复习课件（不等式）-2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》

2026—2027学年高一上学期 期中复习讲义 不等式 数学基础模块（上册） 1 考情透视｜目标导航 2 核心考点 复习目标 常考题型 实数比较大小 掌握作差法比较数的大小 常在选择题中考查比较数的大小 不等式的性质 理解和掌握不等式的性质，会用不等式的性质判断大小 选择题或者填空题中根据不等式的性质来判断大小关系 区间 掌握区间的表示方法、会用区间正确表示范围 会出现在各种题型中，常与集合、不等式等结合，用来表示数的范围，一般不单独考查 一元二次不等式 理解一元二次不等式与一元二次函数的关系、掌握解一元二次不等式的方法 选择、填空、解答题中都会出现 含绝对值的不等式 理解绝对值的意义、掌握解绝对值不等式的方法 多出现在选择、填空中解绝对值不等式 知识总结｜实数的大小 作差比较法：比较两个实数（或代数式）的大小，可转化为比较它们的差与 0 的大小，这种比较大小的方法称为作差比较法． 　　　　 3 知识总结｜不等式的性质（一） ① 对称性： ② 传递性： ③ 可加性： 　　同向可加性： 　　异向可减性： 4 知识总结｜不等式的性质（二） ④ 可积性：； ⑤ 同向正数可乘性： 　　异向正数可除性： 5 知识总结｜不等式的性质（三） ⑥ 平方法则：（，且 ） ⑦ 开方法则：（，且 ） ⑧ 倒数法则：； 6 典例先行｜知识点一·典例1 设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D．不确定 【答案】B 【解析】利用作差法比较大小． 可得 ，故选 B． 7 典例先行｜知识点一·典例2 若 ，且 ，则下列不等式中正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据不等式的性质可判断 A 正确；取特殊值可判断 B、C、D 错误． 由 可得 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 8 典例先行｜知识点一·典例2（续） 取 ，，满足 ，且 ，此时 ，故 B 错误； 取 ，，满足 ，且 ，此时 ，故 C 错误． 【解析·续】取特殊值逐一排除 B、C、D． 取 ，，满足 ，且 ，但 ，故 D 错误． 故选 A． 9 典例先行｜知识点一·典例3 设实数 ，，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】先将 化为分子相同的分数，再比较分母的大小． 又 ，所以 ，故选 A． 10 典例先行｜知识点一·典例4 有下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（　　） A．1　 　B．2　 　C．3　 　D．4 【答案】B 【解析】根据不等式的性质可判断①②正确，③错误；取 可知④错误． 对①，由 ，可得 ，故正确；对②，由 ，可得 ，故正确； 11 典例先行｜知识点一·典例4（续） 【解析·续】③④ 分别取 、 即可否定． 对③，若 时，由 ，可得 ，故错误； 对④，若 时，则 ，故错误． 综上所述，正确的个数为 2 个，故选 B． 12 解题技巧｜知识点一·不等式的性质 1．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法． 一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法． 作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系． 13 解题技巧｜知识点一·不等式的性质 2．判断关于不等式的命题真假的两种方法： (1) 直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断； (2) 特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 3．运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较 与 的大小关系应注意从 ，， 三个方面讨论． 13 即时训练｜知识点一·训练1 与 的大小关系是（　　） A．　　 B．　　 C．　 D． 【答案】D 【解析】根据作差比较法比较代数式的大小即可． 由 ，可得 ．故选 D． 14 即时训练｜知识点一·训练2 若 ，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据不等式的性质以及特殊值求解即可． 选项 A．因为 ，所以 ，正确． 选项 B．若 ，所以 ，错误． 选项 C．因为 ，所以 ，正确；选项 D．因为 ，所以 ，正确．故选 B． 15 即时训练｜知识点一·训练3 设 ，下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果． 因为 所以 ，故选 A． 16 即时训练｜知识点一·训练4 下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 　　 B．