题 一般出现在选择题中，选择哪项是真命题或假命题 充要条件 理解充要条件的概念、能够从题中所给的条件来正确判断充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条 选择、填空、解答都有可能出现，多以选择题的形式来考查，选出正确的选项，或者以填空题的形式来求参数的范围 知识总结｜命题的概念 命题：能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题． 条件与结论：对于形如“如果 ，那么 ”的命题，称 为命题的条件（简称条件）， 为命题的结论（简称结论）． 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，称这两个命题为互逆命题． 3 知识总结｜充分必要条件 若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 是 的充分不必要条件 且 是 的必要不充分条件 且 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件 且 4 典例先行｜充要条件·典例1 下列命题中，假命题是（　　） A．平面内三角形内角和为 　　 B．平面内菱形四条边相等 C．向量就是有向线段　　 D． 是无理数 【答案】C 【解析】利用平面几何的知识判断 A、B，利用向量的定义判断 C，利用 与无理数的定义判断 D． 对于 A，平面内三角形内角和显然为 ，故 A 为真命题；对于 B，由菱形的性质可知，平面内菱形的四条边相等，故 B 为真命题； 对于 C，向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，故 C 是假命题；对于 D，显然 是无理数，故 D 为真命题．故选 C． 5 典例先行｜充要条件·典例2 “”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据充分条件与必要条件的概念运算即可． 若 ，则 ，充分性成立；若 ，则 ，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故选 C． 6 典例先行｜充要条件·典例3 “”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可． 若 ，则 且 ，所以 成立，故充分性成立， 若 ，则 或 ，则不一定有 ，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选 A． 7 典例先行｜充要条件·典例4 已知直线 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据两条直线平行的条件和充分条件与必要条件的概念分析即可． 已知直线 ，．若 ，则 ，， 因为 ，所以 ，充分性成立； 若 ，则 ，解得 或 ， 8 典例先行｜充要条件·典例4（续） 【答案·续】 当 时，直线 ，化简得 ，， 此时两直线重合，不符合题意，所以若 ，则 ，必要性成立． 故“”是“”的充要条件，故选 C． 9 典例先行｜充要条件·典例5 在 中，“”是“”的什么条件（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充要条件　　D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】根据必要不充分条件的判定即可解得． 若在 中 ，则 ； 若 ，则 或 ． 所以在 中“”是“”的充分不必要条件．故选 A． 10 解题技巧｜充要条件（一） 1．判断命题的真假：首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据，从概念的本身入手进行判断． 2．充要条件的判断方法之一 —— 定义法：根据 ， 进行判断． 3．综合考查：充要条件一般会和其他知识点综合来考查，这要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能很好地掌握其他知识点，做到熟练运用．这类题型难度不大，属于好拿分的题型． 11 解题技巧｜充要条件（二）集合法 2．充要条件的判断方法之二 —— 集合法：写出集合 及 ，利用集合之间的包含关系加以判断． ① 若 ，则 是 的充分条件； ② 若 ，则 是 的充分不必要条件； ③ 若 ，则 是 的必要条件； ④ 若 ，则 是 的必要不充分条件； ⑤ 若 ，则 是 的充要条件； ⑥ 若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件． 12 即时训练（一）命题·训练1 下列语句中，能构成命题的是（　　） A．请帮我解一下这道数学题　 　 B．明天会下雨吗？ C．方程 有实数根　　 D．求证：方程 没有实数根 【答案】C 【解析】依据命题的定义，逐个判断选项即可求解． 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． C 选项是可以判断真假的陈述句，是命题；A、B、D 选项均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．故选 C． 13 即时训练（一）命题·训练2 下列说法正确的命题是（　　） A．非常大的全体实数能构成集合　　 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合 用列举法表示为 　　 D．集合 中只有一个元素 【答案】D 【解析】根据集合的概念判定即可解得． 选项 A：“非常大的全体实数能构成集合”中描述对象不确定，错误． 选项 B：空集是任何一个集合的真子集，但空集不是本身的真子集，错误． 选项 C：集合 用列举法表示为 ，错误． 选项 D：集合 中只有一个元素，正确．故选 D． 14 即时训练（一）命题·训练3 下列命题是假命题的是（　　） A．0 是空集 的元素　　 B．0 是自然数集 的元素 C．对于任意集合 ，都有 　　D． 【答案】A 【解析】根据空集、自然数集的概念，以及集合交集、并集的概念和性质，结合题意即可判断求解． 对于 A，空集 中没有元素，所以 0 不是空集 的元素，是假命题； 对于 B，因为 0 是自然数，所以 0 是自然数集 的元素，是真命题； 对于 C，因为空集是任何集合的子集，所以对于任意集合 ，都有 ，是真命题； 对于 D，根据交集的性质，可得 ，是真命题．故选 A． 15 即时训练（二）集合·训练1 设 ， 为两个集合，则“”是“”的（　　）条件 A．充分不必要　 B．必要不充分 C．充要　　 D．既不充分又不必要 【答案】C 【解析】根据集合的包含关系与交集运算，结合充要条件的判定求解即可． 当 时， 成立，故充分性成立； 当 时， 成立，故必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件．故选 C． 16 即时训练（二）集合·训练2 已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　 　B．必要不充分条件 C．充要条件　 　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据有理数集以及充分、必要条件的概念求解即可． 若 ，则 必为有理数，因此必要性成立； 若 ，未必有 ，例如当 时，，但 ； 因此，“”是“”的必要不充分条件．故选 B． 17 即时训练（二）集合·训练3 已知集合 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　 　B．必要不充分条件 C．充要条件　 　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义，结合集合间的包含关系判断． 若 ，则 ，所以有 ； 反之，若 ，则 或 ，即 或 ； 因此 可以推出 ，但 不一定能推出 ． 故“”是“”的充分不必要条件．故选 A． 18 即时训练（二）集合·训练4 已知条件 ，条件 ，且 是 的必要条件，则 的取值集合是 ． 【答案】 【解析】由 解得 ，利用 是 的必要条件可得 的值． 由 ，解得 或 ，所以 即集合 ， 由 ，可得 ．因为 是 的必要条件，所以 ，即 或 ， 解得 或 ．则 的取值集合是 ，故答案为 ． 19 即时训练（二）集合·训练5 已知集合 ， (1) 若 ，求 ． (2) 若“”是“”的充分条件，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】(1) 由交并补的混合运算即可得解；(2) 由充分条件的定义及子集的定义即可得解． (1) 若 ，则 ，． 所以 ． 20 即时训练（二）集合·训练5（续） 【答案·续】 (2) 因为“”是“”的充分条件，所以 ． 由题意知 ．所以 或 ， 解得 或 ．所以 的取值范围是 ． 21 已知集合 ， (1) 若 ，求 ． (2) 若“”是“”的充分条件，求 的取值范围． 即时训练（三）不等式·训练1 设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解含绝对值的不等式，结合充分性及必要性的定义即可得解． 因为 等价于 或 ， 又 或 ，但 ， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选 A． 22 即时训练（三）不等式·训练2 “ 且 ”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分、必要条件的定义分析求解即可． 若 且 ，则 ，充分性成立； 若 ，取 ，满足 ，但 ，故必要性不成立， 所以“ 且 ”是“”的充分不必要条件．故选 A． 23 即时训练（三）不等式·训练3 若 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解含绝对值的不等式可得 ，再根据充要条件的概念可判断． 由 可得：，解得 ，即 ， 所以 ，， 所以 是 的必要不充分条件．故选 B． 24 即时训练（三）不等式·训练4 “”是“”的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的概念判断．若 且 ，根据不等式的基本性质可得 ，充分性成立， 令 ，，，，此时 ，，满足 ， 但 ，即由 不能推出 且 ，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件．故选 B． 25 即时训练（三）不等式·训练5 设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据必要不充分、充分不必要、充要条件的判定，结合一元二次不等式和绝对值不等式的解法求解． 解不等式 ，即 ，解得 或 ． 解不等式 ，得 ，即 ， 所以“”是“”的必要不充分条件．故选 B． 26 即时训练（四）函数·训练1 “”是“函数 在区间 上是减函数”的（　　） A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据一元二次函数的图像及性质，结合充分条件和必要条件的定义分析求解即可． 函数 ，图像开口朝上，对称轴为 ， 因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，解得 ， 27 即时训练（四）函数·训练1（续） 当 时，一定有 ，即充分性成立； 但当 时，不一定有 ，即必要性不成立， 【答案·续】A 所以“”是“函数 在区间 上是减函数”的充分不必要条件．故选 A． 