若 ，则 　　 C．若 ，则 　 D．若 ，则 【答案】C 【解析】根据不等式的性质即可求解． A 选项，当 时，，故不一定成立；B 选项，当 时，满足 ，但 ，故不一定成立； C 选项符合不等式的基本性质，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，故 C 一定成立； D 选项，当 时，满足 ，且 ，故不一定成立．故选 C． 17 即时训练｜知识点一·训练5 已知 ，，， 均为实数，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 　 　B．若 ，则 　　 C．若 ，则 　 　D．若 ，则 【答案】C 【解析】根据不等式的性质以及特殊值验证求解即可． 在选项 A 中，当 ， 时，满足 ，同时也满足 ，故选项 A 错误； 在选项 B 中，当 ， 时，则有 ，故选项 B 错误； 在选项 C 中，当 时，利用同为正数的同向不等式的可乘性可得 ，故选项 C 正确；在选项 D 中，当 时，利用同向不等式的可加性可得 ，即 ，故选项 D 错误．故选 C． 18 即时训练｜知识点一·训练6 已知 ，则 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】利用作差法比较大小． 所以 ．故选 A． 19 知识总结｜区间（一） 闭区间： 表示 开区间： 表示 左闭右开区间： 表示 左开右闭区间： 表示 20 知识总结｜区间（二） 表示 　　 表示 表示 　　 表示 表示实数集 ，取遍数轴上所有的值． 21 知识总结｜一元二次不等式的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式： 或 ． 与二次函数、方程的联系：方程的根是函数图象与 轴交点的横坐标，也是不等式解集的分界点． 22 知识总结｜判别式与解集 判别式：（），按 、、 分三种情况． ：有两相异实根 ， 的解集为 ：有两相等实根 ，解集为 ：无实根， 的解集为 ． 23 知识总结｜解一元二次不等式的步骤 ① 先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； ② 写出相应的方程 ，计算判别式 ： 时求出两根 、 且 ； 时求根 ； 时方程无解； ③ 根据不等式，写出解集． 24 典例先行｜知识点二·典例1 集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据区间的表示及运算求解． 集合 ，，则 ．故选 A． 25 典例先行｜知识点二·典例2 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】解一元一次不等式即可得解． 不等式 ，解得 ， 所以解集为 ，故选 A． 26 典例先行｜知识点二·典例3 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式的解法求解即可． 由 ，得 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 ，故选 B． 27 典例先行｜知识点二·典例4 不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式的解法求解． 不等式 可化为 ，即 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 ．故选 B． 28 解题技巧｜知识点二·一元二次不等式 1．解一元二次不等式的步骤： (1) 将二次项系数化为正数； (2) 解相应的一元二次方程； (3) 根据方程的根，结合不等号的方向画图； (4) 写出不等式的解集．容易出现的错误有： ① 未将二次项系数化正，对应错标准形式；② 解方程出错；③ 结果未按要求写成集合． 29 解题技巧｜知识点二·一元二次不等式 2．已知解集求系数： 由一元二次不等式的解集可得到相应方程的两根，由根与系数的关系可求出系数；注意结合解集形式判断二次项系数的正负． 3．恒成立条件： 二次函数 的值恒大于 0 的条件是 且 ；若恒大于或等于 0，则 且 ． 若二次项系数中含参数且未指明是二次函数时，必须考虑二次项系数为 0 这一特殊情形． 29 即时训练｜知识点二·训练1 不等式 的解集是（　　） A．　 B．　　 C．　　 D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式的解法求解即可． 已知 ，解得 ， 所以不等式 的解集是 ．故选 B． 30 即时训练｜知识点二·训练2 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】根据一元二次不等式的解法，即可求解． 则 或 ， 因此不等式的解集为 ，故选 C． 31 即时训练｜知识点二·训练3 不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据一元二次不等式的解法求解． 不等式 可化为 ，即 ，解得 ， 故不等式 的解集是 ．