28 即时训练（四）函数·训练2 “”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据题意，结合对数函数的单调性，及充分性、必要性的概念即可求解． 因为 ，即 ，所以 ，解得 ， 若 ，则 不一定成立，故 不一定成立，故充分性不成立； 29 即时训练（四）函数·训练2（续） 若 ，则 ，故 一定成立，故必要性成立； 【答案·续】B 故“”是“”的必要不充分条件．故选 B． 30 即时训练（四）函数·训练3 “”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由指数函数的单调性，结合充分必要条件判断即可． 因为 在 上单调递减， 由 ，可得 ， 31 即时训练（四）函数·训练3（续） 所以 ，且 ， 【答案·续】C 所以“”是“”的充要条件．故选 C． 32 即时训练（四）函数·训练4 “”是“”的 条件． 【答案】充要 【解析】根据对数函数的单调性和充要条件的概念分析即可． 已知 在 上是增函数， 所以若 ，则 ，故充分性成立； 若 ，则 ，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故答案为：充要． 33 即时训练（五）三角·训练1 若命题 ：，命题 ：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据必要不充分条件的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解． 因为 ，则 或 ，， 因为 ，则 ，所以 是 的必要不充分条件．故选 B． 34 即时训练（五）三角·训练2 已知 ，则“”是“”的什么条件（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据三角函数的诱导公式进行化简，再根据充分、必要条件的定义求解即可． 根据诱导公式，． 所以 ，“”可以推出“”；“”也可以推出“”． 故已知 ，则“”是“”的充要条件．故选 C． 35 即时训练（五）三角·训练3 设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据 ，，结合充要条件的概念可得结果． 若 ，则 ，即 ； 若 ，则 ，所以 ，即 ． 所以“”是“”的充分不必要条件．故选 A． 36 即时训练（五）三角·训练4 角 的终边在第一象限是 的（　　）． A．充分不必要条件　　 B．必要非充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分、必要条件以及象限角求解即可． 若角 的终边在第一象限，则 ，即充分性成立； 若 ，则角 的终边在第一象限或第三象限，即必要性不成立； 所以前者是后者的充分不必要条件．故选 A． 37 即时训练（五）三角·训练5 在 中， 是 的（　　） A．充分不必要条件　 B．必要非充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据余弦函数的性质及充分条件与必要条件的概念判断． 已知在 中，，， 因为 在 上是单调递减函数， 所以 ，即 是 的充要条件．故选 C． 38 即时训练（六）直线和圆·训练1 已知直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，那么“”是“”的（　　）． A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据直线倾斜角与斜率的对应关系，结合充分性和必要性的定义判断即可． 直线倾斜角 的取值范围为 ，斜率 ． 充分性判断：若 即 ，当 时， 即 ，无法满足 ，因此充分性不成立． 39 即时训练（六）直线和圆·训练1（续） 必要性判断：若 ，即 ，结合正切函数在 的单调性，可得 ，满足 ，因此必要性成立． 【答案·续】B 综上，“”是“”的必要不充分条件．故选 B． 40 即时训练（六）直线和圆·训练2 已知直线 与圆 ，“”是“直线 与圆 相切”的（　　） A．充分不必要条件　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和圆的关系判断即可． 圆 的圆心为 ，半径 ．当 时，直线 ． 圆心到直线的距离 ，因为 ，所以直线与圆相切，充分性成立． 41 即时训练（六）直线和圆·训练2（续） 若直线 与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即 ，即 ，解得 或 ，必要性不成立． 【答案·续】A 因此，“”是“直线 与圆 相切”的充分不必要条件．故选 A． 42 即时训练（六）直线和圆·训练3 已知直线 ，直线 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据两直线平行的条件及充分条件与必要条件的概念判断即可． 当 时，有 ，可化为 ，解得 或 ． 当 时，直线 ，直线 ，满足 ； 43 即时训练（六）直线和圆·训练3（续） 当 时，直线 ，直线 ，满足 ，所以 等价于 或 ． 【答案·续】A 所以由 可推出 ；由 不能推出 ．故“”是“”的充分不必要条件．故选 A． 44 即时训练（六）直线和圆·训练4 “”是“圆 的半径为 5”的（　　） A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先根据圆的方程求出半径为 5 时 的值，再结合充分条件、必要条件的定义判断逻辑关系． 已知圆的方程为 ，可得 ，可知该圆的半径 ． 已知圆的半径为 ，则 ，解得 ． 45 即时训练（六）直线和圆·训练4（续） 当 时，半径 ，所以由 可以推出圆的半径为 5，充分性成立； 当圆的半径为 5 时，，并不一定只能推出 ，所以必要性不成立； 【答案·续】A 综上， 是圆 的半径为 5 的充分不必要条件．故选 A． 46 $