故选 A． 32 即时训练｜知识点二·训练4 集合 ，，那么 （结果用区间表示） 【答案】 【解析】根据并集的概念运算即可． 已知集合 ，， 则 ，故答案为 ． 33 即时训练｜知识点二·训练5 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据一元二次不等式恒成立的解法求解． 因为不等式 的解集为 ，即不等式 对任意实数 恒成立， 所以 ，即 ，解得 ， 则实数 的取值范围是 ，故答案为 ． 34 即时训练｜知识点二·训练6 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ． (1) 求实数 的值；(2) 求不等式 的解集． 【答案】(1) ，；(2) 【解析】(1) 根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，将 代入方程中求出 的值，再求解方程即可． (1) 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则当 时，， 则 ，解得 ，则方程为 ，解得 ， 不等式 的解集为 ，所以 ． 35 即时训练｜知识点二·训练6（续） 【答案·续】原不等式的解集为 ． (2) 由 (1) 可知，，，所以由 ， 得 ，即 ， 解得 ，则原不等式的解集为 ． 36 知识总结｜绝对值的意义 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 差的绝对值： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离． 37 知识总结｜绝对值不等式 的解集是 的解集是 38 典例先行｜知识点三·典例1 已知集合 ，，则集合 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】首先由含绝对值的不等式求出集合 ，再由交集的概念运算即可． 则 ，故选 C． 39 典例先行｜知识点三·典例2 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根据解含绝对值的不等式的方法即可求解． 故不等式 的解集为 ，故选 A． 40 典例先行｜知识点三·典例3 已知 ，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据一元二次不等式的解法和含绝对值的不等式的解法，结合充分、必要条件的定义分析求解． ，解得 ，所以 且 ， 所以 是 的充要条件．故选 C． 41 典例先行｜知识点三·典例4 若不等式 的解集是 ，则实数 （　　） A．　　B．1　　C．　　D．4 【答案】B 【解析】根据题意得出 即可得解． 不等式 的解集是 ，则 的两个根为 ， 所以 在 和 处互为相反数，则 ，解得 ．故选 B． 42 解题技巧｜知识点三·含绝对值的不等式 1．去绝对值符号的方法：公式法、零点分段法（体现分类讨论思想）、平方法、几何法（体现数形结合思想）、构造法（构造函数，利用函数图象求解）． 2．方法的选择：解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用． 3．总原则：在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题． 43 即时训练｜知识点三·训练1 不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】根据绝对值不等式的解法求解． 不等式 ，即 ，可得 ，解得 ， 故不等式的解集为 ．故选 B． 44 即时训练｜知识点三·训练2 设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　 　B．必要不充分条件　　 C．充分必要条件　 　D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据必要不充分、充分不必要、充要条件的判定，结合一元二次不等式和绝对值不等式的解法求解． 解不等式 即 ，解得 或 ． 解不等式 ，，即 ， 所以“”是“”的必要不充分条件．故选 B． 45 即时训练｜知识点三·训练3 若不等式 的解集是 ，则 的值为（　　） A．2　　B．0　　C．　　D． 【答案】D 【解析】根据题意解含绝对值的不等式求出 的值即可得解． 不等式 ，解得 ， 因为解集是 ，则 ，解得 ， 所以 ，故选 D． 46 即时训练｜知识点三·训练4 已知集合 ，，则 ． 【答案】 【解析】根据集合的补集运算以及绝对值不等式的解法求解． 已知全集 ，所以 ． 47 即时训练｜知识点三·训练5 ，，则 ． 【答案】 【解析】根据绝对值不等式的解法求出集合 ，再根据交集运算求解即可． 由 可得：，解得 ， 所以 ，且 ， 所以 ． 48 即时训练｜知识点三·训练6 已知集合 ，，且 ，求 的值． 【答案】7 【解析】首先由含绝对值的不等式的解法求出集合 ，再由 列不等式求出 的值即可． 49 因为 ，所以 ， 解得 ， 则 ． $